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Das Cavalierische Prinzip
Note: 1 Klasse: 8
Arbeit: Das Cavalierische Prinzip
Das Bild zeigt einen quaderförmigen rötlichen Turm. Beim grünen und blauen Turm sind die Stockwerke jeweils unterschiedlich stark in eine bestimmte Richtung verschoben. Der Grundriss und die Dachfläche sind bei allen Türmen gleich.

Abbildung 1
Schneidet man die Türme in beliebiger Höhe mit einer zur Grundfläche des gläsernen Quaders, auf der alle drei Türme stehen, parallelen Ebene, so erhält man jeweils Schnittflächen mit gleichem Flächeninhalt, wie Abbildung 2 veranschaulicht.

Abbildung 2
Stellt man sich die Türme als Kartenstapel vor, so kennt man diese Aussage aus eigener Erfahrung. Dabei ist klar, dass der Stapel schichtartig aufgebaut ist und dadurch keine geraden Kanten und ebene Seitenflächen besitzt.
Es ist klar, dass das Volumen der drei Türme jeweils gleich ist, da das Verschieben der Schichten das Volumen nicht ändert!
Die Körper in Abbildung 3 entstehen, wenn man die Schichtdicke im Stapel immer geringer macht und schließlich unendlich gering werden lässt. Da für jede Schichtdicke Schnittflächen auf gleicher Höhe gleichen Inhalt haben, gilt dies nun auch für die Körper in Abbildung 3.

Abbildung 3
Damit stimmen die drei Körper auch in ihrem Volumen überein.
Es gilt: Volumen = Grundfläche * Höhe
Die für die quaderförmigen Türme gemachten Aussagen gelten auch für beliebige Figuren, die auf gleicher Höhe gleiche Schnittflächeninhalte haben.
In Abbildung 4 sind neben einer geraden Pyramide zwei schiefe Pyramiden zu sehen.

Abbildung 4
Es gilt: Volumen Pyramide = 1/3 * Grundfläche * Höhe
Sind die Schnittflächen auf beliebiger Höhe einer Pyramide und eines Kegels jeweils gleich, so sind die Körper demnach auch volumengleich.

Abbildung 5
Es gilt: Volumen Kegel = 1/3 * Grundfläche * Höhe
Das Volumen einer Kugel

Die Abbildung zeigt links eine Halbkugel und rechts einen Zylinder, aus dem ein Kegel herausgebohrt wurde. Halbkugel und Zylinder stehen auf einer gemeinsamen Ebene und haben den gleichen Radius. Die Höhe des Zylinders ist gleich dem Grundkreisradius.
Auf der Höhe h über der Grundebene schneidet nun eine Parallelebene die beiden Körper.

Die Schnittflächen sind in roter Farbe gekennzeichnet. Die Schnittfläche mit der Halbkugel ist ein Kreis, die Schnittfläche mit dem ausgebohrten Zylinder ein Kreisring.
Für die Berechnung der Inhalte dieser Schnittflächen eignet sich noch besser eine 2D-Zeichnung.
Berechnung der Schnittflächen:
Halbkugel:
Es gilt: R² + h² = r²
è R² = r² - h²
è A Schnittfläche = (r² - h²) * p
Zylinder:
Wegen h Zylinder = r sind die Dreiecke zu beiden Seiten des ausgebohrten Kegel gleichschenklig. Damit ist zu erkennen, dass der innere Kreisring den Radius h hat.
è A Kreisring = r²p - h²p = (r² - h²) * p
Die Inhalte der beiden rot gekennzeichneten Schnittflächen sind also für jeden Wert von h und r gleich. Nach dem Cavalierischen Prinzip sind dann auch die Volumina der entsprechenden Körper gleich.
Berechnung des Volumen der Halbkugel:
V Halbkugel = V Zylinder - V Kegel = r²p * r - 1/3 * r²p * r =
2/3 * r³ * p
Quelle:
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