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Titel:

Doppler Effekt


  Note: 2   Klasse: 11









Arbeit: Der Doppler-Effekt

Der akustische Doppler-Effekt ist eine alltägliche Erscheinung. Ein Zuhörer nimmt von einer auf ihn zukommenden Schallquelle eine höhere Frequenz wahr als von einer ruhenden oder sich entfernenden. Dabei ist die Frequenzänderung vom Verhältnis Bewegungsgeschwindigkeit zu Schallgeschwindigkeit abhängig. Der Doppler-Effekt ist aber nicht auf den akustischen Bereich beschränkt, sondern umspannt zunächst einmal das ganze Spektrum elektromagnetischer Wellen. Der Doppler-Effekt wird auch gezielt genutzt. Seine technische Bedeutung ist am vielseitigen Einsatz erkennbar, so vornehmlich



· im optischen oder Radio-Bereich zur Bestimmung von Translations- und Rotationsgeschwindigkeiten kosmischer Objekte im Nahbereich

· im Radarbereich zwecks Geschwindigkeitskontrolle von Autos und Flugzeugen.


Der Doppler-Effekt beschreibt eine Wellenlängenveränderung und folglich auch eine Frequenz- und Energie-Veränderung. Bewegt sich eine wellenaussendende Quelle auf einen Beobachter zu, so werden die Wellen in Bewegungsrichtung zusammengerückt und werden energiereicher (Blau- oder Violettverschiebung), beim Entfernen werden sie auseinandergezogen und energiearmer (Rotverschiebung).


Doppler-Effekt als Transportphänomen


Für die Betrachtung des Doppler-Effekts ist es nützlich zu wissen, dass es nicht eine spezielle Lichttheorie ist und dass sich dieses Gedankenexperiment auch auf Boten beziehen kann, die in gleichen Abständen von einer Person A zu einer Person B gesandt wreden, wobei diese beiden Personen sich gegeneinander bewegen können und dadurch die Ankunftszeiten beeinflussen. Der Doppler-Effekt ist also keineswegs ein Beweis für die Wellennatur des Lichtes, er lässt sich vielmehr auf Transportphänomene übertragen. Dazu ein Beispiel: Statt einer Quelle, die Wellen entsendet, haben wir eine Quelle, die Kuchen auf ein mit konstanter Geschwindigkeit laufendes Förderband stellt. Ein Mann auf der linken Seite stellt mit einer bestimmten Frequenz (Rate) die Kuchen auf das Band, sagen wir alle fünf Sekunden einen. Ein zweiter Mann auf der rechten Seite versucht, sie mit derselben Rate herunter zu nehmen. Wenn der erste Mann sich beim Aufsetzen der Kuchen nach links bewegt, haben die Kuchen auf dem Band größere Abstände, so dass der Mann am anderen Ende sie mit geringerer Rate erhält. (Die Geschwindigkeit des Transportbandes und damit die der Kuchen hat sich natürlich nicht geändert.) Läuft der Mann auf der linken Seite in die entgegengesetzte Richtung, wobei er die Kuchen immer noch mit derselben Rate aufsetzt, dann liegen die Kuchen auf dem Fließband dichter zusammen, so dass der Empfänger sie mit einer höheren Rate erhält. Das Prinzip ist dasselbe, ob beim Doppler-Effekt Wellen oder Kuchen ausgesandt und empfangen werden.


Der relativistische Doppler-Effekt

Beim akustischen Doppler-Effekt gibt es zwei Situationen, in denen der Effekt auftreten kann: „Ruhende Quelle und bewegter Beobachter“ und „Bewegte Quelle und ruhender Beobachter“. Für die Berechnung der Frequenzänderung gibt es zwei Formeln, die zu verschiedenen Ergebnissen führen. Das scheint dem Relativitätsprinzip zu widersprechen. Beim akustischen Doppler-Effekt kommt es jedoch anders als beim optischen Doppler-Effekt nicht allein auf die relative Bewegung zwischen Quelle und Beobachter, sondern auch auf die relativen Bewegungen zum Ausbreitungsmedium an. Das ruhende Ausbreitungsmedium liefert ein ausgezeichnetes räumliches Bezugssystem. Daher müssen verschiedene Bewegunsmöglichkeiten von Quelle und Beobachter relativ zum Ausbreitungsmedium unterschieden werden.

