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Note: 2 Klasse: 11
Arbeit: Bsp. 1)
Ellipse
1. Hauptlage:
2. Hauptlage:
F1, F2 .................... Brennpunkte
MF1 = MF2 = e ..... Brennweite = lineare Exzentrizität
A, B ....................... Hauptscheitel
AB = 2a ................. Hauptachse
C, D ....................... Nebenscheitel
CD = 2b ................. Nebenachse
a² = b² + e²
Definition:
Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu 2 festen Punkten, den Brennpunkten, konstant 2a ist.
ell={X | XF1 + XF2 = 2a}
Spezialfälle:
1) a=b ® Kreis (e=0, F1=F2=M)
2) b=e ® gleichseitige Ellipse
Gleichung einer Ellipse in 1. Hauptlage:
Gleichung einer Ellipse in 2. Hauptlage:
b²x² + a²y² = a²b²
a²x² + b²y² = a²b²
x²/a² + y²/b² = 1
x²/b² + y²/a² = 1
Ableitung der Gleichung einer Ellipse in 1. Hauptlage:
XF1 + XF2 = 2a
X (x/y) F1 (-e/0) F2 (e/0)
X®F1 = (-e-x -y)
|(-e-x -y)| + |(e-x -y)| = 2a
Ö[(-e-x)²+(-y)²] + Ö[(e-x)²+(-y)²] = 2a
Ö[e²+2ex+x²+y²] = 2a - Ö[e²-2ex+x²+y²] /²
e²+2ex+x²+y² = 4a² - 4aÖ[e²-2ex+x²+y²] + e²-2ex+x²+y²
4ex-4a² = -4aÖ[e²-2ex+x²+y²] /:4
-a²+ex = -aÖ[e²-2ex+x²+y²] /²
a4-2a²ex+e²x² = a²e²-2a²ex+a²x²+a²y²
e²x²-a²x²-a²y² = -a4+a²e²
e² = a²-b²
a²x²-b²x²-a²x²-a²y² = -a4+a4-a²b² /*(-1)
b²x²+a²y² = a²b²
Berührbedingung der Ellipse in 1. Hauptlage:
g: y=kx+d
ell: b²x²+a²y²=a²b²
b²x²+a²(kx+d)²=a²b²
b²x²+a²k²x²+2a²dkx+a²d²=a²b²
(b²+a²k²)x²+(2a²dk)x+(a²d²-a²b²)=0 /:(b²+a²k²)>0
x²+2[a²dk] /[b²+a²k²]x+[a²d²-a²b²] /[b²+a²k²] =0
x1,2 =-[a²dk] /[b²+a²k²] ±Ö[[a^4d²k²] /[(b²+a²k²)²] - [(a²d²-a²b²)(b²+a²k²)] /[(b²+a²k²)²] ]
x1,2 =-[a²dk] /[b²+a²k²] ± [1] /[b²+a²k²] Ö[a4d²k²-[TG1] a²b²d²+a²b4-a4d²k²+a4b²k²]
D = a²b² (-d²+b²+a²k²)
D>0 ® 2 Lösungen ® Sekante
D<0 ® {} ® Passante
D=0 ® 1 Lösung ® Tangente
-d²+b²+a²k²=0
b² + a²k² = d²
Spezialfall: a=b=r
r²+r²k²=d²
r²(1+k²)=d²
Tangentengleichung bzw. Polarengleichung der Ellipse in 1. Hauptlage:
T (x1/y1) Î ell:
b²x1x + a²y1y = a²b²
[x1x]/a² + [y1y]/b² = 1
P (x1/y1) Ï ell:
b²x1x + a²y1y = a²b²
Sonderfall: Kreis
Ursprungslage:
allgemeine Lage:
Definition:
Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt M den gleichen Abstand haben.
k(M,r) = {X | MX = r}
Kreisgleichung:
| M®X | = | X® | = r X® = (x y) m® = (u v)
| (x-0 y-0) | = r (X® - m®)² = r²
| (x y) | = r | M®X | = r
Ö[x²+y²] = r /² | (x-u y-v) | = r
x² + y² = r² Ö[(x-u)²+(y-v)²] = r /²
X®² = r² (x-u)² + (y-v)² = r²
Berührbedingung eines Kreises:
r² (1 + k²) = d² r² (1 + k²) = (ku -v + d)²
Bsp. 2)
Hyperbel
1. Hauptlage:
2. Hauptlage:
A, B ........................ Hauptscheitel
C, D ........................ Nebenscheitel
F1, F2 ..................... Brennpunkte
AB = 2a .................. Hauptachse
CD = 2b .................. Nebenachse
u, v ......................... Asymptoten der Hyperbel
e² = a² + b²
Definition:
Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, für die die Differenz der Abstände zu 2 festen Punkten, den Brennpunkten, konstant 2a ist.
hyp={X | |XF1 - XF2| = 2a}
Gleichung einer Hyperbel in 1. Hauptlage:
Gleichung einer Hyperbel in 2. Hauptlage:
b²x² - a²y² = a²b²
-a²x² + b²y² = a²b²
Ableitung der Gleichung einer Hyperbel in 1. Hauptlage:
linker Ast:
XF1 - XF2 = -2a
|(-e-x -y)| - |(e-x -y)| = -2a
Ö[(-e-x)²+y²] - Ö[(e-x)²+y²] = -2a
Ö[(-e-x)²+y²] = -2a + Ö[(e-x)²+y²] /²
e²+2ex+x²+y² = 4a²+e²-2ex+x²+y² -4aÖ[(e-x)²+y²]
2ex-2a² = -2aÖ[(e-x)²+y²]
ex-a² = -aÖ[(e-x)²+y²] /²
rechter Ast:
XF1 - XF2 = 2a
|(-e-x -y)| - |(e-x -y)| = 2a
Ö[(-e-x)²+y²] = 2a + Ö[(e-x)²+y²]
ex-a² = aÖ[(e-x)²+y²] /²
e²x²-2a²ex+a4 = a²e²-2a²ex+a²x²+a²y²
b²x²-a²y²=a²b²
e²x²-a²x²-a²y²=2a²ex-a4+a²e²-2a²ex
(e²-a²)x²-a²y²=a²e²-a4
b²x²-a²y²=a²(e²-a²)
b²x²-a²y²=a²b²
Berührbedingung der Hyperbel in 1. Hauptlage:
g: y=kx+d
hyp: b²x²-a²y²=a²b²
b²x²-a²(kx+d)²=a²b²
b²x²-a²k²x²-2a²kxd-a²d²=a²b²
(b²-a²b²)x²+(-2a²kd)x+(-a²d²-a²b²)=0 /:(b²-a²k²)¹0
x²+ [-2a²dk] /[b²a²k²]x+ [-a²d²-a²b²] /[b²-a²k²] =0
x1,2 =[a²dk] /[b²-a²k²] ±Ö[[a^4d²k²] / [(b²-a²k²)²] + [(a²d²+a²b²)(b²-a²k²)] / [(b²-a²k²)²] ]
D = b²+d²-a²k²
D>0 ® Sekante
D<0 ® Passante
D=0 ® Tangente
b²+d²-a²k²=0
a²k² - b² = d²
Spezialfall: b²-a²k²=0
k² = b²/a²
k = ± b/a
d=0 Þ u,v: y = ± b/a x
d¹0 Þ y = ± b/a x + d (|| ass)
Jede Gerade parallel zu einer Asymptote schneidet die Hyperbel in 1 Punkt (Sekante !).
Tangentengleichung bzw. Polarengleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage:
T (x1/y1) Î hyp:
b²x1x - a²y1y = a²b²
[x1x]/a² - [y1y]/b² = 1
P (x1/y1) Ï hyp:
b²x1x - a²y1y = a²b²
Bsp. 3)
Parabel
1. Hauptlage:
2. Hauptlage:
3. Hauptlage:
4. Hauptlage:
LF = p ............. Parameter
a ...................... Achse
l ...................... Leitlinie der Parabel
F ...................... Brennpunkt
A ..................... Scheitel der Parabel
Definition:
Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, für die der Abstand von einem festen Punkt F gleich dem Abstand von einer festen Geraden l ist.
par={X | XF = Xl}
Gleichung einer Parabel in 1. Hauptlage:
Gleichung einer Parabel in 2. Hauptlage:
y² = 2px
x² = 2py
Gleichung einer Parabel in 3. Hauptlage:
Gleichung einer Parabel in 4. Hauptlage:
y² = -2px
x² = -2py
Ableitung der Gleichung einer Parabel in 1. Hauptlage:
XF = Xl
XF = |(p/2 -x -y)| = Ö[(p/2 -x)²+y²]
Xl = x + p/2
Ö[(p/2 -x)²+y²] = x+ p/2 /²
p^2 /4 -px+x²+y² = x²+px+ p^2 /4
y² = 2px
Berührbedingung der Parabel in 1. Hauptlage:
g: y=kx+d
par: y²=2px
k²x²+2dkx+d²=2px
k²x²+2dkx-2px+d²=0
(k²)x²+(2dk-2p)x+d²=0 /:k²¹0
x²+ [2(dk-p)] /[k²] + [d²] /[k²] =0
x1,2= [-dk+p] /[k²] ± Ö[[d²k²-2dkp+p²] /[k^4] - [d²k²] /[k^4] ]
x1,2= [-dk+p] /[k²] ± [1] /[k²] Ö[-2dkp+p²]
D = -2dkp + p² = p (-2dk + p)
D>0 ® Sekante
D<0 ® Passante
D=0 ® Tangente
p (-2dk + p) = 0
-2dk + p = 0
p = 2dk
Spezialfall: k=0
Þ || x-Achse
-2px+d²=0
Þ 1 Lösung
Jede Gerade parallel zur x-Achse schneidet die Parabel in genau 1 Punkt.
