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Titel:

Matura Mathematik


  Note: 2   Klasse: 11









Arbeit: DIE GANZE WAHRHEIT


1) Ellipse


1. Hauptlage:


2. Hauptlage:



A, B ... Hauptscheitel
B

AB = 2a ... Hauptachse

C, D ... Nebenscheitel
B

CD = 2b ... Nebenachse

F1, F2 ... Brennpunkte

B

F1F2 = 2e

B

MF1 = MF2 = e ... Brennweite,lineare Exzentrizität

l1, l2 ... Leitstrecken

M (0|0) ... Mittelpunkt










a² = b² + e²






§ Definition



Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu 2 festen Punkten, den Brennpunkten, konstant 2a ist.



B B

ell = {X | XF1 + XF2 = 2a} = {X | l1 + l2 = 2a}




§ Spezialfälle



a) a = b => e = 0; b = a = r; F1 = F2 = M Kreis

b) e = b Gleichseitige Ellipse

c) e konst (selbe Brennpunkte) Konfokale Ellipse

je größer b, desto größer a




§ Konstruktion



- Punkte A, B, C, D, M, F1 und F2 einzeichnen

- Rechteck MBEC zeichnen

- die Normale auf die Gerade (B,C) durch E zeichnen à MB und MC Mittelpunkte der Schmiegekreise, durch Spiegelung MA und MD einzeichnen

- neben Ellipse Strecke 2a zeichnen

- mit Zirkel von F1 Strecke in kritischen Bereich zwischen Schmiegekreisen abschlagen und bei 2a abtragen

- (2a – abgetragener Strecke) von F2 abschlagen à X1, Spiegeln

- sooft wiederholen, bis Ellipse zeichenbar




§ Gleichungen



Gleichung einer Ellipse in 1. Hauptlage:


Gleichung einer Ellipse in 2. Hauptlage:

b²x² + a²y² = a²b²


a²x² + b²y² = a²b²






§ Ableitung der Gleichung einer Ellipse in 1. Hauptlage



X (x|y) F1 (-e|0) F2 (e|0)



B

XF1 = Ö[(-e – x)² + (-y)²] = Ö (e² + 2ex + x² + y²)

B

XF2 = Ö [(e – x)² + (-y)²] = Ö (e² – 2ex + x² + y²)



B B

XF1 + XF2 = 2a

Ö (e² + 2ex + x² + y²) + Ö (e² – 2ex + x² + y²) = 2a | - Ö

Ö (e² + 2ex + x² + y²) = 2a - Ö (e² – 2ex + x² + y²) | ²

e² + 2ex + x² + y² = 4a² – 4aÖ (e² – 2ex + x² + y²) + e² – 2ex + x² + y²

4ex – 4a² = -4aÖ (e² – 2ex + x² + y²) | :4

ex – a² = -aÖ (e² – 2ex + x² + y²) | ²

e²x² – 2a²ex + a4 = a²e² - 2a²ex + a²x² + a²y² | – e²x² – a²e²

a4 – a²e² = a²x² – e²x² + a²y²

a²(a² – e²) = x²(a² – e²) + a²y²

a² – e² = b²

b²x² + a²y² = a²b² | :a²b²

§ Berührbedingung



geg.: g: y = kx + d



Ellipse in 1. Hauptlage: a²k² + b² = d²

2. Hauptlage: b²k² + a² = d²



Kreis in Ursprungslage: r²(1 + k²) = d² a² = b² = r²

allgemeiner Lage r²(1 + k²) = (uk – v + d)²




§ Ableitung der Berührbedingung einer Ellipse in 1. Hauptlage



geg.: ell: b²x² + a²y² = a²b²

g: y = kx + d



g Ç ell:



b²x² + a²(kx + d)² = a²b²

b²x² + a²k²x² + 2a²dkx + a²d² = a²b²

x²(b² + a²k²) + x(2a²dk) + a²d² – a²b² = 0

(b² + a²k²)x² + (2a²dk)x + (a²d² – a²b²) = 0 | :(b² + a²k²)



D = a²k² + b² – d²

D > 0 2 Lösungen Sekante

D = 0 1 Lösung Tangente

D < 0 0 Lösungen Passante




§ Tangentengleichung und Polarengleichung



geg.: Ellipse

T (x1|y1) Î ell à Tangente t durch T

P (x1|y1) Ï ell à Polare p

Die Polare p geht durch die Schnittpunkte T1 und T2 (Tangenten durch P Ç Ellipse)



Ellipse in 1. Hauptlage:


Ellipse in 2. Hauptlage:

b²xx1 + a²yy1 = a²b²


a²xx1 + b²yy1 = a²b²









2) Hyperbel




§ Skizze



1. Hauptlage:


2. Hauptlage:



A, B ... Hauptscheitel
B

AB = 2a ... Hauptachse

C, D ... Nebenscheitel
B

CD = 2b ... Nebenachse

F1, F2 ... Brennpunkte

B

F1F2 = 2e

B

MF1 = MF2 = e ... Brennweite,lineare Exzentrizität

l1, l2 ... Leitstrecken

M (0|0) ... Mittelpunkt

u, v ... Asymptoten der Hyperbel

MA, MB ... Mittelpunkte der Schmiegekreise








a² + b² = e²





u, v: y = ±x






§ Definition



Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, für die die Differenz der Abstände zu 2 festen Punkten, den Brennpunkten, konstant 2a ist.



B B

hyp = {X | XF1 – XF2 = 2a} = {X | |l1 – l2| = 2a}




§ Spezialfälle



a) a = b => e = aÖ2

b) e konst (selbe Brennpunkte) Konfokale Hyperbeln



§ Konstruktion



- Punkte A, B, C, D, M, F1 und F2 einzeichnen

- Rechteck MBEC zeichnen

- Asymptoten einzeichnen

- die Normale auf die Asymtote (M,E) durch E zeichnen à MB Mittelpunkte des Schmiegekreises des rechten Hyperbelastes, durch Spiegelung MA einzeichnen

- neben Hyperbel Strecke 2a zeichnen

- mit Zirkel von F1 Strecke bis außerhalb des Schmiegekreises abschlagen und bei 2a abtragen

- (abgetragener Strecke – 2a) von F2 abschlagen à X1, Spiegeln

- sooft wiederholen, bis Hyperbel zeichenbar




§ Gleichungen



Gleichung einer Hyperbel in 1. Hauptlage:


Gleichung einer Hyperbel in 2. Hauptlage:

B²x² - a²y² = a²b²


-a²x² + b²y² = a²b²






§ Ableitung der Gleichung einer Hyperbel in 1. Hauptlage



X (x|y)



Linker Ast:


B B

XF1 – XF2 = -2a

Ö[(-e-x)²+y²] – Ö[(e-x)²+y²] = -2a

Ö(e²+2ex+x²+y²) = Ö(e²–2ex+x²+y²) – 2a | ²

e²+2ex+x²+y² = e²-2ex+x²+y²-4aÖ[(e-x)²+y²] +4a²

4ex – 4a² = -4a Ö(e² – 2ex + x² + y²) | :4 | ²

e²x² – 2a²ex + a4 = a²(e² – 2ex + x² + y²)


rechter Ast:


B B

XF1 – XF2 = 2a

Ö[(-e-x)²+y²] – Ö[(e-x)²+y²] = 2a

Ö(e²+2ex+x²+y²) = Ö(e²–2ex+x²+y²) + 2a | ²

e²+2ex+x²+y² = e²-2ex+x²+y²+4aÖ[(e-x)²+y²] +4a²

4ex – 4a² = 4a Ö(e² – 2ex + x² + y²) | :4 | ²

e²x² – 2a²ex + a4 = a²(e² – 2ex + x² + y²)



e²x² – 2a²ex + a4 = a²e² – 2a²ex + a²x² + a²y²

e²x² – a²x² – a²y² = a²e² – a4

x²(e² – a²) – a²y² = a²(e² – a²)

e² – a² = b²

b²x² – a²y² = a²b² | :a²b²



§ Berührbedingung



geg.: g: y = kx + d



Hyperbel in 1. Hauptlage: d² + b² - a²k² = 0

2. Hauptlage: d² - a² + b²k² = 0




§ Ableitung der Berührbedingung einer Hyperbel in 1. Hauptlage



geg.: hyp: b²x² - a²y² = a²b²

g: y = kx + d



g Ç hyp:



b²x² - a²(kx + d)² = a²b²

b²x² - a²k²x² - 2a²dkx - a²d² = a²b²

x²(b² - a²k²) - x(2a²dk) - a²d² - a²b² = 0

(b² - a²k²)x² - (2a²dk)x + (-a²d² – a²b²) = 0 | :(b² - a²k²)



D = -a²k² + b² + d²

D > 0 2 Lösungen Sekante

D = 0 1 Lösung Tangente

D < 0 0 Lösungen Passante










(b² - a²k²) ¹ 0



Spezialfall:

b² - a²k² = 0

b² = a²k²

k² =

k = ±



d = 0 d ¹ 0

y = ±x y = ±+ d

Asymptote || Asymptote





Asymptote:

0x² - 0x – a²b² = 0 f.A.

L = {}





|| Asymptote:

0x² + ... + a²b² = 0

¹0 1Lös



Þ Jede Parallele zu einer Asymptote schneidet die Hyperbel genau 1x.






§ Tangentengleichung und Polarengleichung



geg.: Hyperbel

T (x1|y1) Î hyp à Tangente t durch T

P (x1|y1) Ï hyp à Polare p



Hyperbel in 1. Hauptlage:


Hyperbel in 2. Hauptlage:

b²xx1 - a²yy1 = a²b²


-a²xx1 + b²yy1 = a²b²









3) Parabel




§ Skizze



1. Hauptlage:


2. Hauptlage:








3. Hauptlage:


4. Hauptlage:





F ... Brennpunkt

A ... Scheitel der Parabel
Parabel

LF = p ............. Parameter

l ... Leitlinie

a ...................... Achse







§ Definition



Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, für die der Abstand zu einem festen Punkt F, dem Brennpunkt, gleich dem Abstand zur Leitlinie ist.



B B

par = {X | XF = Xl}



§ Konstruktion





- Punkte A, F und L einzeichnen

- MA Mittelpunkt des Scheitelkrümmungskreises einzeichnen (Abstand von F = )

- Hilfslinien parallel zur Leitlinie einzeichnen

- Strecke von Leitlinie zu einer Hilfslinie in Zirkel nehmen und von F abschlagen

- sooft wiederholen, bis Parabel zeichenbar




§ Gleichungen



Gleichung einer Parabel in 1. Hauptlage:


Gleichung einer Parabel in 2. Hauptlage:

y² = 2px


x² = 2py






Gleichung einer Parabel in 3. Hauptlage:


Gleichung einer Parabel in 4. Hauptlage:

y² = -2px


x² = -2py





Gleichung der Leitlinie in 1. Hauptlage:


Gleichung der Leitlinie in 2. Hauptlage:

l = -x


l = -y






Gleichung der Leitlinie in 3. Hauptlage:


Gleichung der Leitlinie in 4. Hauptlage:

l = x


l = y




§ Ableitung der Gleichung einer Parabel in 1. Hauptlage



X (x|y)

B B

XF = Xl



=

|| = Ö[(x - )² + y²] = d


B

Xl:

= 0 HNF

x + = d



Ö[(x - )² + y²] = x + | ²

x² - px -+ ()² + y² = x² + px + ()²

y² = 2px



§ Berührbedingung



geg.: g: y = kx + d



Parabel in 1. Hauptlage: p = 2kd

2. Hauptlage: k²p = -2d

3. Hauptlage: p = -2kd

4. Hauptlage: k²p = 2d




§ Ableitung der Berührbedingung einer Parabel in 1. Hauptlage



geg.: par: y² = 2px

g: y = kx + d



g Ç par:



k²x² + 2dkx + d² = 2px

k²x² + (2dk - 2p)x + d² = 0 | :k² ¹ 0



D = p² - 2kdp



p(p – 2kd) = 0

p = 2kd

D > 0 2 Lösungen Sekante

D = 0 1 Lösung Tangente

D < 0 0 Lösungen Passante




k² ¹ 0



Spezialfall:

k² = 0

k = 0

Þ y = d || x-Achse



2px = d²

1 Lösung



Þ Jede Parallel zur x-Achse schneidet die Parabel genau 1x.