Beim optischen oder allgemein beim elektromagnetischen Doppler-Effekt treten aufgrund der speziellen Relativitätstheorie gegenüber dem akustischen grundlegende Unterschiede in Erscheinung:



1. Die Frequenzänderung hängt lediglich von der Relativgeschwindigkeit zwischen Quelle und Beobachter ab, da für Licht kein Übertragungsmedium existiert und die Lichtgeschwindigkeit von jedem Inertialsystem aus gesehen gleich ist.

2. Eine Frequenzänderung ist auch dann zu beachten, wenn sich Quelle bzw. Beobachter im rechten Winkel zu ihrer Verbindungslinie bewegen.

3. Die Bewegung eines vom Licht durchsetzten Mediums hat keinen Einfluss auf die Frequenz.



Herleitung der relativistischen Doppler-Gleichung



Wir betrachten eine Quelle, die Impulse im Zeitabstand TQ aussendet. Die Signale sollen mit Lichtgeschwindigkeit c zum Beobachter laufen, der sie im zeitlichen Abstand TB empfängt. Da es nur auf die Relativgeschwindigkeit zwischen Quelle und Beobachter ankommt, wollen wir den Beobachter als ruhend annehmen.


Quelle gegenüber Beobachter in Ruhe

Auf dem Schirm des Beobachters erscheinen die Impulse in Zeitabständen von TB = TQ.


Quelle und Beobachter relativ zueinander in Bewegung

(Zeitdilatation wird noch nicht in die Rechnung einbezogen)

Für den Beobachter hat das Licht immer die gleiche Geschwindigkeit c. Während der Zeit TQ zwischen dem Aussenden zweier aufeinander folgender signale bewegt sich die Quelle um v . TQ, so daß die Signalabstände TB sich um ?TQ = v/c . TQ verändern. Die veränderten Signalabstände erhält man mit der Formel







wobei bei Entfernung von Quelle und Beobachter +, bei Annäherung – zu setzen ist.

Quelle und Beobachter relativ zueinander in Bewegung (Zeitdilatation der bewegten Sendeuhr findet Berücksichtigung)

Aufgrund der Zeitdilatation geht die bewegte Sendeuhr vom Beobachter aus langsamer und zwar unabhängig von der Bewegungsrichtung. Die Signale weden daher nicht in zeitlichen Abständen von TQ ausgestrahlt, sondern in Abständen, die um den Faktor größer sind. Das Eintreffen der Signale erfolgt bei gegenseitiger Entfernung von Quelle und Beobachter daher erst nach.


Durch Umformung erhält man die „Formel“ für den relativistischen Doppler-Effekt (linke Formel). Mit der Beziehung T = 1/f erhält man aus der Gleichung auch die Frequenzverschiebung der von der Quelle emittierten Strahlung (rechte Formel).


Die Spektren astronomischer Objekte enthalten wichtige Informationen, speziell auch über ihre Bewegung. Die Astronomen haben zweckmäßigerweise eine Spektrallinienverschiebungsgroöße, den sogenannten z-Wert definiert, der den Bruchteil der Wellenlängenverschiebung angibt. Mißt man bei einem System ein positives z-Wert, so entfernt sich dieses System von uns. Ein negativer z-Wert bedeutet, dass es sich uns nähert.