Tangentengleichung bzw. Polarengleichung der Parabel in 1. Hauptlage:
T (x1/y1) Î par:
y1y = px1 + px
y1y = p (x1 + x)
P (x1/y1) Ï par:
y1y = p (x1 + x)
Bsp. 4)
Komplexe Zahlen
1) Das Symbol „i“:
x² = a G = R
a) a > 0
L={Ö[a]; -Ö[a]}
b) a = 0
L={0(2) }
c) a < 0
L={}
Þ C ........................ komplexe Zahlen
x² = -a ; a>0
x² = a (-1)
x1,2= ± Ö[a] Ö[-1]
L={Ö[a]i ; -Ö[a]i}
Definition: Ö[-1] = i
Ö[-1] = i
i² = (Ö[-1])²
i² = -1
Vorsicht: (Ö[-1])²=-1 ¹ Ö[(-1)²]=1
ax²+bx+x=0 a,b,c Î R; a¹0 ......... allg. quadratische Gleichung
x1,2= [-b±Ö[b²-4ac]] /[2a] = - /[2a] ± [Ö[b²-4ac]] /[2a]
G = C
a) D = b²-4ac > 0
L={- /[2a] + [Ö[b²-4ac]] /[2a] ; - /[2a] - [Ö[b²-4ac]] /[2a]}
b) D = 0
L={- /[2a] (2) }
c) D < 0
Þ 4ac-b² > 0
L={- /[2a] + [Ö[4ac-b²]] /[2a] ; - /[2a] - [Ö[4ac-b²]] /[2a]}
allgemeine komplexe Zahl:
Z = a + b i a,b Î R
a = Re (Z) b = Im (Z)
a) b=0 Þ Z=a+0i ..... reelle Zahl
b) a=0 Þ Z=0+bi ..... imaginäre Zahl
Gleichheit von komplexen Zahlen:
Z1 = a+bi
Z2 = c+di
Z1 = Z2 Û (a=c) Ù (b=d)
2) Rechenregeln für komplexe Zahlen:
Z1 = a + b i Z2 = c + d i
Addition:
Z1 + Z2 = a+bi+c+di = (a+c) + (b+d)i
Subtraktion:
Z1 - Z2 = (a-c) + (b-d)i
Multiplikation:
Z1 * Z2 = (a+bi) (c+di) = ac+adi+bci+bdi² = (ac-bd) + (bc+ad)i
Division:
Z1 : Z2 = [Z1]/[Z2] = [a+bi] /[c+di] = [a+bi] /[c+di] [c-di] /[c-di] = [ac+bci-adi-bdi²] /[c²+d²] =
= [(ac+bd)+(bc-ad)i] /[c²+d²] = [ac+bd] /[c²+d²] + [bc-ad] /[c²+d²] i
c²+d² > 0 , sonst c=0,d=0 Þ Z2=0
Konjugiert komplexe Zahlen:
Z = a + b i Z- = a - b i
Potenzen von i:
i1 = i
i² = -1
i3 = i² * i = -1 * i = -i
i4 = i² * i² = (-1) * (-1) = 1
Eigenschaften von konjugiert komplexen Zahlen:
Z + Z- = 2a
Z - Z- = 2bi
Z * Z- = a² + b²
(Z-)- = Z
Für komplexe Zahlen gilt auch der Satz von VIETA:
z²+pz+q=0 p,q Î C
mit Lösungen z1,z2
a) z1 + z2 = -p
b) z1 * z2 = q
c) z²+pz+q = (z-z1) (z-z2)
3) Veranschaulichung von komplexen Zahlen in der GAUSSschen Zahlenebene:
R ................. reelle Achse
Im ............... imaginäre Achse
z = a + bi
z1 = 4 - 2i
z1- = 4 + 2i .......... um R-Achse spiegeln
z2 = 1 + 2i
z1 +z2 = 5
z1 - z2 = z1 + (-z2) = 3 - 4i
Jede komplexe Zahl läßt sich eindeutig als Vektor in der GAUSSschen Zahlenebene darstellen.
| z | = Ö[a²+b²] = r Î R .......... Radius
| z |² = | z² |
4) Darstellungsmöglichkeiten komplexer Zahlen:
a) z = a + bi
b) z = (a;b)
c) z = (r;j)
Polarkoordinaten:
r=Ö[a²+b²]
0
r ..... Betrag von z
j .... Argument von z
d) tan j = b/a
cos j = a/r
a = r cos j
sin j = b/r
b = r sin j
z = a + bi = r cos j + r sin j i = r (cos j + i sin j)
Darstellungsmöglichkeiten komplexer Zahlen:
1) kartesische Darstellung:
a) Zahlenpaar z = (a;b)
b) Binomialform z = a + bi
2) Polarkoordinatendarstellung:
a) Zahlenpaar z = (r; j)
b) trigonometrische Darstellung z = r (cos j + i sin j)
Multiplikation und Division komplexer Zahlen mit Hilfe von Polarkoordinaten:
z1 = r1 (cos j1 + i sin j1)
z2 = r2 (cos j2 + i sin j2)
z1 * z2 = r1 (cos j1 + i sin j1) r2 (cos j2 + i sin j2) =
= r1 * r2 (cos j1 cos j2 - sin j1 sin j2 + cos j1 sin j2 i + sin j1 cos j2 i) =
= r1 * r2 [ (cos j1 cos j2 - sin j1 sin j2) + i (cos j1 sin j2 + cos j2 sin j1) ] =
= r1 * r2 [cos (j1+j2) + i sin (j1+j2)]
z1 * z2 = (r1; j1) (r2; j2) = (r1*r2; j1+j2)
Beim Multiplizieren von komplexen Zahlen werden die Radien multipliziert und die Winkel addiert.
z1/z2 = [r1 (cos j1 + i sin j1)] /[r2 (cos j2 + i sin j2)] =
= [r1 (cos j1 + i sin j1) (cos j2 - i sin j2)] /[r2 (cos j2 + i sin j2) (cos j2 - i sin j2)] =
= [r1 (cos j1 cos j2 + i sin j1 cos j2 - i sin j2 cos j1 - i² sin j1 sin j2)] /[r2 (cos² j2 + sin² j2)] =
= [r1 [(cos j1 cos j2 + sin j1 sin j2) + i (sin j1 cos j2 - cos j1 sin j2)]] /[r2 (cos² j2 + sin² j2)] =
= r1/r2 [cos (j1-j2) + i sin (j1-j2)]
z1/z2 = (r1; j1)/(r2; j2) = (r1/r2; j1-j2)
Beim Dividieren von komplexen Zahlen werden die Radien dividiert und die Winkel subtrahiert.
5) Graphisches Rechnen mit komplexen Zahlen:
Addition:
Subtraktion:
Multiplikation:
Division:
D0EZ1 » D(0,Z2,Z1*Z2) ................. Strahlensatz
0E : 0Z1 = 0Z2 : 0Z1*Z2
1 : r1 = r2 : r1*r2
r1*r2 = r1*r2
6) Potenzieren von komplexen Zahlen:
z = r (cos j + i sin j)
zn = [r (cos j + i sin j)]n = rn (cos j + i sin j)n
zn = rn [cos j+j+j+... + i sin j+j+j+...] = rn [cos (j*n) + i sin (j*n)]
Þ (cos j + i sin j)n = cos (n*j) + i sin (n*j)
Formel von DE MOIVRE
7) Wurzelziehen (Radizieren) von komplexen Zahlen:
Definition: z Î C heißt n-te Wurzel aus z Î C, wenn zn = z
z=nÖ[z] n Î N, n ¹ 1
Bsp.: (1+i)² = 2i
(-1-i)² = 2i
Ö[2i] = 1+i
= -1-i
a) mit Binomialform:
Ö[2i] = a+bi /²
2i = a² +2abi -b²
0 + 2i = (a²-b²) + 2abi ............. Koeffizientenvergleich
0 = a²-b²
2 = 2ab Þ a=1/b
0 = 1/b² - b² /*b²
1-b4 = 0
b4 = 1
b² = +/(-) 1
b² = 1
b = ± 1
b1=1 a1=1
b2=-1 a2=-1
Ö[2i] = 1+i
= -1-i
b) mit Polarkoordinaten:
z1 = Ö[2i] = Ö[(2;90°)] = (Ö[2];90°/2) = (Ö[2];45°) = 1+i
z2 = (Ö[2];[360°+90°]/2) = (Ö[2];450°/2) = (Ö[2];225°) = -1-i
nÖ[z] = nÖ[(r;j)] = (nÖ[r];[ j+0*360°]/n) ....... 1. Nebenwert
= (nÖ[r];[ j+1*360°]/n) ....... 2. Nebenwert
= (nÖ[r];[ j+2*360°]/n) ....... 3. Nebenwert
..........
= (nÖ[r];[ j+(n-1)*360°]/n) ....... n. Nebenwert
= (nÖ[r];[ j+(k-1)*360°]/n) k=1,2,3,...,n
Eine Wurzel aus einer komplexen Zahl ist wieder eine komplexe Zahl.
8) Exponentialform komplexer Zahlen:
cos j + i sin j = eij
EULERsche Formel
z = r * eij ..... Exponentialform
e2pi = cos 2p + i sin 2p = 1
e[p/2]i = cos p/2 + i sin p/2 = i
ii = (e[p/2]i)i = e[p/2]i² = e[-p/2] = 1/[e[p/2] ] = 0.207879576351
2i = (e ln 2)i = e ln 2 i = cos (ln 2) + i sin (ln 2) = 0.77 + 0.64i
a = e ln a
Beweis: a = e ln a /ln
ln a = (ln a) (ln e)
ln a = ln a
Bsp. 5)
Die Menge C als nicht geordneter Körper
R ist geordnet, da " a,b Î R gilt:
1) a < b
oder 2) a = b
oder 3) a > b
C ist nicht geordnet, da " z1,z2 Î C nur gilt:
1) z1 = z2
oder 2) z1 ¹ z2
Bsp.: z1 = i
z2 = 2i
1) i = 2i /-i
0 = i f. A.
0+0i = 0+1i
2) i < 2i /-i
0 < i
i > 0 /*i>0
i² > 0
-1 > 0 f. A. ........ indirekter Beweis
3) i > 2i /-i
0 > i
i < 0 /*i<0
i² > 0
-1 > 0 f. A.
Þ bei komplexen Zahlen sinnlos: >, <
Þ C ist nicht geordnet
C ist ein Körper:
1) (C;+) kommutative Gruppe
a) Abgeschlossenheit: " z1,z2 Î C: z1 + z2 = z3 Î C
b) Assoziativgesetz (AG): " z1,z2,z3 Î C: (z1+z2)+z3 = z1+(z2+z3)
c) neutrales Element n: " z Î C $ n Î C:
z + n = n + z = z
n = 0 = 0 + 0i Î C
d) inverses Element z*: " z Î C $ z* Î C:
z + z* = z* + z = n = 0
z* = -z Î C
a) - d) Þ Gruppe
e) Kommutativgesetz (KG): " z1,z2 Î C: z1 + z2 = z2 + z1
2) (C\{n=0};*) kommutative Gruppe:
a) Abgeschlossenheit: " z1,z2 Î C\{0}: z1 * z2 = z3 Î C\{0}
b) Assoziativgesetz (AG): " z1,z2,z3 Î C\{0}: (z1*z2)*z3 = z1*(z2*z3)
c) neutrales Element n1: " z Î C\{0} $ n1 Î C\{0}:
z * n1 = n1 * z = z
n1 = 1 = 1 + 0i
d) inverses Element z*: " z Î C\{0} $ z* Î C\{0}:
z * z* = z* * z = n1 = 1
z * z* = 1 /:z¹0
z* = 1/z = 1/[a+bi]
a) - d) Þ Gruppe
e) Kommutativgesetz (KG): " z1,z2 Î C\{0}: z1 * z2 = z2 * z1
3) es müssen die beiden Distributivgesetze (DG) gelten:
" z1,z2,z3 Î C:
z1*(z2+z3) = z1*z2 + z1*z3
(z1+z2)*z3 = z1*z3 + z2*z3
Þ C ist ein Körper (nicht geordnet)
Bsp. 6)
Berechne Ö[ -1/2 - [iÖ[3]] /[2] ] auf zwei Arten (mit, ohne Polarkoordinaten) und zeige, daß eine Lösung eine dritte Einheitswurzel ist.