§ Tangentengleichung und Polarengleichung



geg.: Hyperbel

T (x1|y1) Î hyp à Tangente t durch T

P (x1|y1) Ï hyp à Polare p



par: y² = 2px

yy = px + px



Parabel in 1. Hauptlage:


Parabel in 2. Hauptlage:

yy1 = p(x + x1)


xx1 = p(y + y1)

Parabel in 3. Hauptlage:


Parabel in 4. Hauptlage:

yy1 = -p(x + x1)


xx1 = -p(y + y1)



§ Konstruktion einer Tangente





4) Komplexe Zahlen





§ Das Symbol „i“



x² = a G = R

a > 0 L = {Öa]; -Öa}

a = 0 L = {0(2)}

a < 0 L = {}

Þ $ C ... Menge der komplexen Zahlen



x² = -1

x² = (-1)

x12 = ± Ö(-1)


x² = -4

x² = 4(-1)

x12 = ± 2 Ö(-1)


x² = -¾

x² = ¾(-1)

x12 = ± Ö¾ Ö(-1)


x² = -a a Î R+; a > 0

x² = a(-1)

x12 = ± Öa Ö(-1)

L = {+i ; -i}


L = {2i ; -2i}


L = {¾i ; -¾i}


L = {Öa i ; -Öa i



Definition: Ö(-1) = i

i = Ö(-1) | ²

i² = [Ö(-1)]²

i² = -1



Vorsicht: [Ö(-1)]² ¹ Ö[(-1)²]

-1 ¹ 1





Quadratische Gleichung:

ax² + bx + c = 0 a, b, c Î R; a ¹ 0 G = C

x12 = = - ±



D = b² - 4ac

D > 0 L = {- + ; - – }

D = 0 L = {(-)(2)}

D < 0

Ö(b² – 4ac) = Ö(4ac – b²) Ö(-1)

< 0 > 0 i

L = {- + i; - – i}





Allgem. Komplexe Zahl:

z = a + b i



a ... Realteil Re(z)

b ... Imaginärteil Im(z)

z = Re(z) + Im(z) i



Spezialfälle:

b = 0 Þ z = a + 0i = a ... reelle Zahl Î R R Ì C

a = 0 Þ z = 0 + bi = bi ... imaginäre Zahl Î C Im Ì C



N Ì Z Ì Q
I




Ì R Ì C



Jede reelle Zahl lässt sich als komplexe Zahl schreiben.



3,9 = 3,9 + 0i


Ö¾ = Ö¾ + 0i


p = p + 0i

Gleichheit von komplexen Zahlen:



z1 = a + bi

z2 = c + di

z1 = z2 Û (a = c) Ù (b = d)



Koeffizientenvergleich:

Zwei komplexe Zahlen sind gleich,

wenn sowohl ihre Realteile als auch ihre Imaginärteile übereinstimmen.





§ Rechenregeln



z1 = a + bi z2 = c + di



Addition:

z1 + z2 = a + bi + c + di = (a + c) + (b + d)i Î C

Î R Î R



Subtraktion:

z1 + z2 = (a – c) + (b – d)i



Multiplikation:

z1 × z2 = (a + bi) × ( c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac – bd) + (bc + ad)i



Division:

Î C

Re(z) Im(z)



c² + d² > 0; sonst c = 0, d = 0 Þ z2 = 0



Potenzen von i:

i¹ = i i5 = i

i² = -1 i6 = -1

i³ = i² i = (-1) i = -i :

i4 = i² i² = 1 :





Konjugiert komplexe Zahlen:



z = a + bi

= a – bi ... konjugiert komplexe Zahl zu z [z quer]



Eigenschaften von konjugiert komplexen Zahlen:



= z

z + = 2a Î R

z – = 2bi Î Im

z × = (a + bi) (a – bi) = a² + b² Î R



umgekehrt:

a² + b² in C zerlegbar, in R nicht!

Satz von VIETA gilt auch für komplexe Zahlen:

z² + pz + q = 0 p, q Î C mit Lösungen z1, z2



z1 + z2 = -p

z1 × z2 = q

z² + pz + q = (z - z1) (z - z2)



Spezialfall:

NUR wenn p UND q Î R Þ z1, z2 ... konjugiert komplex





§ GAUSSsche Zahlenebene



z = 4 + 2i



Jede komplexe Zahl lässt sich eindeutig als Punkt (=Ortsvektor) in der GAUSSschen Zahlenebene darstellen.



|z| ... Länge des Vektors

|z| = Ö(a² + b²) = r Î R ... Radius der komplexen Zahl = Abstand vom Ursprung (0|0i)

auch Nm(z) = |z|² = a² + b² = r² [Norm von z]



|z|² = |z²|





§ Darstellungsmöglichkeiten





Kartesische Darstellung:

geordnetes Zahlenpaar (a ; b)

Binominalform z = a + bi



Polarkoordinatendarstellung:

geordnetes Zahlenpaare (r ; j)

r ... |z| ³ 0 Î R0+ Betrag von z

0° £ j < 360° Argument von z

Hauptwert

Trigonometrische Form z = r (cos j + i sin j)



Zusammenhang:

r = Ö(a² + b²)

tan j =

cos j = a = r cos j

sin j = b = r sin j

Multiplikation und Division komplexer Zahlen mit Hilfe von Polarkoordinaten:



z1 = r1 (cos j1 + i sin j1)

z2 = r2 (cos j2 + i sin j2)



Multiplikation:

z1 × z2 = r1 (cos j1 + i sin j1) × r2 (cos j2 + i sin j2) =

= r1 r2 (cos j1 cos j2 – sin j1 sin j2 + cos j1 sin j2 i + cos j2 sin j1 i) =

= r1 r2 [(cos j1 cos j2 – sin j1 sin j2) + i (cos j1 sin j2 + cos j2 sin j1)] =

= r1 r2 [ cos (j1 + j2) + i sin (j1 + j2)]



z1 × z2 = r1 r2 [ cos (j1 + j2) + i sin (j1 + j2)] = (r1 r2 ; j1 + j2)



Beim Multiplizieren von komplexen Zahlen werden die Radien multipliziert

und die Argumente = Winkel addiert.



Division:

z1 : z2 =







z1 : z2






Beim Dividieren von komplexen Zahlen werden die Radien dividiert

und die Argumente = Winkel subtrahiert.




§ Graphisches Rechnen



Addition:


Subtraktion:



Def.: z1 – z2 = z1 + (-z2)



2025


Multiplikation:






Def.: z1 × z2


Def.: z2 × z1



Winkel von z1 und z2 addieren

Spitze von z1 mit Einheitspunkt E verbinden

Winkel a bei Einheitspunkt E bei Spitze von z2 abtragen



Beweis:

D0Ez1 » D0 z2 z1z2 ... Strahlensatz gilt



B B B B

0E : 0z1 = 0z2 : 0z1z2

1 : r1 = r2 : r1r2

r1r2 = r1r2 wzbw



Division:






Def.: z1 : z2


Def.: z2 : z1



Winkel von z2 vom Winkel von z1 subtrahieren

Spitze von z1 mit Spitze von z2 verbinden

Winkel a bei Spitze von z2 bei Einheitspunkt E abtragen



Beweis:

Probe: z2 × = z1




§ Potenzieren



z = r (cos j + i sin j) n Î R



zn = [r (cos j + i sin j)]n = rn (cos j + i sin j)n

zn = rn [cos j + j + j + ... + i sin j + j + j +...] = rn (cos n j + i sin n j)