Rotverschiebung als Hubble-Effekt

Während die Nachbargalaxien unseres Milchstraßensystems sowohl positive wie negative z-Werte aufweisen, zeigen alle Messungen nichtlokaler Galaxien positive z-Werte auf. Um 1929 wies Hubble erfolgreich nach, dass die Rotverschiebung einer Galaxie proportional zu ihrer Entfernung von der Erde (Milchstraße) ist (à Hubble-Gesetz). Das heißt nichts Anderes als dass die Fluchtbewegung der Galaxien voneinander um so schneller erfolgt, je größer ihre Entfernung ist. Man muß jedoch beachten, dass derartige kosmische Rotverschiebungen nicht primär vom Doppler-Effekt herrühren. Die Rotverschiebungen entfernter Ereignisse sind vielmehr durch die allgemeine Expansion von Raum (und Zeit) verursacht, in dem die Galaxien ihren festen Platz behalten.


Rotverschiebung als Gravitationseffekt

Neben der Doppler-Verschiebung (Eigenbewegung) und der allgemeinen Expansion kennt man noch einen weiteren Effekt, durch den Spektrallinien zum Roten hin verschoben werden: Beim Durchlaufen eines Gravitationsgefälles erfährt ein Photon eine Energie- und damit auch eine Frequenzverschiebung.

Stellen wir uns vor, dass ein Photon von der Oberfläche der Erde emittiert wird. Um die Gravitation der Erde zu überwinden und ins All zu fliegen oder eine bestimmte Höhe zu erreichen, braucht das Photon Energie. Diesen Fluchtversuch von der Anziehung der Erde kann auch als Hubarbeit betrachtet werden, wobei sich das Photon selbst von der Erde zu entfernen bzw. heben versucht. Erreicht das Photon eine bestimmte Höhe, so ist sein Energiezustand geringer als auf der Oberfläche und seine Frequenz dementsprechend auch kleiner. Die Formel für die Berechnung der Rotverschiebung in diesem Fall lautet:


Spektranalyse



Läßt man Sonnenlicht durch eine spaltförmige Blende und das dahinter austretende Lichtbündel auf ein Prisma fallen, so wird es in die einzelnen Farbbereiche, in ein Spektrum zerlegt. Das Sonnenlicht besteht aus verschiedenen Wellenbereichen. Das menschliche Auge kann davon nur einen bestimmten Bereich erfassen, nämlich den Wellenlängenbereich zwischen Violett bei ungefähr 0,4 ?m und Rot bei circa 0,8 ?m. Die Frequenz und Wellenlänge einer elektromagnetischen Strahlung verhalten sich umgekehrt proportional zueinander und lassen sich mit Hilfe der Formel ? . ƒ = c berechnen, wobei c die Lichtgeschwindigkeit mit etwa 3.108 m/s ist.

Unter einem Spektroskop versteht man eine Einrichtung, mit der man das Spektrum eines Gestirns visuell beobachtet, Spektrographen sind Anordnungen zur Gewinnung von Photographien der Spektren. Zur Analyse der Spektren gibt es aber auch noch andere geeignete Hilfsmittel wie den Beugungsgitter. Während bei einem Prismenspektrographen das Spektrum durch die Lichtbrechung entsteht, ist es hier die ebenfalls wellenlängenabhängige Lichtbeugung.

Betrachtet man nun das Spektrum eines lichtemittierenden Himmelskörpers so sieht man manchmal einen kontinuerlichen Farbenhintergrund (Kontinuum). Manchmal weist dieses Kontinuum dunkle Linien auf und bei anderen Himmelskörpern findet man sogar nur vereinzelte Linien. Das Ganze läßt sich durch das folgende erklären:



1. Ein glühender, fester oder flüssiger Körper sowie Gase unter sehr hohem Druck und hoher Temperatur erzeugen ein zusammenhängendes, kontinuierliches Spektrum ohne Linien.

2. Leuchtende Gase unter geringerem Druck oder niedrigerer Temperatur zeigen einzelne helle Emissionslinien. Jedes chemische Element erzeugt seine eigenen Linienserien. Das Emissionsspektrum irgendwelcher leuchtender Gase verrät also deren chemische Zusammensetzung.