Ö[ -1/2 - [iÖ[3]] /[2] ] = a + bi /²
-1/2 - [iÖ[3]] /[2] = a² + 2abi - b²
-1/2 = a² - b²
[-Ö[3]] /[2] = 2ab Þ a = [-Ö[3]] /[4b]
-1/2 = 3/[16b²] - b² /*16b²
-8b² = 3 - 16b4
16b4 - 8b² - 3 = 0 b² = u
16u² - 8u - 3 = 0
u1,2 = [8 ± Ö[64 + 192] ]/32 = [8 ± Ö[256] ]/32 = [8 ± 16]/32
u1 = 24/32 = ¾
u2 = -8/32 = -1/4
b² = ¾ b1,2 = ± Ö[3]/2
b² = -1/4 b3,4 = ± i/2 Ï R
a1,2 = ± Ö[3] /[2Ö[3] ] = ± ½
L = {-1/2 + Ö[3]/2 i ; ½ - Ö[3]/2 i}
r = Ö[a² + b²] = Ö[1/4 + 3/4] = Ö[1] = 1
j = arctan [b/a] = arctan [ [-Ö[3]/2] /[-1/2] ] = arctan Ö[3] = 240°
Ö[-1/2 - [iÖ[3]] /[2] ] = Ö[(1;240°)] = (Ö[1]; 240°/2) = (1;120°) = -1/2 + Ö[3]/2 i
Ö[(1;240°)] = (Ö[1]; [240°+360°] /2) = (Ö[1]; 600°/2) = (1;300°) = ½ - Ö[3]/2 i
L = {-1/2 + Ö[3]/2 i ; ½ - Ö[3]/2 i}
z³ - 1 = 0 = (z - 1) (z² + z + 1)
z1 = 1
z² + z + 1 = 0
z2,3 = -1/2 ± Ö[1/4 - 1] = -1/2 ± Ö[-3/4] = -1/2 ± Ö[3]/2 i
z2 = -1/2 + Ö[3]/2 i
z3 = -1/2 - Ö[3]/2 i
L = {1 ; -1/2 + Ö[3]/2 i ; -1/2 - Ö[3]/2 i}
Bsp. 7)
9z² - 18 (1+i) z + 2 (16+21i) = 0 G = C
z1,2 = [18 (1+i) ± Ö[324 (1+2i-1) - 72 (16+21i)] ] /18 =
= [18 + 18i ± Ö[648i - 1152 - 1512i] ] /18 = [(18 + 18i) ± Ö[-1152 - 864i] ] /18 = /*
= [(18 + 18i) ± (12 - 36i)] /18
z1 = [18 + 18i + 12 - 36i] /18 = [30 - 18i] /18 = 5/3 - i
z2 = [18 + 18i - 12 + 36i] /18 = [6 + 54i] /18 = 1/3 + 3i
L = {5/3 - i ; 1/3 + 3i}
*) Ö[-1152 - 864i] = Ö[(1440;216.87°)] =
= (Ö[1440]; 216.87°/2) = (37.95;108.43°) =
= -12 + 36i
= (Ö[1440]; [216.87° + 360°] /2) =
= (Ö[1440]; 576.87°/2) = (37.95;288,43°) =
= 12 - 36i
Bsp. 8)
Polynome
Definition:
Eine Linearkombination der Form
P n(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a 1 x + a 0 = n å i=0 a i x i
, wobei a i Î C und a n ¹ 0, heißt ein Polynom n-ten Grades in 1 Variablen.
n ................. Grad des Polynoms
a i ............... Koeffizienten
a 0 ............... konstantes Glied
Nullstellen:
Eine Zahl a heißt Nullstelle von P n(a) = a n x n + ... + a 0 , wenn P n(a) = 0.
Fundamentalsatz der Algebra von Gauss:
Jedes Polynom n-ten Grades hat mindestens 1 Nullstelle in C.
Þ Jedes Polynom n-ten Grades hat genau n Nullstellen in C.
Das HORNER´sche Verfahren zur Berechnung von Polynomwerten:
P3 (x) = a3 x³ + a2 x² + a1 x + a0 =
= x (a3 x² + a2 x + a1) + a0 =
= x [x (a3 x + a2) + a1] + a0
a3
a2
a1
a0
a
a3
a3 * a + a2
a (a3 a + a2) + a1
a [a (a3 a + a2) + a1] + a0 = P3 (a)
P4 (x) = 5 x4 - x³ + 3x + 4
ges.: P4 (-3) = 427
P4 (2) = 82
5
-1
0
3
4
-3
5
-16
48
-141
427
2
5
9
18
39
82
P3 (z) = z³ - 2z² + z - 3
P3 (2+i) = -5 + 4i
P3 (2-i) = -5 - 4i
1
-2
1
-3
2 + i
1
i
2i
-5 + 4i
2 - i
1
-i
-2i
-5 - 4i
allgemein: P (z-) = [P (z)]- , nur dann, wenn a i Î R
Zerfällen von algebraischen Gleichungen, Satz von VIETA für Gleichungen höheren Grades:
geg.: Pn (x) = 1 x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a1 x + a0 = 0
Voraussetzung: an = 1 .......... Polynom n-ten Grades
Annahme: x1 ..... Lösung von Pn (x)
Pn (x-1) = x1 n + a n-1 x1 n-1 + a n-2 x1 n-2 + ... + a1 x1 + a0 = 0
(x n - x1 n) + a n-1 (x n-1 - x1 n-1) + a n-2 (x n-2 - x1 n-2) + ... + a1 (x - x1) = 0
(x - x1) [x n-1 + b n-2 x n-2 + ... + b1 x + b0] = 0 .................... Polynom (n-1)-ten Grades
Þ $ n Lösungen: x1, x2, ..., xn
(x - x1) (x - x2) (x - x3) ... (x - xn) = 0
Pn (x) = x n + a n-1 x n-1 + ... + a1 x + a0 = (x - x1) (x - x2) ... (x - xn)
x4 + 2x³ - 13x² - 14x + 24 = 0
x1 = 1
x2 = -2
(x - 1) ( x + 2) = x² + x - 2
(x4 + 2x³ - 13x² - 14x + 24) : (x² + x - 2) = x² + x - 12
- x4 - x³ + 2x²
x³ - 11x² - 14x
- x³ - x² + 2x
- 12x² - 12x + 24
+ 12x² + 12x - 24
0 R.
x² + x - 12 = 0
x3,4 = -1/2 ± Ö[1/4 + 12] = -1/2 ± Ö[49/4] = -1/2 ± 7/2
x3 = 3
x4 = -4
L = {1; -2; 3; -4}
Bsp. 9)
Gleichungen höheren Grades (>2)
a) Reziproke Gleichungen (Symmetrische Gleichungen):
Reziproke Gleichungen sind Gleichungen, die zu jeder Lösung a auch 1/a als Lösung besitzen. Reziproke Gleichungen sind symmetrisch bzw. antisymmetrisch.
a3 x³ + a2 x² + a1 x + a0 = 0
symmetrisch: a3 = a0
a2 = a1
antisymmetrisch: a3 = - a0
a2 = - a1
2x³ - 3x² - 3x + 2 = 0 G = R
2x³ + 2 - 3x² - 3x = 0
2 (x³ + 1) - 3x (x + 1) = 0
2 (x + 1) (x² - x + 1) - 3x (x + 1) = 0
(x + 1) [2 (x² - x + 1) - 3x] = 0
x1 = -1 2x² - 5x + 2 = 0
x2,3 = [5 ± Ö[25 - 16] ] /4 = [5 ± Ö[9] ] /4 = [5 ± 3] /4
x2 = [5 + 3] /4 = 8/4 = 2
x3 = [5 - 3] /4 = 2/4 = ½
L = {-1; 1/2; 2}
2x³ - 3x² + 3x - 2 = 0 G = R
2x³ - 2 - 3x² + 3x = 0
2 (x³ - 1) - 3x (x - 1) = 0
2 (x - 1) (x² + x + 1) - 3x (x - 1) = 0
(x - 1) [2 (x² + x + 1) - 3x] = 0
x1 = 1 2x² - x + 2 = 0
x2,3 = [1 ± Ö[1 - 16] ] /4 = [1 ± Ö[-15] ] /4 = [1 ± 3.87i] /4
x2 = [1 + 3.87i] /4 = ¼ + 0.97i Ï R
x3 = [1 - 3.87i] /4 = ¼ - 0.97i Ï R
L = {1}
Jede reziproke Gleichung 3. Grades hat entweder 1 oder -1 als Lösung.
b) 2x4 + 5x³ + 4x² + 5x + 2 = 0 /:x² ¹ 0 G = C
2x² + 5x + 4 + 5/x + 2/x² = 0
(2x² + 2/x²) + (5x + 5/x) + 4 = 0
2 (x² + 1/x²) + 5 (x + 1/x) + 4 = 0
x + 1/x = u /² ... Substitution
x² + 2 + 1/x² = u²
x² + 1/x² = u² - 2
2 (u² - 2) + 5u + 4 = 0
2u² + 5u = 0
u (2u + 5) = 0
u1 = 0 u2 = -5/2
x + 1/x = 0 /*x
x² + 1 = 0
x² = -1 /Ö
x = ± i
x1 = i
x2 = -i
x + 1/x = -5/2 /*x
x² + 5/2 x + 1 = 0
x3,4 = -5/4 ± Ö[25/16 - 1] = -5/4 ± Ö[9/16] = -5/4 ± ¾
x3 = -5/4 + ¾ = -2/4 = -1/2
x4 = -5/4 - ¾ = -8/4 = -2
L = {i; -i; -1/2; -2}
c) a4 x4 + a2 x² + a0 = 0 G = C
x² = u
a4 u² + a2 u + a0 = 0
usw.
d) a0 = 0 Þ x herausheben, usw.
e) x4 - 6x³ + 14x² - 16x + 8 = 0 G = C
T8 = {±1; ±2; ±4; ±8}
1
-6
14
-16
8
2
1
-4
6
-4
0
x1 = 2
x³ - 4x² + 6x - 4 = 0
T4 = {±1; ±2; ±4}
1
-4
6
-4
2
1
-2
2
0
x2 = 2
x² - 2x + 2 = 0
x3,4 = 1 ± Ö[1 - 2] = 1 ± Ö[-1] = 1 ± i
x3 = 1 + i
x4 = 1 - i
L = {2 (2) ; 1+i; 1-i}
2x4 + x³ - 9x² + 16x - 6 = 0 G = C
T = {±1; ±2; ±3; ±6; ± 1/2; ± 3/2}
2
1
-9
16
-6
-3
2
-5
6
-2
0
x1 = -3
2x³ - 5x² + 6x - 2 = 0
T = {±1; ±2; ± 1/2}
2
-5
6
-2
1/2
2
-4
4
0
x2 = ½
2x² - 4x + 4 = 0 /:2
x² - 2x + 2 = 0
x3,4 = 1 ± Ö[1 - 2] = 1 ± Ö[-1] = 1 ± i
x3 = 1 + i
x4 = 1 - i
L = {-3; 1/2; 1+i; 1-i}
f) Gleichungen ab dem 5. Grad sind nicht mehr allgemein lösbar.