Þ (cos j + i sin j)n = cos n j + i sin n j

Formel von DE MOIVRE



§ Radizieren (Wurzelziehen)



Definition:

z Î C heißt n-te Wurzel aus z Î C [Zeta]

z = nÖz , wenn zn = z

n Î N \ {0,1}



Beispiel:

(1 + i)² = 2i



(-1 - i)² = 2i


z1 = (1 + i)

Þ Ö2i =

z2 = (-1 – i)





mit Binomialform:



Ö[2i] = a+bi | ²

2i = a² + 2abi + b²i²

0 + 2i = (a² - b²) + 2abi ... Koeffizientenvergleich



Þ 0 = a² - b² 2 = 2ab

1 = ab

b =

0 = a² - | × a²

a4 = 1 | Ö

a² = ± 1 a muss reell sein! Þ -1 keine Lösung

a1 = 1

a2 = -1


b1 = 1

b2 = -1




Ö2i =


1 + i

-1 - i





mit Polarkoordinaten:



geg.: z = (r ; j) r Î R+; 0 £ j < 2p (Hauptwert)

ges.: z = Öz = (r ; a)



(r ; a) = Ö(r ; j) | ²

(r ; a)² = (r ; j)

(r² ; 2a) = (r ; j)



r² = r 2a = j 2a = j + 360°

r = Ör a = a = + 180°







nÖz = nÖ(r ; j) =


(nÖr ; ) ... 1. Nebenwert

(nÖr ; + 1×) ... 2. Nebenwert

(nÖr ; + 2×) ... 3. Nebenwert

(nÖr ; + (n – 1)× ) ... n. Nebenwert






n Lösungen



(nÖr ; + (k – 1)×) k = 1, 2, 3, ..., n



Eine Wurzel aus einer komplexen Zahl ist wieder eine komplexe Zahl.



§ Exponentialform



cos j + i sin j = eij

EULERsche Formel

Beispiel:

z = r × eij

e2pi = 1

cos 2p + i sin 2p = 1

1 + i × 0 = 1



e(p/2)i = i

cos + i sin = i

0 + i × 1 = i



ii = (e(p/2)i)i = e(p/2)i² = e(-p/2) = 1/[e(p/2) ] = 0,207879576351 Î R!



iÖi = (e(p/2)i)(i/2) = e(p/2) = Öep = 4,810477381









a = e ln a



Beweis:

a = e ln a | ln

ln a = (ln a) (ln e)

ln a = ln a





allgem.:

xlog a

a = x











Beispiel:

2i = (eln2)i = cos ln2 + i sin ln2 = cos 0,693147181 + i sin 0,693147181 =

= 0,769238901 + i 0,638961276

Radianten!



5) Komplexe Zahlen

als nichtgeordneter Körper





R ist geordnet, da " a, b Î R gilt: a < b oder

a = b oder

a > b

C ist nicht geordnet, da " z1, z2 Î C gilt: z1 = z2 oder

z1 ¹ z2





Beispiel: i, 2i



„=“ i = 2i | -i

0 = i

reell nicht reell

Î R Ï R f.A.



„<“ i < 2i | -i

0 < i

i > 0 | ×(i > 0)

i² > 0

-1 > 0 f.A. indirekter Beweis



„>“ i > 2i | -i

0 > i

i < 0 | ×(i < 0)

i² > 0

-1 > 0 f.A.





Þ Es ist sinnlos, bei komplexen Zahlen von > oder < zu sprechen; nur = oder ¹ !

Þ C ist nicht geordnet





C ist ein Körper:



1) (C;+) ... abelsche (=kommutative) Gruppe [C bezüglich plus]

· Abgeschlossenheit

z1 + z2 = z3 Î C

· Assoziativgesetz (AG)

(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)

· neutrales Element n

" z Î C $ n Î C

z + n = n + z = z

n = 0 = 0 + 0i Î C

· inverses Element z*

" z Î C $ z* Î C

z + z* = z* + z = n = 0

z* = -z Î C

Þ Gruppe

· Kommutativgesetz (KG)

z1 + z2 = z2 + z1



2) (C\{n = 0}; × ) ...abelsche Gruppe [C bezüglich mal]

· Abgeschlossenheit

z1 × z2 = z3 z3 ¹ 0

· Assoziativgesetz (AG)

(z1 × z2) × z3 = z1 × (z2 × z3)

· neutrales Element n1

" z Î C\{0} $ n1 Î C\{0}

z × n1 = n1 × z = z

n1 = 1 = 1 + 0i Î C

· inverses Element z*

" z Î C\{0} $ z* Î C\{0}

z × z* = z* × z = n1 = 1

z × z* = 1 | :z ¹ 0

z* = 1/z = 1/(a + bi)

Þ Gruppe

· Kommutativgesetz (KG)

z1 × z2 = z2 × z1



3) Distributivgesetz (DG)

(z1 + z2) z3 = z1 z3 + z2 z3

z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3



ERST wenn 1), 2) und 3) erfüllt sind, spricht man von einem Körper.





Þ C ist ein nicht geordneter Körper



6) Berechne Ö(-½ – i) auf 2 verschiedene Arten





Berechne Ö(-½ – i) auf zwei Arten und zeige, dass eine Lösung eine dritte Einheitswurzel ist.





Kartesische Darstellung:

Ö(-½ – i) = a + bi | ²

(-½ – i) = a² + 2abi – b²

-½ = a² – b² -) = 2ab

a = -

-½ = – b² | ×16b²

-8b² = 3 – 16b4

16b4 – 8b² – 3 = 0 b² = u

16u² – 8u – 3 = 0

u12 =

u1 = 24/32 = ¾ b12 = ± a12 = ± = ±½

u2 = -8/32 = -¼ b34 = ± Ï R



L = {-½ + i ; ½ – i}





Polarkoordinatendarstellung:



r = Ö(a² + b²) = Ö(¼ + ¾) = Ö1 = 1

tan j = = -:(-½) = Ö3

j = arctan Ö3 = 240°



Ö(-½ – i) = Ö[(1;240°)] = (Ö1; 240°/2) = (1;120°) = -½ + i

Ö[(1;240°)] = (Ö1; [240°+360°]/2) = (Ö1; 600°/2) = (1;300°) = ½ – i



L = {-½ + i ; ½ – i }





Dritte Einheitswurzel:



z³ – 1 = (z - 1) (z² + z + 1) = 0

z1 = 1

z² + z + 1 = 0

z23 = -½ ± Ö(¼ – 1) = -½ ± Ö(-¾) = -½ ± i

z2 = -½ + i

z3 = -½ – i



L = {1 ; -½ + i ; -½ – i }

7) Berechne 9z² - 18(1+i)z + 2(16+21i) = 0



9z² – 18(1 + i)z + 2(16 + 21i) = 0 G = C















Ö(-1152 – 864i) = Ö[(1440 ; 216,87°)]



