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Quadratische Gleichungen
Note: 2 Klasse: 12
Arbeit: Mathematik
„Quadratische Gleichungen“
Inhaltsverzeichnis
1. Was ist eine quadratische Gleichung? (Definition)
2. Welche Arten unterscheidet man in der Mathematik? ( Unterteilung der quadratischen Gleichungen) 2
3. Welche verschiedenen Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen gibt es? 3
4. Was versteht man in der Mathematik unter dem Begriff Diskriminante?
( Definition und Fallunterscheidung) 4
1. Was ist eine quadratische Gleichung?
Eine quadratische Formel ist eine Gleichung der Form:
a, b, c, sind Zahlen und die x die Unbekannte.
Geometrische betrachtet beschreibt die quadratische Gleichung die x- Koordinaten der Schnittpunkte einer Parabel mit der x- Achse in der x-y- Ebene.
2. Welche Arten unterscheidet man in der Mathematik?
Reinquadratische Gleichungen
x² = 25
Die Lösung erhält man durch Probieren: x = 5 oder x = -5
Gleiche Lösung mit der Äquivalenzumformung:
Allgemeine Form
In der Regel hat eine quadratische Gleichung die oben genannte Form:
ax2+bx+c=0
Normalform
Ist der Koeffizient a gleich 1 dann nennt man dies die "Normalform" einer quadratischen Gleichung:
x2+px+q=0
Es ist üblich die beiden anderen Koeffizienten b bzw. c in diesem
Fall mit p bzw. q zu bezeichnen.
Allgemeine Form und Normalform können ineinander umgewandelt werden.
Die p-q Formel
Mit der p-q-Formel kann man jede quadratische Gleichung
lösen, die in Normalform vorliegt.
3. Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen
Variante 1 (Radizieren)
2x² - 8 = 0 ç + 8
2x² = 8 ç : 2
x² = 4 ç Ö
x = 2
Variante 2 (quadratische Ergänzung)
Die quadratische Ergänzung ist ein Verfahren zum Umformen von Termen einer Variable mit Quadrat in ein Binom.
y = x² + 6x + 10
y = x² + 6x + 10 ç+ 3²
y+3² = x² +6x + 3² + 10 ç - 3²
y = (x + 3)² +1
Was versteht man unter dem Begriff Diskriminante?
Die Diskriminante ist ein Rechenausdruck, der Aussagen über Zahl und Art der Lösungen einer algebraischen Gleichung ermöglicht.
Diskriminante einer quadratischen Gleichung
ax2 + bx + c = 0 wird gerechnet mit folgender Formel:
§ Für b2 − 4ac > 0 hat die Quadratwurzel in der Lösungsformel einen positiven Wert, so dass man zwei verschiedene reelle Lösungen x1 und x2 erhält.
§ Für b2 − 4ac = 0 hat die Quadratwurzel den Wert 0. Da es keinen Unterschied macht, ob man 0 addiert oder subtrahiert, hat man trotz des Plus-Minus-Zeichens nur eine reelle Lösung (der Vielfachheit 2).
§ Für b2 − 4ac < 0 ist die Quadratwurzel der Lösungsformel im Körper der reellen Zahlen ( ) nicht definiert. Es existiert also keine reelle Lösung. Anders sieht die Situation aus, wenn man den Körper der komplexen Zahlen zugrundelegt. In diesem Fall gibt es zwei (nicht-reelle) Lösungen, die zueinander konjugiert komplex sind.
Der Rechenausdruck D: = b2 − 4ac der beschriebenen Fallunterscheidung, also der Radikand in der Formel, heißt die Diskriminante der quadratischen Gleichung:
ax2 + bx + c = 0.
Quelle:
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