Bsp. 10)
Funktionen
1) Funktion:
Definition:
Eine Funktion f: x ® y ist eine Zuordnung, die jedem Element von x = Df genau ein Element von y = f(x) der Wertemenge Wf Í y zuordnet.
Þ Funktion = eindeutige Zuordnung !
A = {2; 4; 5}
B = {8; 5; 15}
f: „x ist Teiler von y“
(1)
... Pfeildiagramm
f ist zwar eine Zuordnung, aber keine Funktion
(2) Menge von geordneten Paaren:
f: {(2/8); (4/8); (5/5); (5/15)}
(3)
(4) Wertetabelle
Definition:
Eine Funktion f heißt injektiv, wenn jedes y Î Y höchstens einmal getroffen wird.
injektiv: " x1 ¹ x2 Þ f(x1) ¹ f(x2)
Eine Funktion f heißt surjektiv, wenn jedes y Î Y mindestens einmal getroffen wird.
Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
2) Monotonie:
Definition:
y = f(x) heißt streng monoton steigend (monoton steigend), wenn
" x1 < x2 Î D Þ f(x1) < f(x2)
(f(x1) £ f(x2))
y = f(x) heißt streng monoton fallend (monoton fallend), wenn
" x1 < x2 Î D Þ f(x1) > f(x2)
(f(x1) ³ f(x2))
3) Umkehrfunktion:
f*: Umkehrzuordnung x « y
4) Beschränktheit:
Definition:
Eine Funktion y = f(x) heißt nach oben beschränkt, wenn $ M Î R, daß f(x) £ M " x Î Df
Eine Funktion y = f(x) heißt nach unten beschränkt, wenn $ m Î R, daß f(x) ³ m " x Î Df
Eine Funktion heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach unten als auch nach oben beschränkt ist.
größte untere Schranke = Infimum = inf f(x)
kleinste obere Schranke = Supremum = sup f(x)
5) Intervalle, Umgebungen:
Definition:
geg.: a £ b a, b Î R
offenes Intervall = ]a; b[ = (a; b) = {x Î R ç a < x < b}
abgeschlossenes Intervall = [a; b] = {x Î R ç a £ x £ b}
e - Umgebung von a:
e - Umgebung von a = U(a; e)
® e > 0
U(a; e) = ]a-e; a+e[ = {x Î R ç a-e < x < a+e} = {x Î R ç çx-aç < e}
6) Stetigkeit:
geg.: y = f(x)
lim [x®a1-0] f(x) = lim [x®a1+0] f(x) = f(a1)
Grenzwert Grenzwert Funktionswert
von links von rechts
Definition:
Eine Funktion y = f(x) ist an der Stelle a stetig, wenn " e > 0 (e-Umgebungen um f(a)) $ d = d(e) > 0 (um a), so daß " x Î ]a-d; a+d[ : çf(x) - f(a)ç < e
Eine Funktion y = f(x) heißt stetig, wenn sie an jeder Stelle von Df stetig ist.
Eine stetige Kurve muß eine zusammenhängende Kurve sein.
lim [x®0-0] sgn x = -1 lim [x®0+0] sgn x = 1 sgn 0 = 0
Þ an Stelle 0 nicht stetig
7) Sätze über stetige Funktionen:
(1) Zwischenwertsatz:
Ist f in [a; b] eine stetige Funktion und gilt f(a) ¹ f(b), so nimmt f in ]a; b[ jeden Wert zwischen f(a) und f(b) mindestens einmal an.
(2) Nullstellensatz:
Haben f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, so besitzt f in ]a; b[ mindestens eine Nullstelle.
(3) Sind f und g in [a; b] stetig, so ist auch stetig:
a) c * f c Î R
b) f + c c Î R
c) f ± g
d) f * g
e) f / g , wenn g ¹ 0 in [a; b]
f) f n n Î N
Bsp. 11)
Differentialrechnung (Infinitesimalrechnung)
Isaac Newton (1643 - 1727) mit Hilfe der Momentangeschwindigkeit
Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646 - 1716) mit Hilfe des Tangentenproblems
1) Differenzenquotient, Differentialquotient:
Aufgabe der Differentialrechnung: Bestimmung des Anstiegs der Tangente in beliebigem Kurvenpunkt
geg.: y = f(x) ... stetig
P Î f
ges.: t in P
Q ® P Û Dx ® 0
Sekantenfolge
lim [n®¥] sn = t
Unter der Tangente in P versteht man die Grenzlage der Sekanten, wenn Q sich P nähert.
Unter dem Anstieg einer Kurve in P versteht man den Anstieg der Tangente in P.
Steigung von s1: tan b = Dx / Dy = [f(x + Dx) - f(x)] /Dx ... Differenzenquotient = Anstieg der Sekante
Q: f(x + Dx) = y + Dy
Dy = f(x + Dx) - y
Dy = f(x + Dx) - f(x)
tan a = y´(x) = f´(x) = lim [Dx®0] Dy / Dx = lim [Dx®0] [f(x + Dx) - f(x)] /Dx = dy / dx
... Differentialquotient = Anstieg der Tangente = 1. Ableitung von y = f(x)
Differenzieren bedeutet Berechnung des Differentialquotienten = Berechnung des Anstiegs einer Kurve
Bsp. 12)
Ableitung einfacher Funktionen
a) konstante Funktion:
y = c
y´ = lim [Dx®0] Dy / Dx = lim [Dx®0] [f(x + Dx) - f(x)] /Dx = lim [Dx®0] [c - c] /Dx =
= lim [Dx®0] 0/Dx = lim [Dx®0] 0 = 0
b) Ableitung von y = xn: n Î N
y = xn
y´ = n * x n-1
Beweis:
y = xn n Î N
a² - b² = (a - b) (a + b)
a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)
... ...
an - bn = (a - b) (a n-1 + a n-2 b + a n-3 b² + ... + a b n-2 + b n-1 ) /:(a - b)
[an - bn] /[a - b] = a n-1 + a n-2 b + ... + a b n-2 + b n-1 ... n Glieder
a = x + Dx
b = x
y´ = lim [Dx®0] [f(x + Dx) - f(x)] /Dx = lim [Dx®0] [(x + Dx) n - x n] /Dx =
= lim [Dx®0] [Dx [(x + Dx) n-1 + (x + Dx) n-2 x + ... + x n-1] ] /Dx =
= lim [Dx®0] [(x + Dx) n-1 + (x + Dx) n-2 x + ... + x n-1] = x n-1 + x n-2 x + x n-3 x² + ... + x n-1 =
= x n-1 + x n-1 + x n-1 + ... = ... n Glieder
= n * x n-1 q. e. d.
gilt auch für beliebige Exponenten
c) Ableitung von y = a * xn: a Î R ... konstanter Faktor
y´ = lim [Dx®0] Dy / Dx = lim [Dx®0] [f(x + Dx) - f(x)] /Dx =
= lim [Dx®0] [a (x + Dx) n - a * x n] /Dx = lim [Dx®0] [a [(x + Dx) n - x n] ] /Dx =
= a lim [Dx®0] [(x + Dx) n - x n] /Dx = a * n * x n-1
y = a * xn
y´ = a * n * x n-1
y = a * f(x)
y´ = a * f´(x)
Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten.
d) Ableitung einer Summe (Differenz):
geg.: y = u(x) + v(x) = f(x)
Behauptung: y´ = u´(x) + v´(x)
Voraussetzung:
$ u´(x) = lim [Dx®0] [u(x + Dx) - u(x)] /Dx
$ v´(x) = lim [Dx®0] [v(x + Dx) - v(x)] /Dx
Beweis:
y´ = lim [Dx®0] [f(x + Dx) - f(x)] /Dx = lim [Dx®0] [ [u(x + Dx) + v(x + Dx)] - [u(x) + v(x)] ] /Dx =
= lim [Dx®0] [ [u(x + Dx) - u(x)] /Dx + [v(x + Dx) - v(x)] /Dx ] =
= lim [Dx®0] [u(x + Dx) - u(x)] /Dx + lim [Dx®0] [v(x + Dx) - v(x)] /Dx =
= u´(x) + v´(x) q. e. d.
u, v ... differenzierbar, d. h. zumindest stetig, Þ daher Grenzwert und Funktionswert vertauschbar
Ableitung einer Summe (Differenz) = Summe (Differenz) der Ableitungen
e) Produktregel:
geg.: y = u(x) * v(x) = f(x)
Voraussetzung:
$ u´(x) = lim [Dx®0] [u(x + Dx) - u(x)] /Dx
$ v´(x) = lim [Dx®0] [v(x + Dx) - v(x)] /Dx
y´ = lim [Dx®0] [f(x + Dx) - f(x)] /Dx = lim [Dx®0] [u(x + Dx) * v(x + Dx) - u(x) * v(x)] /Dx =
= lim [Dx®0] [u(x + Dx) * v(x + Dx) - u(x) * v(x + Dx) + u(x) * v(x + Dx) - u(x) * v(x)] /Dx =
= lim [Dx®0] [v(x + Dx) [u(x + Dx) - u(x)] + u(x) [v(x + Dx) - v(x)] ] /Dx =
= lim [Dx®0] [v(x + Dx) [u(x + Dx) - u(x)] /Dx] + lim [Dx®0] [u(x) [v(x + Dx) - v(x)] /Dx] =
= v(x) * u´(x) + u(x) * v´(x) q. e. d.