= (Ö(1440) ; 216,87°/2) =

= (37.95 ; 108,43°) =

= -12 + 36i



= (Ö(1440) ; [216,87° + 360°] /2) =

= (Ö[1440]; 576,87°/2) =

= (37,95 ; 288,43°) =

= 12 – 36i



L = { – i ; ¯ + 3i}



8) Polinome





§ Definition



Eine Linearkombination der Form

n

Pn(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ... + a1 x + a0 = å ai xi

i=0

(wobei ai Î C und an ¹ 0) heißt Polynom n-ten Grades über der Menge C in 1 Variable.



n ... Grad des Polynoms

ai ... Koeffizienten

a0 ... konstantes Glied



Jedes Polynom ist eine zusammenhängende Kurve (Þ keine Sprungstellen!)



Beispiel:

4x² + 23x – 7 Polynom 2. Grades über Z

Ö3 x7 – (4 + 3i) x4 + 2 Polynom 7. Grades über C

x³ + Öx KEIN Polynom

2x + KEIN Polynom




§ HORNERsches Verfahren



P3(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0






a3


a2


a1


a0

a


a3


a3 a + a2


(a3 a + a2 ) a + a1


[(a3 a + a2 ) a + a1] a + a0



Beweis:

P3(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 =

= (a3 x3 + a2 x2 + a1) x + a0 =

= [(a3 x3 + a2 x) x + a1] x + a0 =



Beispiel:

P4(x) = 5x4 – x3 + 3x + 4 über Z

P4(2) = 5 × 24 – 23 + 3 × 2 + 4 = 5 × 16 – 8 + 6 +4 = 82

P4(-3) = 5 × (-3)4 – (-3)3 + 3 × (-3) + 4 = 5 × 81 + 27 – 9 +4 = 427






5


-1


0


3


4

2


5


9


18


39


82

-3


5


-16


48


-141


427

i


5


-1 + 5i


-5 - i


4 – 5i


9 + 4i



Beispiel:

P3(z) = z³ – 2z² + z – 3

P3(2+i) = -5 + 4i

P3(2-i) = -5 – 4i




1


-2


1


-3

(2 + i)


1


i


2i


-5 + 4i

(2 – i)


1


-i


-2i


-5 – 4i



allgemein:

d

P() = P(z) , NUR wenn ai Î R!
§ Nullstellen



Polynom

Pn(a) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ... + a2x² + a1x + a 0



Polynomfunktion:

y = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ... + a2x² + a1x + a 0

à Wertetabelle à Graph ermittelbar



Nullstellen ermitteln:

rechnerisch: Ausdruck gleich Null setzen

graphisch: wo Graph x-Achse schneidet



Eine Zahl a Î C heißt Nullstelle von Pn(a) , wenn Pn(a) = 0.





Beispiel:

P4(x) = 4x4 – 79x2 – 20 ist 2 Ö5 Nullstelle?






4


0


-79


0


-20

2 Ö5


4


8 Ö5


1


2 Ö5


0



à 2 Ö5 ist Nullstelle





Fundamentalsatz der Algebra von GAUSS:



Jedes Polynom n-ten Grades (n Î N) hat mindestens 1 Nullstelle in C.

Þ Jedes Polynom n-ten Grades hat genau n Nullstellen in C.



4 reelle Nullstellen à Polynom min. (!) 4. Grades




§ Zerfällen von algebraischen Gleichungen

mit dem Satz von VIETA für Gleichungen höheren Grades



P4(x) = a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = a4 (x – x1) (x – x2) (x – x3) (x – x4)

L = {x1; x2; x3; x4}



Beweis:



geg: Polynom n-ten Grades Pn(x) = 1 xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ... + a1 x + a0 = 0

Voraussetzung: an = 1 Koeffizient der höchsten Potenz = 1

Nullstellen ermitteln à Polynom wird algebraische Gleichung



Annahme: x1 ... Lösung von Pn(x)

Pn(x1) = 1 x1n + an-1 x1n-1 + an-2 x1n-2 + ... + a1 x1 + a0 = 0



Pn(x) – Pn(x1) = (xn – x1n) + an-1 (xn-1 – x1n-1) + an-2 (xn-2 – x1n-2) + ... + a1 (x – x1) = 0

= (x – x1) [xn-1 + bn-2 xn-2 + ... + b1 x + b0] = 0 ... Polynom (n-1)-ten Grades



Annahme: x2 ... Lösung

= (x – x1) (x – x2) [xn-2 + cn-3 xn-3 + ... + c1 x + c0] = 0 ... Polynom (n-2)-ten Grades



Þ $ n Lösungen: x1; x2; ...; xn

(x – x1) (x – x2) (x – x3) ... (x – xn) = 0

Pn(x) = xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 = (x – x1) (x – x2) ... (x – xn)

Pn(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 = an (x – x1) (x – x2) ... (x – xn)



Satz von VIETA für Gleichungen höheren Grades,

wobei x1; x2; x3; ... Nullstellen (Lösungen) von Pn(x) sind.



es gilt:



-an-1 = x1 + x2 + ... xn

+an-2 = x1 x2 + x1 x3 + ... + x1 xn + ... x2 xn + xn-1 xn

-an-3 = x1 x2 x3 + ... + xn-2 xn-1 xn

+

-

(-1)n a0 = x1 x2 ... xn





Beispiel:

geg.: x4 + 2x³ – 13x² – 14x + 24 = 0 G = C

x1 = 1

x2 = -2



x4 + 2x³ – 13x² – 14x + 24 = (x – x1) (x – x2) (x – x3) (x – x4)



x4 + 2x³ – 13x² – 14x + 24 = (x – x3) (x – x4)

(x – 1) (x + 2)



(x4 + 2x³ – 13x² – 14x + 24) : (x² + x – 2) = x² + x – 12 es muss 0 Rest herauskommen

-x4 – x³ + 2x²

x³ – 11x² – 14x

-x³ – x² + 2x

-12x² – 12x + 24

+ 12x² + 12x – 24

0 R



x² + x – 12 = 0

x34 = - ½ ± Ö(¼ + 12] = -½ ± Ö() = -½ ±

x3 = 3

x4 = -4

L = {1; -2; 3; -4}

9) Gleichungen höheren Grades

(³ 3) G = C




§ Reziproke Gleichungen (Symmetrische Gleichungen)



Eine Gleichung heißt reziprok, wenn zu jeder Lösung a auch Lösung dieser Gleichung ist.