3. Durchläuft das Licht eines Körpers, das für sich allein genommen ein kontinuierliches Spektrum ergibt ein (kühleres) Gas, so zeigen sich auf dem Kontinuum genau bei denjenigen Wellenlängen dunkle Linien (Absorptionslinien, Fraunhofersche Linien), bei denen das durchstrahlte Gase im alleinigen Leuchtzustand Emissionlinien erzeugen würde. Dies gilt auch für die meisten Sterne und die Sonne, wo die von tieferen Zonen stammenden Lichtstrahlen äußere, kühle Randschichten durchlaufen und in dieser „umkehrenden Schicht“ die Fraunhofer-Linien entstehen.



Man kann diese Vorgänge am besten verstehen, wenn man die Emission und Absorption von Licht am Modell des einfachsten Atoms, dem Wasserstoff, erklärt. Hier umkreist ein einzelnes elektrische negativ geladenes Elektron, den aus einem positiven Proton bestehenden Kern. Dem Elektron stehen zahlreiche, aber ganz bestimmte Bahnen offen, die ganz bestimmten Energiestufen entsprechen. Die inerste Bahn 1 (Grundzustand) ist die energieärmste. Soll eine äußere Bahn erreicht werden, so muß das Elektron von außen dazu angeregt werden, d.h. es muß Energie zugeführt werden. Umgekehrt wird bei Elektronensprüngen von einer äußeren auf eine innere Bahn ein jeweils ganz bestimmter Energiebetrag in Form einer Strahlung bestimmter Wellenlänge frei. Es entsteht also eine Emissionslinie im Spektrum. Wellenlänge ? und freiwerdender Energiebetrag E stehen dabei folgendermaßen in Beziehung:



E = h . f



h ist eine Konstante, das Plancksche Wirkungsquantum (h = 6,62608 . 10-34 Js) und f die Frequenz. Eine kontinuierliche Strahlung entsteht bei zahlreichen Sprüngen freier Elektronen, die sich zuvor zwischen den Atomkernen frei bewegten, auf irgendeine der möglichen Bahnen eines Atoms. Die Wellenlänge der dabei im Einzelfall emittierten Strahlung ist abhängig von der Differenz zwischen dem Energiebetrag, den das Elektron vor dem Sprung hatte, und der Energiestufe der schließlich erreichten Bahn. Da die ursprünglich freien Elektronen sehr verschiedene Energiebeträge haben können, werden bei diesen Sprüngen ganz verschiedene Wellenlängen erzeugt, die sich zu einem Kontinuum „verschmieren“.

Im Inneren eines Sterns gibt es bei den dort vorliegenden hohen Druck- und Temperaturwerten sehr viele freie Elektronen. So kommt es zu deren Einfang auf die verschiedensten Bahnen und damit zum Kontinuum. Natürlich handelt es sich nicht nur um Wasserstoff, sondern auch um schwerere, komplizierter aufgebaute Atome. Das Prinzip ist jedoch dasselbe. In den äußeren kühleren Schichten des Sterns nehmen nun aber z.B. die Wasserstoffatome gerade die Energiebeträge aus dem Kontinuum auf, die sie zur Anregung ihrer Elektronen benötigen. So kommt an bestimmten Stellen zu Absorptionslinien.





Wiensches Verschiebungsgesetz



Grundsätzlich lassen sich Temperaturn zunächst für die Oberflächen der Sterne gleichfalls dem Spekturm entnehmen. Hierzu dient das Wiensche Verschiebungsgesetz, nach dem das Intensitätsmaximum im Kontinuum temperaturabhängig ist und sich mit wachsender Temperatur T nach kürzeren Wellenlängen verschiebt. Für die Temperatur gilt





wobei a = 0,289 cm.K ist und für ?max die Wellenlänge des Intensitätsmaximum zu setzen ist.







