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Vergleich von Parameter und Koordinatengleichung von Ebenen
Note: 2 Klasse: 9
Arbeit: Vergleich von Parameter- und
Gleichungen in Parameterdarstellung haben allgemein die Form
Dabei werden folgende Bezeichnungen verwendet:
ist der Ortsvektor des Aufpunktes
sind Richtungsvektoren ; sie müssen linear unabhängig sein
r, s sind reelle Zahlen und heißen Parameter (daher der Name)
Gleichungen in Koordinatendarstellung (oder auch Normalenform ) haben die Form
Hier werden folgende Bezeichnungen verwendet:
a, b, c sind die Koordinaten des Normalenvektors ; dürfen nicht alle gleich Null sein
Die Koordinatenform läßt sich aus der Parameterform herleiten, indem man das zugehörige lineare Gleichungssystem aufstellt und dort die Parameter eliminiert.
Die Parameterform hat gegenüber der Koordinatenform die Vorzüge der besseren Aufstellbarkeit aufgrund von gegebenen Punkten und den der höheren Anschaulichkeit, jedoch nur bei allgemeinen Ebenen; bei speziellen Ebenen (wie den Koordinatenebenen) bietet die Koordinatendarstellung Vorteile. Parallelität zu Koordinatenachsen läßt sich auch am einfachsten an der Koordinatengleichung ablesen. Beispiel: x1x2-Ebene:
Einfachste Parameterdarstellung:
Koordinatendarstellung: x3=0
Des weiteren lassen sich Schnittprobleme mit verschiedenen Kombinationen von Koordinaten- und Parameterdarstellungen unterschiedlich schwer lösen:
Bei zwei Ebenen in Parameterform muß ein unterbestimmtes LGS mit vier Variablen gelöst werden.
Bei einer Ebene in Parameterform und einer in Koordinatenform muß nur in die Koordinatengleichung eingesetzt werden.
Bei zwei Ebenen in Koordinatenform muß die allgemeine Lösung eines LGS errechnet werden.
Quelle:
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