Quadartische Funktionen

Titel:

Quadartische Funktionen

Note: 1 Klasse: 10

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Arbeit: Quadratische Funktionen

-sind Funktionen, die sich mit Gleichungen der Form f(x)= ax² + bx + c beschreiben lassen (a, b, c є R; a ≠ 0)

Gliederung:
1. f(x)= x²
2. f(x)= (x + d)² + e
3. f(x)= a ∙ x²
4. Scheitelpunktform und Normalform quadratischer Funktionen
5. Nullstellenberechnung für Funktionen der Form f(x)= ax² + bx + c

Zu 1.
- einfachste quadratische Funktion ist f(x)= x²
- man erhält sie, wenn a = 1
b = 0
c = 0
- um sie zeichnerisch darstellen zu können, legt man eine Wertetabelle an ►damit kann man die Koordinaten bestimmen

x -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
f(x) 6,25 4 2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4 6,25

(Parabel siehe Anlage 1)

Eigenschaften:

Definitionsbereich x є R
Wertebereich y є R (weil Quadrat jeder reellen Zahl immer positiv ist ►nie negative Zahlen im Wertebereich)
Scheitelpunkt S (0/0), tiefster Punkt
Monotonie (Verlauf) für alle x < 0 monoton fallend
für alle x > 0 monoton steigend
Symmetrie achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse
Nullstellen 1; x = 0

Zu 2.

- heißt Scheitelpunktform der quadratischen Funktionsgleichung ► man kann Scheitelpunkt-Koordinaten direkt ablesen

S (-d/e )

d entspricht der x-Koordinate
- um diese Koordinate aus der Funktionsgleichung zu bestimmen, muss d das entgegengesetzte Vorzeichen bekommen

e entspricht der y-Koordinate

Bsp.: f(x)= ( x – 3 )² - 2
S ( 3/-2 )

Eigenschaften:

Definitionsbereich x є R
Wertebereich y є R
Scheitelpunktlage Tiefster Punkt
Scheitelpunktkoordinaten S (-d/e )
Nullstellen
e > 0 ► keine Nullstellen
e = 0 ► 1 Nullstelle
e > 0 ► 2 Nullstellen
Symmetrie Achsensymmetrisch bzgl. einer Parallelen zur y-Achse durch den Scheitelpunkt
Monotonie (Verlauf) für x < -d monoton fallend
für x > -d monoton steigend

- e = 0 ► f(x)= (x + d )²
- Parabel verschiebt sich nur auf der x-Achse

- d = 0 ► f(x)= x² + e
- Parabel verschiebt sich nur auf der y-Achse

Zu 3.

- jetzt beschreibe ich Funktion der Form f(x)= a ∙ x² ► a ≠ 0
- man erhält sie, wenn a größer oder kleiner als 0 ist und b und c = 0 sind
- an a kann man erkennen, ob Parabel nach oben oder unten geöffnet ist und ob sie gestaucht oder streckt ist:

a ist negativ Parabel ist nach unten geöffnet
a ist positiv Parabel ist nach oben geöffnet

0 < a < 1 ► in y-Richtung gestaucht (breiter als Normalparabel)
a<1 / a>1 ► gestreckt (schmaler als Normalparabel)

Zu 4.

- Scheitelpunktform ist f(x)= (x + d)² + e
- Normalform ist f(x)= ax² + bx + c
- will euch jetzt erklären, wie man die Scheitelpunktform in die Normalform überführt und die Normalform in die Scheitelpunktform

Scheitelpunktform in Normalform:

Bsp.: f(x)= 2 ∙ (x - 3)² - 2

f(x)= 2 ∙ (x - 3)² - 2 binomische Formel
f(x)= 2 ∙ (x – 6x + 9) – 2 Klammer auflösen
f(x)= 2x² - 12x + 18 – 2 zusammenfassen
f(x)= 2x² - 12x + 16 ► Normalform

Normalform in Scheitelpunktform

Bsp.: f(x)= -2x² - 8x +6

f(x)= -2x² - 8x +6 ausklammern > : (-2)
f(x)= -2 [x² + 4x – 3] Quadratische Ergänzung innerhalb der Klammern
f(x)= -2 [x² + 4x – 3] = 8x + 2)² - 7
1. √x² = x
2. 4x : 2x = 2
3. 2² = 4
4. -3 -4 = -7
f(x)= -2 [(x + 2)² - 7] Klammern auflösen
f(x)= -2 (x + 2)² +14 ► Scheitelpunktform

Zu 5.

- möchte jetzt die Nullstellenberechnung für Funktionen der Form f(x)= ax² + bx + c
- f(x) mit 0 gleichsetzen

► 0 = ax² + bx + c /:a
0 = x² + b/a ∙ x + c/a
> Normalform

Lösungsformel anwenden

x1/2 = -p/2 +/- √ (p/2)² - q

p = b/a q = c/a

Bsp.:
f(x)= 2x² - 12x + 16
0 = 2x² - 12x + 16 /:2
0 = x² - 6x + 8 Lösungsformel anwenden
p = -6
q = 8

x1/2= 3 +/- √ (9 -8)
x1/2= 3 +/- √ 1
x1/2= 3 +/- 1
x 1 = 3 +1 = 4
x 2 = 3 – 1 = 2

Quelle:

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