Die Keplerschen Gesetze



Die von Johannes Kepler aufgestellten Gesetze der Planetenbewegungen lauten:



1. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

2. Die Verbindungslinie Planet-Sonne überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

3. Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten verhalten sich wie die Kuben (dritte Potenz) ihrer mittleren Entfernung von der Sonne.



Das 2. Keplersche Gesetz besagt, dass die Geschwindigkeit eines Planeten in seinem Aphel (Sonnenferne) am kleinsten, im Perihel (Sonnennähe) am größten ist, und zwar gerade so, dass die in einem bestimmten Zeitabschnitt vom Radiusvektor überstrichene Fläche stets konstant ist.

Das 3. Keplersche Gesetz läßt sich auch in folgender Formel ausdrücken:







Dabei sind P1 und P2 die Umlaufszeiten der Planeten 1 und 2, a1 und a2 die jeweiligen großen Halbachsen.







Das Gravitationsgesetz



Der Inhalt des von Isaac Newton aufgestellten Gravitationsgesetzes lautet: Alle Massen im Weltall ziehen sich gegenseitig an, und zwar mit einer Kraft F, die dem Produkt der beiden beteiligten Massen m1 und m2 proportional und dem Quadrat ihres gegenseitigen Abstands r umgekehrt proportional ist, also







G ist dabei die Gravitationskonstante. Es ist 6,67259 . 10-11 m3/kg . s2. Aus dem Gravitationsgesetz lassen sich die Keplerschen Gesetze ableiten.



Ein Planet befindet sich auf einer stabilen Bahn, wenn er weder infolge der Schwerkraft auf die Sonne stürzt, noch infolge der Zentrifugalkraft, die auf dieser Bahn entsteht, aus dieser herausgeschleudert wird: Schwerkraft der Sonne und Zentrifugalkrat müssen sich gegenseitig aufheben. Die Zentrifugalkraft Z hängt von der Masse des Planeten m, seiner Bahngeschwindigkeit v und dem Krümmungsradius r der Bahn, also der Entfernung Planet-Sonne, ab. Es ist







Die Kreisbahngeschwindigkeit vk ist die erforderliche Geschwindigkeit zur Erhaltung des Gleichgewichts Zentrifugalkraft = Sonnenanziehung für einen gegebenen Sonnenabstand r. Ist die tatsächliche Geschwindigkeit etwas kleiner, so bewegt sich der Planet auf einer Ellipsse zur Sonne hin. Gleichzeitig nimmt gemäß dem 2. Keplerschen Gesetz die Bahngeschwindigkeit zu. In sonnennahen Scheitelpunkt der Ellipsenbahn überwiegt schließlich die entstehende Zentrifugalkraft die Sonnenanziehung, und der Planet bewegt sich auf der Ellipse wieder von der Sonne weg, bis wieder die Sonnenanziehung durch die sich jetzt verringernde Bahngeschwindigkeit die Oberhand gewinnt.









Rotation der Sterne



Während man bei unserer Sonne aus der Beobachtung der Sonnenflecken und anderer Erscheinungen sehr leicht die Rotationsgeschwindigkeit bestimmen kann, ist dies bei den Sternen auf direkte Weise nicht möglich; man kann sie nur als Punkte beobachten und daher keine Oberflächeneinzelheiten sehen. Doch die Rotationsgeschwindigkeit der Sonne läßt sich unter Anwendung des Doppler-Effekts bestimmen: man beobachtet getrennt den Ost- und Westrand der Sonne und stellt eine Blau- bzw. Rotverschiebung der Spektrallinien fest.

Bei einem Stern läßt sich twar nicht der eine oder andere Rand der Sternscheibe getrennt untersuchen. Vielmehr erhält man von den verschiedensten Teilen der Sterne Licht, also von Teilen, die sich infolge der Rotation auf die Erde zu bewgen, und anderen Teilen, die sich infolge der Rotation von ihr weg bewegen. Das bedeutet, dass die Spektrallinien sowohl nach Blau (oder Violett) als auch nach Rot verschoben sind, d.h. die Linien sind verbreitert. Diese Doppler-Verbreiterung ist ein Maß für die Rotationsgeschwindigkeit.