y = u(x) * v(x)
y´= u´(x) * v(x) + u(x) * v´(x)
f) Ableitung eines Quotienten:
y = u / v
y´ = [u´ * v - u * v´] /v²
y = u(x) / v(x) = f(x)
y´ = [u´(x) * v(x) - u(x) * v´(x)] /[v(x)²] = f´(x)
Annahme:
$ u´(x) = lim [Dx®0] [u(x + Dx) - u(x)] /Dx
$ v´(x) = lim [Dx®0] [v(x + Dx) - v(x)] /Dx
Beweis:
u(x) / v(x) = f(x) /*v(x)
u(x) = f(x) * v(x) /´
u´(x) = f´(x) * v(x) + f(x) * v´(x)
f´(x) * v(x) = u´(x) - f(x) * v´(x) /:v(x)
f´(x) = [u´(x) - f(x) * v´(x)] /[v(x)]
f´(x) = [u´(x) - u(x)/v(x) * v´(x)] /[v(x)] =
= [ [u´(x) * v(x) - u(x) * v´(x)] /[v(x)] ] /[v(x)] =
= [u´(x) * v(x) - u(x) * v´(x)] /[v²(x)]
Spezialfälle:
1) y = 1/v(x) y´ = - [v´(x)] /[v²(x)]
2) y = 1/x y´ = - 1/x² y´´ = 2x/x4 = 2/x³ y´´´ = - 6/x4
g) Kettenregel:
y = f(z) ... äußere Funktion
z = g(x) ... innere Funktion
y = f(z) = f(g(x)) = h(x)
h = f ° g
y´ = f´(z) * g´(x)
h) Ableitung der Kettenregel:
geg.: y = h(x) = f(g(x)) = f(z)
Voraussetzung:
$ f´(z) = lim [Dx®0] [f(z + Dz) - f(z)] /Dz
$ g´(x) = lim [Dx®0] [g(x + Dx) - g(x)] /Dx
Beweis:
g(x) = z
g(x + Dx) = z + Dz
(Dx®0 Û Dz®0)
Dz = g(x + Dx) - z = g(x + Dx) - g(x)
y´ = lim [Dx®0] [h(x + Dx) - h(x)] /Dx = lim [Dx®0] [f(g(x + Dx)) - f(g(x))] /Dx =
= lim [Dx®0; Dz®0] [f(z + Dz) - f(z)] /Dx = lim [Dx®0; Dz®0] [ [f(z + Dz) - f(z)] /Dx * Dz/Dz ] =
= lim [Dx®0; Dz®0] [ [f(z + Dz) - f(z)] /Dz * Dz/Dx ] =
= lim [Dx®0; Dz®0] [ [f(z + Dz) - f(z)] /Dz * [g(x + Dx) - g(x)] /Dx ] =
= lim [Dz®0] [f(z + Dz) - f(z)] /Dz * lim [Dx®0] [g(x + Dx) - g(x)] /Dx =
= f´(z) * g´(x) q. e. d.
Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion ist gleich dem Produkt aus der Ableitung der äußeren Funktion und der Ableitung der inneren Funktion.
Bsp. 13)
geg.: y = [3x² + 1] /[2x Ö[7 - 4x] ]
ges.: Gleichung der Tangente in P (1/y)
y´ = [6x * 2x Ö[7 - 4x] - (3x² + 1) [2 Ö[7 - 4x] + 2x * ½ (7 - 4x)^(-1/2) (-4)] ] /[(2x Ö[7 - 4x])²] =
= [12x² Ö[7 - 4x] - (3x² + 1) [2 Ö[7 - 4x] + [-4x]/[ Ö[7 - 4x]] ] ] /[4x² (7 - 4x)] =
= [12x² Ö[7 - 4x] - (3x² + 1) [2 (7 - 4x) - 4x]/[ Ö[7 - 4x]] ] /N =
= [12x² Ö[7 - 4x] - [(3x² + 1) (-12x + 14)]/[ Ö[7 - 4x]] ] /N =
= [ [12x² (7 - 4x) + 36x³ - 42x² + 12x - 14]/[ Ö[7 - 4x]] ] /N =
= [-12x³ + 42x² + 12x - 14] /[4x² (7 - 4x) Ö[7 - 4x]] =
= [-6x³ + 21x² + 6x - 7] /[2x² (7 - 4x) Ö[7 - 4x]]
y(1) = 4 /[2Ö[3]] = 2/Ö[3]
P (1 / 2/Ö[3])
t: y = kx + d
y´(1) = [-6 + 21 + 6 - 7] /[2 * 3 Ö[3]] = 14/[6Ö[3]] = 7/[3Ö[3]] = k
y = 7/[3Ö[3]] x + d
P: 2/Ö[3] = 7/[3Ö[3]] * 1 + d
d = 2/Ö[3] - 7/[3Ö[3]] = [6 - 7] /[3Ö[3]] = - 1/[3Ö[3]]
t: y = 7/[3Ö[3]] x - 1/[3Ö[3]]
Bsp. 14)
Sätze der Differentialrechnung
Satz von Rolle:
Ist f in [a; b] stetig und in ]a; b[ differenzierbar und gilt f(a) = f(b), so $ mindestens 1 Stelle x in ]a; b[ mit f´(x) = 0
Mittelwertsatz der Differentialrechnung:
Ist f in [a; b] stetig und in ]a; b[ differenzierbar, so besitzt f in ]a; b[ mindestens 1 Stelle x mit f´(x) = [f(b) - f(a)] /[b - a]
Sehne s: tan a = [f(b) - f(a)] /[b - a]
Þ mindestens 1 zur Sehne f(a)-f(b) || Tangente
Bsp. 15)
geg.: f: R ® R, x ® ax³ + bx² + cx + d hat im Ursprung die Steigung 3 und im Punkt T (6/0) einen Tiefpunkt
g: R ® R, x ® px² + qx + r hat einen Scheitelpunkt an der Stelle 3 und schneidet f im Ursprung
rechtwinkelig
ges.: f, g, Diskussion
f: y = ax³ + bx² + cx + d
y´ = 3ax² + 2bx + c
f: y(0) = 0 = d
y(6) = 0 = 216a + 36b + 6c + d
y´(0) = 3 = c
y´(6) = 0 = 108a + 12b + c
Þ a = 1/12 ; b = -1 ; c = 3 ; d = 0
f: y = (1/12)x³ - x² + 3x
g: y = px² + qx + r
y´ = 2px + q
g: y(0) = 0 = r
y´(3) = 0 = 6p + q
y´(0) = -1/3 = q
Þ p = 1/18 ; q = -1/3 ; r = 0
g: y = (1/18)x² - (1/3)x
Diskussion:
f: y = (1/12)x³ - x² + 3x
y´ = (1/4)x² - 2x + 3
y´´ = (1/2)x - 2
1) D = R
2) (1/12)x³ - x² + 3x = 0
Þ x1 = 0
x2,3 = 6
N1 (0/0)
N2 (6/0) (2)
3) $ a
4) (1/4)x² - 2x + 3 = 0
Þ x1 = 6
x2 = 2
y´´(6) = 1 > 0 Þ T (6/0)
y´´(2) = -1 < 0 Þ H (2/[8/3])
5) (1/2)x - 2 = 0
x = 4
W (4/[4/3])
w: y = kx + d
y´(4) = -1
4/3 = -4 + d
d = 16/3
w: y = -x + 16/3
g: y = (1/18)x² - (1/3)x
y´ = (1/9)x - (1/3)
y´´ = 1/9
D = R
(1/18)x² - (1/3)x = 0
Þ x1 = 0
x2 = 6
N1 (0/0)
N2 (6/0)
$ a
(1/9)x - (1/3) = 0
x = 3
y´´(3) = 1/9 > 0 Þ T (3/[-1/2])
1/9 = 0 f. A.
Þ $ W
6)
x
x < 2
x = 2
2< x <6
x = 6
x > 6
x
x < 3
x = 3
x > 3
f´
> 0
0
< 0
0
> 0
g´
< 0
0
> 0
Þ
s. m. st.
H
s. m. f.
T
s. m. st.
Þ
s. m. f.
T
s. m. st.
x
x < 4
x = 4
x > 4
x
-¥
f´´
< 0
0
> 0
g´´
> 0
Þ
neg. gekr.
W
pos. gekr.
Þ
pos. gekr.
7)
Bsp. 16)
geg.: y = x³/[(x-1)²]
ges.: Kurvendiskussion
y = x³/[(x-1)²]
y´ = [3x² (x-1)² - x³ 2(x-1)] /[(x-1)^4] = [(x-1) [3x² (x-1) - 2x³] /[(x-1)^4] = [3x³ - 3x² - 2x³] /[(x-1)³] =
= [x³ - 3x²] /[(x-1)³]
y´´ = [(3x² - 6x) (x-1)³ - (x³ - 3x²) 3(x-1)²] /[(x-1)^6] = [(x-1)² [(3x² - 6x) (x-1) - 3(x³ - 3x²)]] /[(x-1)^6] =
= [3x³ - 6x² - 3x² + 6x - 3x³ + 9x²] /[(x-1)^4] = [6x] /[(x-1)^4]
1) (x-1)² = 0 /Ö
x-1 = 0
x = 1
D = R \ {1}
2) x³/[(x-1)²] = 0 /*N
x³ = 0
x = 0
N (0/0) (3)
3) a1: x = 1
lim [x®±¥] (x³/[(x-1)²]) = lim [x®±¥] (x + [2x² - x] /[x² - 2x + 1]) =
= lim [x®±¥] (x + [2x²/x² - x/x²] /[x²/x² - 2x/x² + 1/x²]) = lim [x®±¥] (x + [2 - 1/x] /[1 - 2/x + 1/x²]) =
= lim [x®±¥] (x + 2)
a2: y = x + 2
4) [x³ - 3x²] /[(x-1)³] = 0 /*N
x³ - 3x² = 0
Þ x1,2 = 0
x3 = 3
y´´(0) = 0 Þ S (0/0) (2)
y´´(3) = 9/8 > 0 Þ T (3/[27/4])
5) [6x] /[(x-1)^4] = 0 /*N
6x = 0
x = 0
W (0/0)
w: y = kx + d
y´(0) = 0
d = 0
w: y = 0
6)
x
x < 0
x = 0
0 < x < 1
1 < x < 3
x = 3
x > 3
f´
> 0
0
> 0
< 0
0
> 0
Þ
s. m. st.
S
s. m. st.
s. m. f.
T
s. m. st.
x
x < 0
x = 0
0 < x < 1
x > 1
f´´
< 0
0
> 0
> 0
Þ
neg. gekr.
W
pos. gekr.
pos. gekr.
7)
Bsp. 17)
Einem gleichschenkeligen Dreieck soll jenes Rechteck eingeschrieben werden, daß den größten Flächeninhalt besitzt !
HB: A = x * y ..... Max.
DAMC » DADE ..... Strahlensatz
a/2 : h = AD : DE
a/2 : h = (a/2 - x/2) : y
a/2 * y = h (a/2 - x/2)
y = [2h (a/2 - x/2)] /[a]
NB: y = [h (a - x)] /[a]
A = x * [h (a - x)] /[a]
f(x) = x * [h (a - x)] /[a] = h/a * x(a-x)
f(x) = h/a (ax - x²)
f´(x) = h/a (a - 2x)
h/a (a - 2x) = 0
a - 2x = 0
x = a/2
NB: y = [h (a - a/2)] /[a] = [[a h] /2] /[[TG2] a] = [a h] /[2a] = h/2
y = h/2
Dx = [0;a]
Dy = [0;h]
HB: A = x * y = a/2 * h/2 = [a h] /4
f´´(x) = h/a (-2)
f´´(a/2) = [-2h] /[[TG3] a] < 0 Þ Max.