Jede reziproke Gleichung muss auch symmetrisch oder antisymmetrisch sein.



a3 x³ + a2 x² + a1 x + a0 = 0



symmetrisch: a3 = a0

a2 = a1

antisymmetrisch: a3 = -a0

a2 = -a1





Beispiel:

2x³ – 3x² – 3x + 2 = 0 G = C

(2x³ + 2) – (3x² + 3x) = 0

2 (x³ + 1) – 3x (x + 1) = 0

2 (x + 1) (x² – x + 1) – 3x (x + 1) = 0

(x + 1) [2 (x² – x + 1) – 3x] = 0

(x + 1) (2x² – 5x + 2) = 0



x1 = -1 2x² – 5x + 2 = 0



L = {-1 ; ½; 2} Lösungen sind reziprok





Reziproke Gleichungen ungeraden Grades haben entweder +1 oder -1 als Lösung.





Beispiel:

2x³ – 3x² + 3x – 2 = 0 G = C

(2x³ – 2) – (3x² – 3x) = 0

2 (x³ – 1) – 3x (x – 1) = 0

2 (x – 1) (x² + x + 1) – 3x (x – 1) = 0

(x – 1) [2 (x² + x + 1) – 3x] = 0

(x – 1) (2x² – x + 2) = 0



x1 = -1 2x² – x + 2 = 0



L = {1; ¼ + 0,968i; ¼ – 0,968} G = C

L = {1} G = R
§ Substitution





Beispiel:

2x4 + 5x³ + 4x² + 5x + 2 = 0 | :x² ¹ 0 G = C

2x² + 5x + 4 + + = 0

(2x² + ) + (5x + ) + 4 = 0

2 (x² + ) + 5 (x + ) + 4 = 0

x + = u | ² ... Substitution

x² + 2 + = u²

x² + = u² – 2

2 (u² – 2) + 5u + 4 = 0

2u² + 5u = 0

u (2u + 5) = 0

u1 = 0 u2 = -

x + = 0 | ×x x + = - | ×x

x² + 1 = 0 x² + x + 1 = 0

x² = -1 | Ö

x12 = ± i

x1 = i x3 = -½

x2 = -i x4 = -2



L = {i; -i; -½ ; -2}





Beispiel:

a4 x4 + a2 x² + a0 = 0 G = C

a4 ¹ 0; a3 = 0; a1 = 0



x² = u ... Substitution

a4 u² + a2 u + a0 = 0




§ Herausheben



a3 x³ + a2 x² + a1 x = 0

a0 = 0



x (a3 x² + a2 x + a1) = 0




§ Allgemeine Gleichungen 4. Grades mit HORNER



x4 + a3 x³ + a2 x² + a1 x + a0 = 0 G = C

a4 = 1



Wenn es ganzzahlige Lösungen gibt,

so kann es sich nur um ein Zahl aus der Teilermenge Ta0 handeln.



a4 x4 + a3 x³ + a2 x² + a1 x + a0 = 0 G = C

a4 ¹ 1

Wenn es rationale Lösungen gibt, müssen sie Kombinationen aus sein.

Beispiel:

x4 – 6x³ + 14x² – 16x + 8 = 0 G = C

T8 = {±1; ±2; ±4; ±8}






1


-6


14


-16


8

2


1


-4


6


-4


0

x1 = 2



(x4 – 6x³ + 14x² – 16x + 8) : (x – 2) = x³ – 4x² + 6x – 4

-x4 + 2x³

-4x³ + 14x²

4x³ – 8x²

6x² – 16x

-6x² + 12x

-4x + 8

4x – 8

0 R



x³ – 4x² + 6x – 4 = 0

T4 = {±1; ±2; ±4}






1


-4


6


-4

2


1


-2


2


0

x2 = 2



(x³ – 4x² + 6x – 4) : (x – 2) = x² – 2x + 2

-x³ + 2x²

-2x² + 6x

2x² – 4x

2x – 4

-2x + 4

0 R



x² – 2x + 2 = 0

x34 = 1 ± Ö(1 – 2) = 1 ± Ö(-1) = 1 ± i

x3 = 1 + i

x4 = 1 – i



L = {2(2); 1 + i; 1 – i}





Beispiel:

2x4 + x³ – 9x² + 16x – 6 = 0 G = C

T = {± ½; ±1; ± 3/2; ±2; ±3; ±6}






2


1


-9


16


-6

-3


2


-5


6


-2


0



x1 = -3



(2x4 + x³ – 9x² + 16x – 6) : (x + 3) = 2x³ – 5x² + 6x – 2

-2x4 - 6x³

-5x³ - 9x²

5x³+15x²

6x² + 16x

-6x² – 18x

-2x – 6

2x + 6

0 R



2x³ – 5x² + 6x – 2 = 0

T = {± ½; ±1; ±2}






2


-5


6


-2

½


2


-4


4


0

x2 = ½



(2x³ – 5x² + 6x – 2) : (x – ½) = 2x² – 4x + 4

-2x³ + x²

-4x² + 6x

4x² – 2x

4x – 2

-4x + 2

0 R



2x² – 4x + 4 = 0 | :2

x² – 2x + 2 = 0

x34 = 1 ± Ö(1 – 2) = 1 ± Ö(-1) = 1 ± i

x3 = 1 + i

x4 = 1 – i



L = {-3; ½; 1 + i; 1 – i}




§ CARDANische Formel



Geronimo CARDANO (1501 – 1576)

(Formel entdeckt von Niccolo TARTAGLIA, veröffentlicht von CARDANO)



geg.: x³ – rx² + sx + t = 0



durch Substitution x = y – Þ y³ + py + q = 0





Lösung x1 = y1 –



dann durch (x – x1) dividieren...




§ Allgemeine Gleichungen ab 5. Grades



Jede Gleichungen höheren Grades (>4) ist allgemein NICHT lösbar (nur in Spezialfällen).



bewiesen von Emile GALOIS ~1830

10) Funktionen




§ Stetigkeit







Definition1:

Eine Funktion y = f(x) heißt an der Stelle a stetig,

wenn " e > 0 (gelegt um f(a)) $ d > 0 (gelegt um a),

sodass " x Î U(a,d) Þ |f(a) – f(x)| < e.





Definition2:

Eine Funktion y = f(x) heißt an der Stelle a stetig,

wenn der linksseitige Grenzwert gleich dem rechtsseitigen Grenzwert Funktionswert ist.



lim f(x) = lim f(x) = f(a)

x = a-0 x = a+0





Eine stetige Kurve muß eine zusammenhängende Kurve sein.