Allerdings erhält man die wirkliche äquatoriale Rotationsgeschwindigkeit nur für den Fall, daß die Rotationsachse des Sterns senkrecht zur Beobachtungsrichtung steht. Da dies in den seltensten Fällen zu erwarten ist, erhält man meist einen zu geringen Wert für die Rotationsgeschwindigkeit. Würde man genau in Richtung der Rotationsachse blicken, erfolgt über keine Doppler-Verbreiterung mehr: der Stern würde scheinbar nicht rotieren. Da es leider prinzipiell keine Möglichkeit gibt, die Neigung der Rotationsachse zu bestimmen, erhalten wir nur Minimalwerte für die Rotationsgeschwindigkeiten.





Doppelsterne



Diese Systeme bestehen – wie der Name schon sagt – aus zwei Sternen. Kennzeichnend für ein Doppelsternsystem ist, dass sich eine Masse jeweils um die andere dreht und dadurch der Schwerpunkt in den Raum zwischen den beiden

Himmelskörpern verlagert wird. Bei der Beobachtung von solchen Systemen ist jedoch zu beachten, dass manche nur scheinbar Doppelsterne sind (optische Doppelsterne). In Wirklichkeit haben diese beiden Sterne ganz verschiedene Entfernungen und erscheinen uns auf der Erde wie Doppelsterne. Im Gegensatz zu den echten, physischen Doppelsternen besitzt der Stern keinen Umlaufbahn um den anderen.



Spektroskopische Doppelsterne



Daneben gibt es noch sehr enge Doppelsterne, die auch in größeren Fernröhren nicht zu trennen sind, die sich aber oft auf spektroskopischem Wege verraten. Da sich die beiden Komponenten eines solchen Systems um den gemeinsamen Schwerpunkt bewegen, zeigen sie auch relative Bewegungen zur Erde, es sei denn, die Bahnebenen der beiden Körper stehen senkrecht zur Blickrichtung. Wie bei der zuvor erwähnten Methode zur Ermittlung der Rotationsgeschwindigkeit, verfährt man hier auf gleiche Weise:

Sind die beiden Komponenten eines solchen Systems ungefähr gleich hell, dann überlagern sich zwei Spektren, deren Linien sich wegen dees Doppler-Effekts gegeneinander verschieben: bewegt sichdie eine Kompnente auf den Beobachter zu, dann sind deren Spektrallinien nach Blau verschoben. Gleichzeitig muß sich aber die andere Komponente vom Betrachter weg bewegen und deren Linien sind nach Rot verlagert. Eine halbe Umlaufsperiod später ist es umgekehrt. Ein Viertel einer Umlaufsperiode danach bewegn sich dagegen beide Komponenten rechtwinklig zur Blickrichtung. Jetzt ergeben sich sich keine Doppler-Verschiebeungen: die Spektrallinien beider Sterne fallen zusammen. Mit anderen Worten: die Spektrallinien spalten bei den spektroskopischen Doppelsternen innerhalb einer Umlaufsperiode zweimal auf und fallen zweimal wieder zusammen.



Bedeckungsveränderliche



Ist die Bahnneigung bei einem engen Doppelstern nahe 90°, d.h. liegt die Bahnebene so im Raum, dasss man von der Erde aus fast in deren Richtung sieht, können sich die Komponenten während ihres Umlaufs gegenseitig bedecken. Wie bei den Sonnenfinsternissen, so kommen auch bei den Bedeckungsveränderlichen totale, ringförmige und partielle Bedeckungen vor. Manche Doppelsternpartner sind so eng benachbart, dass es zu einem Materieaustausch zwischen ihnen kommen kann.








Quelle:




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