A: Das Rechteck mit den Seiten a/2 ; h/2 hat den maximalen Flächeninhalt [a h] /4 .
Bsp. 18)
Welches von allen Rechtecken mit gegebener Diagonale hat die größte Fläche ?
HB: A = a * b ..... Max. NB: a² + b² = d²
A = a Ö[d² - a²] b = Ö[d² - a²]
g(a) = a Ö[d² - a²] /²
f(a) = g²(a) = a² (d² - a²) NB: b = Ö[d² - a²] =
f(a) = a²d² - a^4 = Ö[d² - d²/2] = Ö[d²/2] =
f´(a) = 2ad² - 4a³ = d/2 Ö[2]
0 = d² * 2a - 4a³ = a (d² * 2 - 4a²)
a1 = 0 2d² = 4a² A = a b = (d/2 Ö[2])² = d²/2
a² = d²/2
a2 = d/2 Ö[2]
f´´(a) = 2d² - 12a²
f´´(0) = 2d² > 0 Þ Min.
f´´(d/2 Ö[2]) = 2d² - 12 d²/2 = 2d² - 6d² = -4d² < 0 Þ Max.
A: Das Quadrat mit der Seitenlänge d/2 Ö[2] hat die maximale Fläche d²/2 .
Bsp. 19)
Von einem quadratischen Blech (Seitenlänge = a) werden an den Ecken Quadrate ausgeschnitten, aus dem Rest wird eine Schachtel gebildet. Wie groß muß die Seitenlänge der auszuschneidenden Quadrate sein, daß das Volumen der Schachtel maximal wird ?
HB: V = G * h = (a - 2x)² * x = f(x)
Dx = [0;a/2]
f´(x) = 2(a - 2x) (-2)x + (a - 2x)² = -4x (a - 2x) + (a - 2x)²
0 = -4x (a - 2x) + (a - 2x)²
4x (a - 2x) = (a - 2x)² /:(a - 2x) a - 2x = 0
4x = a - 2x a = 2x
6x = a x = a/2 ® Randextremum
x = a/6
V = (a - a/3)² * a/6 = (2a/3)² * a/6 = [4a²]/9 * a/6 = [4a³] /[54] = [2a³] /[27]
f´´(x) = -4(a - 2x) + (-4x) (-2) + 2(a - 2x) (-2) = -8a + 24x
f´´(a/6) = -8a + [24a]/6 = -8a + 4a = -4a < 0 Þ Max.
f´´(a/2) = -8a + [24a]/2 = -8a + 12a = 4a > 0 Þ Min.
A: Die Quadrate müssen die Seitenlänge a/6 haben, damit das Volumen maximal [2a³] /[27] wird.
Bsp. 20)
Einem Drehkegelstumpf (R, r, h) werden Drehzylinder eingeschrieben, deren Grundflächen konzentrisch in der Grundfläche des Drehzylinders liegen. Wie sind die Maße des Zylinders mit maximalem Volumen ?
HB: V = x²py ..... Max. NB: (R-x) : y = (R-r) : h
f(x) = x²p [h(R-x)] /[R-r] = y = [h(R-x)] /[R-r]
= p [h] /[R-r] x²(R-x)
g(x) = x² (R-x) = Rx² - x³ Dx = [0;R]
g´(x) = 2Rx - 3x² Dy = [0;h]
2Rx - 3x² = 0
x (2R - 3x) = 0 y = [h (R - 2/3 R)] /[R-r] = [[h R]/3] /[R-r] =
x1 = 0 2R = 3x = [R h] /[3 (R-r)]
x2 = 2/3 R
g´´(x) = 2R - 6x V = x²py = 4/9 R² p [R h] /[3(R-r)] =
g´´(2/3 R) = 2R - 4R = -2R < 0 Þ Max. = [4 R³ h p] /[27 (R-r)]
Þ r £ 2/3 R ® x = 2/3 R
r > 2/3 R ® x = r , y = h
A: Der Zylinder mit x = 2/3 R , y = [R h] /[3 (R-r)] hat maximales Volumen [4 R³ h p] /[27 (R-r)] .
Sonderfall:
r > [2/3]*R Þ x = r ; y = h
Bsp. 21)
Ableitung der Winkelfunktionen
a) Sinus:
y = sin x
y´ = cos x
BC = arc a
arc a = [p*a] /[180]
A Kreissektor = [r²*p*a] /[360] = [b*r] /[2]
b = [p*r*a] /[180]
r = 1 ® b = arc a ^ a
AD0AB < A Kreissektor 0CB < AD0CD
½ sin a cos a < a/2 < ½ tan a /: ½ sin a
cos a < [a] /[sin a] < [tan a] /[sin a]
cos a < [a] /[sin a] < [1] /[cos a]
lim [a®0] cos a £ lim [a®0] [a] /[sin a] £ lim [a®0] [1] /[cos a]
lim [a®0] cos a = cos 0 = 1
lim [a®0] [1] /[cos a] = 1/1 = 1
1 £ lim [a®0] [a] /[sin a] £ 1
Þ lim [a®0] [a] /[sin a] = 1
Þ lim [a®0] [sin a] /[a] = 1
sin a - sin b = 2 sin [a-b] /[2] cos [a+b] /[2]
x + Dx = a
x = b
Dx = a - b
y = sin x = f(x)
y´ = lim [Dx®0] [f(x+Dx) - f(x)] / [Dx] = lim [Dx®0] [sin (x+Dx) - sin x] / [Dx] =
= lim [Dx®0] [2 sin [x+Dx-x]/[2] cos [x+Dx+x]/[2]] / [Dx] =
= lim [Dx®0] [2 sin [Dx]/[2] cos [2x+Dx]/[2]] / [Dx] =
= lim [Dx®0] [sin [Dx]/[2]] / [[Dx]/[2]] cos (x + [Dx]/[2]) = cos x
b) Cosinus:
y = cos x = sin (p/2 - x)
y´ = cos (p/2 - x) * (-1) = - sin x
c) Tangens:
y = tan x = [sin x] /[cos x]
y´ = [cos² x - sin x (-sin x)] /[cos² x] = [cos² x + sin² x] /[cos² x] =
·) = [cos² x] /[cos² x] + [sin² x] /[cos² x] = 1 + tan² x
·) = [1] /[cos² x]
d) Cotangens:
y = cot x = [cos x] /[sin x]
y´ =
·) = -1 - cot² x
·) = - [1] /[sin² x]
Bsp. 22)
Kurvendiskussion:
y = 2 sin x + sin 2x [0;2p]
1) D = [0;2p]
2) 2 sin x + sin 2x = 0 ..... goniometrische Gleichung
2 sin x + 2 sin x cos x = 0 sin 2x = 2 sin x cos x
2 sin x (1 + cos x) = 0
2 sin x = 0 1 + cos x = 0
sin x = 0 cos x = -1
x1 = 0 x4 = p
x2 = p
x3 = 2p
N1 (0/0)
N2 (p/0) (2)
N3 (2p/0)
3) $ a
4) y´ = 2 cos x + 2 cos 2x cos 2x = cos² x - sin² x
0 = 2 cos x + 2 cos 2x
0 = 2 cos x + 2 (cos² x - sin² x) /:2
0 = cos x + cos² x - (1 - cos² x)
0 = cos x + cos² x - 1 + cos² x
2 cos² x + cos x - 1 = 0 /:2
cos² x + ½ cos x - ½ = 0
(cos x)1,2 = -1/4 ± Ö[1/16 + 1/2] = -1/4 ± Ö[9/16] = -1/4 ± ¾
(cos x)1 = -1 Þ x1 = p
(cos x)2 = ½ Þ x2 = p/3
x3 = 5p/3
y´´ = -2 sin x - 4 sin 2x
y´´(p) = 0 Þ S (p/0)
y´´(p/3) = -5.20 < 0 Þ H ([p/3]/2.60)
y´´(5p/3) = 5.20 > 0 Þ T ([5p/3]/-2.60)
5) 0 = - 2 sin x - 4 sin 2x
0 = - 2 sin x - 4 (2 sin x cos x)
0 = - 2 sin x - 8 sin x cos x /:(-2)
0 = sin x + 4 sin x cos x
0 = sin x (1 + 4 cos x)
sin x = 0 1 + 4 cos x = 0
x1 = 0 4 cos x = -1
x2 = p cos x = -1/4
x3 = 2p x4 = 1.82
x5 = 4.46
W1 (0/0) W4 (1.82/1.45)
W2 (p/0) W5 (4.46/-1.45)
W3 (2p/0)
y´(0) = 4 d = 0 - 4*0 = 0
y´(p) = 0 d = 0 - 0*p = 0
y´(2p) = 4 d = 0 - 4*2p = -8p
y´(1.82) = -2.25 d = 1.45 - (-2.25)*1.82 = 5.56
y´(4.46) = -2.25 d = -1.45 - (-2.25)*4.46 = 8.58
w1: y = 4x
w2: y = 0
w3: y = 4x - 8p
w4: y = -9/4 x + 5.56
w5: y = -9/4 x + 8.58
6)
x
0 < x < p/3
x = p/3
p/3 < x < p
x = p
p < x < 5p/3
x = 5p/3
5p/3 < x < 2p
f´
> 0
0
< 0
0
< 0
0
> 0
Þ
s. m. st.
H
s. m. f.
S
s. m. f.
T
s. m. st.
x
x = 0
0 < x < 1.82
x = 1.82
1.82 < x < p
x = p
p < x < 4.46
x = 4.46
4.46 < x < 2p
x = 2p
f´´
0
< 0
0
> 0
0
< 0
0
> 0
0
Þ
W
neg. gekr.
W
pos. gekr.
W
neg. gekr.
W
pos. gekr.