Funktionen mit Sprungstellen sind nicht stetig!





Zwischenwertsatz:

Ist f eine in einem abgeschlossenem Intervall [a; b] stetige Funktion, und gilt f(a) ¹ f(b),

so nimmt die Funktion jeden Wert zwischen f(a) und f(b) mindestens 1x an.





Nullstellensatz:

Haben f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, so besitzt f in ]a; b[ mindestens 1 Nullstelle.





Pole:

Punkte, wo die Kurve nicht definiert ist.

à nicht stetig!

z.B.: Asymptoten



§ Tangentenproblem



geg.: stetige Kurve y = f(x) à keine Sprungstellen

ges.: Anstieg der Tangente in T (x0|y0) an die Kurve f(x)





Konstruieren einer Sekantenfolge:





Grenzwert der Sekantenfolge = Tangente t in T (x0|y0)



P1 (x1|y1) annehmen Anstieg von s1 (P1; T) = = tan a1

P2 (x2|y2) annehmen Anstieg von s2 (P2; T) = = tan a2

Pn (xn|yn) Anstieg von sn (Pn; T) = = tan an



lim = kt Anstieg der Tangente im Punkt T (x0|y0)

nà¥



xn à x0 = n à ¥





Folge (xn à x0) wählen:

= <>





Beispiel:

geg.: par: y = x²

ges:: Anstieg im Punkt T (1|y) an Kurve



T in par: T (1|1)



Folge (xn à x0 = 1) = <>

lim <> = 1

nà¥



y = x²

yn = xn² = ()²





t: y = kx + d

y = 2x + d



T einsetzen: 1 = 2 + d

d = -1





t im Punkt T: y = 2x – 1









11) Differentialrechnung

= Infinitesimalrechnung





Unabhängig von einander erarbeiteten

Isaac NEWTON (1643 – 1727) (GB) mit Hilfe der Momentangeschwindigkeit

und

Gottfried Wilhelm LEIBNIZ (1646 – 1716) (D) mit Hilfe des Tangentenproblems

gleichzeitig die Differentialrechnung.



Aufgabe der Differentialrechnung:

Bestimmung des Anstiegs einer Kurve (=Anstieg der Tangente) in einem beliebigen Kurvenpunkt




§ Differenzenquotient – Differentialquotient



geg.: y = f(x) ... stetig

P (x|y) Î f

Q (x + Dx|y + Dy) Î f

ges.: t in P





Sekantenfolge

lim sn = t

nà¥





Unter der Tangente in P versteht man die Grenzlage der Sekanten, wenn Q sich P nähert.

Unter dem Anstieg der Kurve in P versteht man den Anstieg der Tangente in P.





Q Î f(x) y + Dy = f(x + Dx)

Dy = f(x + Dx) – y

Dy = f(x + Dx) – f(x)

Steigung der Sekante s1: tan b =



=

Differenzenquotient

Anstieg der Sekante





Q ® P Û Dx ® 0

lim tan b = tan a

Dxà0

[dy nach dx]

lim tan b = y‘ = f‘(x) = lim = lim =

Dxà0 Dxà0 Dxà0

Differentialquotient

1. Ableitung der Kurve

Anstieg der Tangente







Beispiel:

geg.: par.: y = x² Q Î par

y + Dy = (x + Dx)²

y + Dy = x² + 2x Dx + Dx²

Dy = x² – y + 2x Dx + Dx² x² – y = 0

Dy = Dx (2x + Dx)



Steigung einer Sekante: ks1 = = = 2x + Dx

Steigung der Tangente: kt = lim = lim (2x + Dx) = 2x

Dxà0 Dxà0



bei (1|1) kt = 2

bei x = -1,5 (-1,25|2,25) kt = -3









mit Hilfe der Differentialrechung:

geg.: f: y = x²

ges.: Anstieg der Kurve



f‘: y‘ = 2x

[Beweis siehe Nr12, Ableitung einer Potenz, S36]



12) Ableitung einfacher Funktionen




§ Konstante Funktionen



y = c

y‘ = 0



y´ = lim = lim = lim = 0

Dxà0 Dxà0 Dxà0





§ Ableitung einer Potenz



y = xn n Î R

y‘ = n × xn-1



Eine Potenz wird differenziert,

indem man den Potenzexponenten mit der um einen Grad verringerten Potenz multipliziert.





Beweis:

y = f(x) = xn n Î R



y‘ = lim = =

Dxà0



x + Dx = a

x = b

Dx = a – b




a² – b² = (a – b) (a + b)

a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

a4 – b4 = (a – b) (a + b) (a² + b²) =

= (a – b) (a³ + a²b + ab² + b³)

a5 – b5 = (a – b) (a4 + a³b + a²b² + ab³ + b4)

an – bn = (a – b) (an-1 + an-2 b + an-3 b² + ... +

abn-2 + bn-1)



in Klammer n Glieder

= lim =

Dxà0

= lim [(x + Dx)n-1 + (x + Dx)n-2 x + ... + xn-1] =

Dxà0



= xn-1 + xn-2 x + xn-3 x² + ... + xn-1] =

= xn-1 + xn-1 + xn-1 + ... + xn-1 = n × xn-1






n Glieder



Grenzübergang








§ Konstanter Faktor



geg.: y = a × f(x) = g(x) a Î R ... konstanter Faktor



y‘ = lim = lim = a f‘(x)

Dxà0 Dxà0



y‘ = a × f‘(x)



Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten.




§ Ableitung einer Summe bzw Differenz



Addition:

y = u(x) + v(x) = f(x)

y‘ = u‘(x) + v‘(x)

Voraussetzungen:

$ u‘(x) = lim

Dxà0

$ v‘(x) = lim

Dxà0

Beweis:

y' = lim = lim + =

Dxà0 Dxà0

= lim + lim = u‘(x) + v‘(x)

Dxà0 Dxà0





Subtraktion:

y = u(x) – v(x) = f(x)

y‘ = u‘(x) – v‘(x)







Die Ableitung einer Summe (Differenz) = Summe (Differenz) der Ableitungen




§ Produktregel



y = u(x) × v(x) = f(x)

y‘ = u‘(x) × v(x) + u(x) × v‘(x)

Voraussetzungen:

$ u‘(x) = lim

Dxà0

$ v‘(x) = lim

Dxà0

Beweis:

y' = lim = lim =

Dxà0 Dxà0



Trick: Addieren und Subtrahieren des Ausdrucks u(x) × v(x + Dx) im Nenner



= lim =

Dxà0

= lim v(x) + u(x) =

Dxà0

= lim v(x) + lim u(x) =

Dxà0 Dxà0



= v(x) × u‘(x) + u(x) × v‘(x) = u‘(x) × v(x) + u(x) × v‘(x)