W
7)
Bsp. 23)
Kurvendiskussion:
y = sin x + cos x [-p/4;7p/4]
1) D = [-p/4;7p/4]
2) 0 = sin x + cos x
sin x = - cos x /:cos x
tan x = -1
x1 = 3p/4
x2 = 7p/4
x3 = -p/4
N1 ([-p/4]/0)
N2 ([3p/4]/0)
N3 ([7p/4]/0)
3) $ a
4) y´ = cos x - sin x
0 = cos x - sin x
sin x = cos x /:cos x
tan x = 1
x1 = p/4
x2 = 5p/4
y´´ = - sin x - cos x
y´´(p/4) = -Ö[2] < 0 Þ H ([p/4]/ Ö[2])
y´´(5p/4) = Ö[2] > 0 Þ T ([5p/4]/-Ö[2])
5) 0 = - sin x - cos x
sin x = - cos x /:cos x
tan x = -1
x1 = 3p/4
x2 = 7p/4
x3 = -p/4
W1 ([-p/4]/0)
W2 ([3p/4]/0)
W3 ([7p/4]/0)
y´(-p/4) = Ö[2] d = 0 - Ö[2] * (-p/4) = 1.11
y´(3p/4) = -Ö[2] d = 0 - (-Ö[2]) * (3p/4) = 3.33
y´(7p/4) = Ö[2] d = 0 - Ö[2] * (7p/4) = -7.78
w1: y = Ö[2] x + 1.11
w2: y = -Ö[2] x + 3.33
w3: y = Ö[2] x - 7.78
6)
x
-p/4 < x < p/4
x = p/4
p/4 < x < 5p/4
x = 5p/4
5p/4 < x < 7p/4
f´
> 0
0
< 0
0
> 0
Þ
s. m. st.
H
s. m. f.
T
s. m. st.
x
x = -p/4
-p/4 < x < 3p/4
x = 3p/4
3p/4 < x < 7p/4
x = 7p/4
f´´
0
< 0
0
> 0
0
Þ
W
neg. gekr.
W
pos. gekr.
W
7)
Bsp. 24)
Aus 3 gleich breiten Brettern (Breite = a) soll eine Rinne von möglichst großem trapezförmigem Querschnitt gebildet werden. In welchem Neigungswinkel müssen die Seitenwände zur Horizontalen geneigt sein ?
HB: A = [(a+c)*h]/2 1. NB: cos a = h/a
a= [(a+a+2a sin a)*a cos a]/2 = h = a cos a
= [(2a + 2a sin a) a cos a]/2 = 2. NB: sin a = [[c-a]/2]/a
= [2a (1 + sin a) a cos a]/2 = [c-a]/2 = a sin a
= a² cos a (1 + sin a) c-a = 2a sin a
Da = [0°;90°] c = a + 2a sin a
f(a) = (1 + sin a) cos a
f´(a) = cos a * cos a + (1 + sin a) (-sin a) =
= cos² a - sin a (1 + sin a) =
= cos² a - sin a - sin² a
cos² a - sin a - sin² a = 0
1 - sin² a - sin a - sin² a = 0
-2 sin² a - sin a + 1 = 0 /:(-2)
sin² a + ½ sin a - ½ = 0
(sin a)1,2 = -1/4 ± Ö[1/16 + 1/2] = -1/4 ± Ö[9/16] = -1/4 ± ¾
(sin a)1 = ½ Þ a1 = 30°
(sin a)2 = -1 Þ a2 = 270° Ï D
f´´(a) = 2 cos a (-sin a) - cos a - 2 sin a cos a = -2 sin a cos a - cos a - 2 sin a cos a =
= -4 sin a cos a - cos a
f´´(30°) = -4 sin 30° cos 30° - cos 30° = -2.60 < 0 Þ Max.
b = 90° + a = 120°
h = a cos a = [aÖ[3]]/2
c = a + 2a sin a = a + 2a/2 = 2a
A = [(a+c)*h]/2 = [(a + 2a) [aÖ[3]]/2]/2 = [3a²Ö[3]]/4
A: Die Wände müssen mit 120° geneigt sein, daß die Querschnittsfläche maximal [3a²Ö[3]]/4 ist.
Bsp. 25)
NEWTONsches Näherungsverfahren zum Lösen von algebraischen Gleichungen höheren Grades und transzendenten Gleichungen
z. B.: geg.: y = f(x) ................. Polynom n-ten Grades
ges.: Nullstelle X
P (x0/y0) ......... Startwert = x0
rechnerisch:
t0: y = kx + d k = f´(x0)
y = f´(x0) * x + d
P (x0/y0): y0 = f´(x0) * x0 + d
d = y0 - f´(x0) * x0
Þ t0: y = f´(x0) * x + (y0 - f´(x0) * x0)
t0 Ç x-Achse: y = 0
0 = f´(x0) * x1 + (y0 - f´(x0) * x0)
x1 = [-y0 + f´(x0) * x0] /[f´(x0)]
x1 = x0 - [y0] /[f´(x0)] = x0 - [f(x0)] /[f´(x0)]
x1 = x0 - [f(x0)] /[f´(x0)]
x2 = x1 - [f(x1)] /[f´(x1)]
xn = x(n-1) - [f(x(n-1))] /[f´(x(n-1))]
Bsp.:
x³ + 3x - 1 = 0 G = R
f: y = x³ + 3x - 1
f´: y = 3x² + 3
f
1
0
3
-1
0
1
0
3
-1
1
1
1
4
3
0.3
1
0.3
3.09
-0.073
0.32
1
0.32
3.1024
-0.007232
0.322
1
0.322
3.103684
-6.13752 * 10^-4
f´
3
0
3
0.3
3
0.9
3.27
0.32
3
0.96
3.3072
0.322
3
0.966
3.311052
wähle x0 = 0.3
x1 = x0 - [f(x0)] /[f´(x0)] = 0.3 - [-0.073] /[3.27] = 0.322324159021
x1 = 0.32
x2 = x1 - [f(x1)] /[f´(x1)] = 0.32 - [-0.007232] /[3.3072] = 0.322186744074
x2 = 0.322
f: 3 Nullen hinter dem Komma ® aufhören
N (0.322/0)
Bsp. 26a)
geg.: y = x sin x
ges.: 1 W in [0;2p]
y´ = sin x + x cos x
y´´ = cos x + cos x + x (-sin x) = 2 cos x - x sin x
y´´´ = -2 sin x - (sin x + x cos x) = -2 sin x - sin x - x cos x = -3 sin x - x cos x
2 cos x - x sin x = 0
f: y = 2 cos x - x sin x
f´: y = -3 sin x - x cos x
x
f(x)
f´(x)
f(x)/f´(x)
x - f(x)/f´(x)
1.0
0.23913362693
-1.984110649
-0.1205243403
1.1205243403
1.12
-0.1367476027
-2.212336987
0.06181138023
1.0581886198
1.058
0.05931582605
-2.095056451
-0.0283122806
1.0863122806
1.0863
-0.0297519301
-2.148770925
0.01384602228
1.0724539777
1.07245
0.01393491422
-2.122519684
-0.0065652697
1.0790152697
1.079015
-0.006750572
-2.134971863
0.00316190207
1.0758530979
1.0758530
0.00321762121
-2.128976317
-0.0015113466
1.0773643466
1.07736434
-0.0015456931
-2.131842468
7.2505032*10^-4
1.0766392897
1.076639289
7.3973231*10^-4
W1 (1.0768738869/0.94816599969)
W2 (3.6435970418/-1.753239107)
Bsp. 26b)
geg.: y = tan 2x - 1/[2x]
ges.: 1 N in ]0;p/4[
y´ = 2/[cos² 2x] - [-2]/[4x²] = 2/[cos² 2x] + 1/[2x²]
x
f(x)
f´(x)
f(x)/f´(x)
x - f(x)/f´(x)
0.5
0.55740772465
8.8510376416
0.06297653984
0.43702346016
0.43
-0.00123484
7.4025884341
-1.668119*10^-4
0.43016681192
0.4301
-4.945349*10^-4
N (0.43016679451/0)
Bsp. 27)
Kurvendiskussion:
y = [x³ - 2x² - 13x - 10] /[x² - a²]
Asymptoten: x = 3 , x = -3
H (-4.55/-7.39)
T (-1.58/-0.25)
$ W
x² - a² = 0
x² = a²
a² = 9
y = [x³ - 2x² - 13x - 10] /[x² - 9]
1) D = R \ {± 3}
2) [x³ - 2x² - 13x - 10] /[x² - 9] = 0 /*N
x³ - 2x² - 13x - 10 = 0
T = {±1; ±2; ±5; ±10}
x
1
-2
-13
-10
-1
1
-3
-10
0
x1 = -1
x² - 3x - 10 = 0
x2,3 = 3/2 ± Ö[9/4 +10] = 3/2 ± Ö[49/4] = 3/2 ± 7/2
x2 = -2
x3 = 5
N1 (-2/0)
N2 (-1/0)
N3 (5/0)
[x³ - 2x² - 13x - 10] /[x² - 9] = x /*N
x³ - 2x² - 13x - 10 = x³ - 9x
-2x² - 4x - 10 = 0 /:(-2)
x² + 2x + 5 = 0
x1,2 = -1 ± Ö[1-5] = -1 ± Ö[-4] = -1 ± 2i
Þ $ F
3) a1: x = -3
a2: x = 3
lim [x®±¥] ([x³ - 2x² - 13x - 10] /[x² - 9]) = lim [x®±¥] (x - 2 + [-4x - 28] /[x² - 9]) =
= lim [x®±¥] (x - 2 + [[-4x]/[x²] - [28]/[x²]] /[[x²]/[x²] - [9]/[x²]]) =
= lim [x®±¥] (x - 2 + [-4/x - 28/x²] /[1 - 9/x²]) = lim [x®±¥] (x - 2 + 0/1) =
= lim [x®±¥] (x - 2)
a3: y = x - 2
4)
Bsp. 28)
geg.: y = cos² x - cos x
ges.: N, W in [-p;p]
cos² x - cos x = 0
cos x (cos x - 1) = 0
cos x = 0 cos x - 1 = 0
x1 = -p/2 cos x = 1
x2 = p/2 x3 = 0
N1 ([-p/2]/0)
N2 (0/0)
N3 ([p/2]/0)
y´ = 2 cos x (-sin x) - (-sin x) = -2 sin x cos x + sin x
y´´ = -2 [cos x * cos x + sin x (-sin x)] + cos x = -2 (cos² x - sin² x) + cos x =
= -2 cos² x + 2 sin² x + cos x = -2 cos² x + 2 (1 - cos² x) + cos x = -2 cos² x + 2 - 2 cos² x + cos x =
= -4 cos² x + cos x + 2
-4 cos² x + cos x + 2 = 0 /:(-4)
cos² x - ¼ cos x - ½ = 0
(cos x)1,2 = 1/8 ± Ö[1/64 + 1/2] = 1/8 ± Ö[1/64 + 32/64] = 1/8 ± Ö[33/64] = 1/8 ± Ö[33]/8
(cos x)1 = 1/8 + Ö[33]/8
(cos x)2 = 1/8 - Ö[33]/8
x1 = 0.5678 W1 (0.5678/-0.1323)
x2 = 2.2056 W2 (2.2056/0.9448)
x3 = -0.5678 W3 (-0.5678/-0.1323)
x4 = -2.2056 W4 (-2.2056/0.9448)
Bsp. 29)
Unter welchem Winkel muß die Seitenkante einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide erscheinen, damit das Volumen maximal wird (2 Arten) ?
Da = [0; 90°]
1) HB: V = [G h] /3 = [a² h] /3 ... Max. 1. NB: sin a = [ [a Ö[2]]/2 ] /s
V = [2s² sin² a s cos a] /3 = a = [2s sin a] /Ö[2] =
= [2s³ sin² a cos a] /3 = s Ö[2] sin a
f(a) = sin² a cos a 2. NB: cos a = h/s
f´(a) = 2 sin a cos a cos a + sin² a (- sin a) = h = s cos a
= 2 sin a cos² a - sin³ a
0 = 2 sin a cos² a - sin³ a
0 = 2 sin a (1 - sin² a) - sin³ a
0 = 2 sin a - 2 sin³ a - sin³ a
0 = 2 sin a - 3 sin³ a
0 = sin a (2 - 3 sin² a)
sin a = 0 sin² a = 2/3
a1 = 0° sin a = ± Ö[2/3]
a2 = 180° Ï D a3 = 54.74°
a4 = 125.26° Ï D
a5 = 305.26° Ï D
a6 = 234.74° Ï D
V = [2s³] /3 sin² a cos a = [2s³] /3 sin² 54.74° cos 54.74° = 0.26 s³
f´´(a) = 2 [cos a cos² a + sin a 2 cos a (- sin a)] - 3 sin² a cos a =
= 2 (cos³ a - 2 sin² a cos a) - 3 sin² a cos a =
= 2 cos³ a - 4 sin² a cos a - 3 sin² a cos a =
= 2 cos³ a - 7 sin² a cos a
f´´(54.74°) = - 2.31 < 0 Þ Max.
2) HB: V = [G h] /3 = [a² h] /3 = ... Max. NB: s² = h² + ( [a Ö[2]] /2 )²
= [2 (s² - h²) h] /3 = 2/3 (s² - h²) h s² = h² + a²/2
f(h) = hs² - h³ a² = 2s² - 2h² = 2 (s² - h²)
f´(h) = s² - 3h²
s² - 3h² = 0 a² = 2 (s² - s²/3) = 2 ( [2s²] /3 ) = [4s²] /3
s² = 3h² a = ± [2s] /Ö[3] = ± [2 Ö[3] s] /3
h = ± s/Ö[3] = ± [s Ö[3]] /3 cos a = h/s = [s/Ö[3]] /s = 1/Ö[3]
a = arccos 1/Ö[3] = 54.74°
A: Die Seitenkante muß unter 54.74° zur Höhe geneigt sein, damit das Volumen maximal 0.26 s³ beträgt.
Bsp. 30)
Permutationen
a) geg.: 2 gleich mächtige Mengen D, W
D = {x1; x2; x3}
W = {y1; y2; y3}
ges.: alle umkehrbaren elementweisen Abbildungen von D auf W
x1 ® y1
x2 ® y2
x3 ® y3
D W
x1 ® y1
x2 ® y3
x3 ® y2
D W
x1 ® y3
x2 ® y2
x3 ® y1
D W
x1 ® y2
x2 ® y1
x3 ® y3
D W
x1 ® y3
x2 ® y1
x3 ® y2
D W
x1 ® y2
x2 ® y3
x3 ® y1
D W
Anzahl der möglichen Abbildungen = 6
für x1 ® 3 Möglichkeiten
x2 ® 2 Mögl. } insgesamt 3 * 2 * 1 = 3 ! Mögl.
x3 ® 1 Mögl.
b) D = {x1; x2; ...; xn}
W = {y1; y2; ...; yn}
x1 ... n Mögl.
x2 ... n-1 Mögl.
x[n-1] ... 2 Mögl.
xn ... 1 Mögl.
Anzahl = n * (n-1) * ... * 2 * 1 = n !
c) Abbildung einer Menge auf sich selbst = Permutation einer Menge:
D = {x1; x2}
W = {x1; x2}
F1
x1 ® x1
x2 ® x2
F2
x1 ® x2
x2 ® x1
Permutation vom Grade 2
Definition:
Eine Permutation Pn vom Grade n ist eine elementweise Abbildung einer Menge von n Elementen auf sich selbst.
Die Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung beträgt n!
d) Permutationen mit Wiederholung:
Wie viele dreiziffrige Zahlen mit den Ziffern 1 und 2, mit 2 Einsern, gibt es (1 und 2 müssen vorhanden sein) ?
112
121 Þ 3 Mögl.
211
mögliche Anzahl = [P3] /[2!] = [3!] /[2!] = 3
P32
allgemein: Pnm = [n!] /[m!]
Pnr,s,t = [n!] /[r! s! t!]
Ein Kind besitzt 9 Glaskugeln. Wie viele Reihungsmöglichkeiten gibt es,
a) wenn alle verschieden gefärbt sind ?
b) wenn 4 rot sind und die restlichen verschieden gefärbt ?
c) wenn 4 grün, 3 rot und 2 blau sind ?
a) P9 = 9! = 362 880
b) P94 = [9!] /[4!] = 15 120
c) P94,3,2 = [9!] /[4! 3! 2!] = 1 260
Bsp. 31)
Kombinationen
(n k) = [n!] /[k! * (n-k)!]
® „n über k“ ... Binomialkoeffizient
(6 3) = [6!] /[3! (6-3)!] = [6!] /[3! * 3!] = [6*5*4*3!] /[3!*3!] = [6*5*4] /[3*2] = 5 * 4 = 20
M = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
T1 = {1; 2; 3}
T2 = ... } Þ 20 Teilmengen zu je 3 Elementen
Vereinfachen:
(n n-2) = [n!] /[(n-2)! [n - (n-2)]! ] = [n!] /[(n-2)! 2!] = [n (n-1) (n-2)!] /[(n-2)! 2!] = [n (n-1)] /[2!] =
= [n (n-1)] /2
geg.: 5 blaue, 7 schwarze Kugeln
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 Kugeln auszuwählen, die mindestens 1 schwarze enthalten ?
å Mögl. = (1s; 2b) + (2s; 1b) + (3s; 0b) =
= (7 1) * (5 2) + (7 2) * (5 1) + (7 3) * (5 0) = (n 0) = 1
= [7!] /[1! 6!] * [5!] /[2! 3!] + [7!] /[2! 5!] * [5!] /[1! 4!] + [7!] /[3! 4!] * [5!] /[0! 5!] =
= [7*6!] /[1!*6!] * [5*4*3!] /[2!*3!] + [7*6*5!] /2!*5!] * [5*4!] /[1!*4!] + [7*6*5*4!] /[3!*4!] * 1 =
7 * 10 + 21 * 5 + 35 = 70 + 105 + 35 = 210
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 12 Bilder unter 3 Personen so aufzuteilen, daß jede Person 4 Bilder erhält ?
A: (12 4)
B: (8 4)
C: (4 4) = 1
å = (12 4) (8 4) (4 4) = [12*11*10*9] /[4!] * [8*7*6*5] /[4!] = 34 650
Beweis:
(n-1 k-1) - (n-2 k-2) = (n-2 k-1)
(n-1 k-1) - (n-2 k-2) = [(n-1)!] /[(k-1)! [(n-1) - (k-1)]! ] - [(n-2)!] /[(k-2)! [(n-2) - (k-2)]! ] =
= [(n-1)!] /[(k-1)! (n-k)!] - [(n-2)!] /[(k-2)! (n-k)!] =
= [(n-1)! - (n-2)! (k-1)] /[(n-k)! (k-1)!] = [(n-2)! [(n-1) - (k-1)] ] /[(n-k)! (k-1)!] =
= [(n-2)! (n-k)] /[(n-k)! (k-1)!] = [(n-2)!] /[(k-1)! (n-k-1)!]
(n-2 k-1) = [(n-2)!] /[(k-1)! [(n-2) - (k-1)]! ] = [(n-2)!] /[(k-1)! (n-k-1)!] q. e. d.
Berechne die Anzahl der Kreise durch 20 Punkte, wenn nie 3 Punkte auf 1 Geraden, aber einmal 5 Punkte auf dem selben Kreis liegen.
å = (20 3) - (5 3) + 1 = 1130 + 1 = 1131
Bsp. 32)
Variationen
Aus einer Urne mit n unterscheidbaren Kugeln (durchnummeriert) werden k Kugeln gezogen und nicht zurückgelegt. Wie viele Ziehungsmöglichkeiten gibt es ?
1. Kugel: n Mögl.
2. K.: n-1 Mögl.
3. K.: n-2 Mögl.
... ...
k. K.: n-k+1 Mögl.
å = n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-k+1) = [n!] /[(n-k)!] = (n k) * k! = V(n;k)
... Variation ohne Wiederholung
Die Kugeln werden wieder zurückgelegt: ... Variation mit Wiederholung
1. Kugel: n Mögl.
2. K.: n Mögl.
3. K.: n Mögl.
... ...
k. K.: n Mögl. } k Faktoren
å = n k = wV(n;k)
Möglichkeiten beim Toto:
1) A - B 1, 2, X ® 3 Mögl.
2) C - D 1, 2, X ® 3 Mögl.
3) ...
...
12) ...
Þ 3 12 = 531 441 Mögl. ^ 4 251 528 S
Möglichkeiten beim Lotto:
1. Zahl: 45 Mögl.
2. Z.: 44 Mögl.
... ...
6. Z.: 40 Mögl.
å = [45*44*43*42*41*40] /[6!] = 8 145 060 Mögl. ^ 65 160 480 S
= (45 6)
Bsp. 33)
a) Wie viele vierziffrige Zahlen mit verschiedenen Ziffern gibt es ?
T H Z E
9 9 8 7 ... Mögl.
9 * 9 * 8 * 7 = 4536 Mögl.
b) ..., bei denen die Ziffer 3 nicht vorkommt ?
8 * 8 * 7 * 6 = 2688 Mögl.
c) ..., bei denen die Ziffer 3 vorkommt (2 Arten) ?
(1) a) - b) = 4536 - 2688 = 1848 Mögl.
(2)
T H Z E
3 9 8 7
9 * 8 * 7 = 504
8 3 8 7
8 * 8 * 7 = 448
8 8 3 7
8 8 7 3
3 * (8 * 8 * 7) + 9 * 8 * 7 = 1848
å = 9 * 8 * 7 + 8 * 8 * 7 * 3 = 8 * 7 * (9 + 24) = 56 * 33 = 1848
d) Wie viele Möglichkeiten gibt es, 20 Karten auf 4 Personen zu verteilen, so daß jeder 5 erhält ?
1. Pers.: (20 5)
2. Pers.: (15 5)
3. Pers.: (10 5)
4. Pers.: (5 5) = 1
å = (20 5) * (15 5) * (10 5) = 11 732 745 024
e) Ein Kandidat muß aus 12 Fragen 4 auswählen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn von den 4 gewählten Fra
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