(f1 f2 f3)‘ = f1‘ f2 f3 + f1 f2‘ f3 + f1 f2 f3‘


§ Quotientenregel



y = = f(x)

Voraussetzungen:

$ u‘(x) = lim

Dxà0

$ v‘(x) = lim

Dxà0

Beweis:

= f(x) | × v(x)

u(x) = f(x) × v(x)

u‘(x) = f‘(x) × v(x) + f(x) × v‘(x) | – f(x) × v‘(x)

u‘(x) – f(x) × v‘(x) = f‘(x) × v(x) | : v(x)











Spezialfälle:

y = y‘ = –

y = y‘ = - y‘‘ = 2/x³ y‘‘‘ = - 6/x4 y(IV) = 24/x5




§ Kettenregel



y = h(x) = f(g(x)) = f(z) wobei h = f ° g [Verknüpfung]



z = g(x) ... innere Funktion

y = f(z) ... äußere Funktion




zusammengesetzte Funktion



y‘ = f‘(z) × g‘(x)





Ableitung der Kettenregel:



geg.: y = h(x) = f(g(x)) = f(z)

Voraussetzungen:

$ f‘(z) = lim

Dzà0

$ g‘(x) = lim

Dxà0

Beweis:

g(x) = z

g(x + Dx) = z + Dz

Dz = g(x + Dx) – z

Dz = g(x + Dx) – g(x)

Dx®0 Û Dz®0



y‘ = lim = lim =

Dxà0 Dxà0

= lim × = lim × =

Dxà0 erweitern Dxà0 vertauschen der Nenner

Dzà0

= lim × = lim × lim =

Dxà0 (Dxà0) Dxà0

Dzà0 Dzà0 (Dzà0)



äußere Funktion × innere Funktion



= f‘(z) × g‘(x)





Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion ist gleich

dem Produkt aus der Ableitung der äußeren Funktion und der Ableitung der inneren Funktion.





Beweis der Ableitung einer negativen Potenz (mit Hilfe der Kettenregel):

y = x - m = m Î R

y‘ = m × x - m - 1









Beispiel:

y = (x² + 3x + 1)³

y‘ = 3 (x² + 3x + 1)² (2x + 3)

f‘(z) g‘(x)





§ Höhere Ableitungen einer Funktion



Ist die Ableitung f‘ einer differenzierbaren Funktion f wieder differenzierbar,

so bezeichnet man (f‘)‘ = f‘‘ als 2. Ableitung von f.



(f)‘ = f‘

(f‘)‘ = f‘‘

(f‘‘)‘ = f‘‘‘

(f‘‘‘)‘ = f(IV)



allgemein:



(f(n-1))‘ = fn

§ Implizites Differenzieren



y nach Kettenregel !



Beispiel 250d, Buch 7.Klasse:



2x + Öy = 3

Öy = 3 – 2x

y = 9 – 12x + 4x² | nach x differenzieren!

y' = 8x – 12 explizit



2x + Öy = 3

2 + ½y-½ × y‘ = 0 | × 2

4 + × y‘ = 0

y‘ = -4Öy implizit



Probe:



y‘ = -4Öy

y‘ = -4(3 – 2x) siehe oben

y‘ = 8x – 12





warum?

y² + y³ = x | '

2y×y‘ + 3y²×y‘ = 1

y‘ (2y + 3y²) = 1

y‘ = nur implizit differenzierbar!



13) Bilde die 1. Ableitung von





geg.:




14) Sätze der Differntialrechnung





Stetigkeit und Zwischenwertsatz:

[siehe Nr10, Stetigkeit, S31]




§ Mittelwertsatz der Differentialrechnung



Ist f in [a;b] stetig und im offenen Intervall ]a;b[ differnziebar,

so besitzt f in ]a;b[ mindesten 1 Stelle mit x mit f‘(x) =

[Xi]






§ Satz von ROLLE



Ist f in [a;b] stetig und im offenen Intervall ]a;b[ differenzierbar,

und gilt f(a) = f(b),

so besitzt f in ]a;b[ mindestens 1 Stelle x mit f‘(g) = 0



Þ es gibt in ]a;b[ mindestens 1 zur x-Achse || Tangente!





Satz von ROLLE ist Spezialfall des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung



15) Kurvenduiskussion





...Ermittlung von Eigenschaften einer Funktion, bevor man die Kurve zeichnet

geg.: y = f(x)

1) Definitionsmenge, Unstetigkeitsfälle (Lücken, Knicke, Sprünge) Df

2) Nullstellen, Fixwerte N, F

3) Asymptoten a

4) Extremwerte (Hochpunkte, Tiefpunkte) E (H, T)

5) Wendepunkte W

6) Wendetangenten tW

7) Monotonie, Krümmung

8) Symmetrieeigenschaften

9) Wertetabelle, Graph





ad 3)

§ Grenzwerte und Asymptoten



Grenzwerte:



Beispiele:

lim Ö(x² + x + 3) = Ö[lim (x² + x + 3)] = Ö9 = 3

xà2 xà2 à Zahl





lim (a3x³ + a2x² + a1x + a0) = lim a3x³

xॠxॠ|

à¥




=


+ ¥ , wenn a3 > 0

– ¥ , wenn a3 < 0





lim (-2x² + 25x) = lim (-2x²) (1 – ) = – ¥

xॠxà¥





lim = Zahl Þ Asymptote

lim = ± ¥ Þ Polynom hat KEINE Asymptote



Asymptoten:



1) || y-Achse






Kurve nähert sich a

x à Zahl







x = a heißt Asymptote von f,

wenn lim f(x) = ± ¥

xàa





2) y-Achse






x à ¥







a: y = kx + d heißt Asymptote von f,
B

wenn lim Pa = 0

xà¥



bzw



lim |f(x) – a(x)| = 0

xà¥





Berechnung von Asymptoten:



Beispiel:

f: y = D = R \ {± 2} ... rationale Funktion



1) || y-A

D Þ a1: x = 2

a2: x = -2

2) y-A



lim =

xà¥






= 1







a3: y = 1




Beispiel:

f: y = D = R \ {-1}



1) || y-A

D Þ a1: x = -1

2) y-A



lim =

xà¥

















lim =

xà¥






Þ Polynomdivision:

(x² + 0x + 1) : (x + 1) = x – 1

x² + x

-x + 1

-x – 1

2 R



lim [(x – 1) × ] = lim (x – 1) = x – 1

xॠxà¥





a2: y = x – 1








ad 4)

§ Bestimmung der Extremwerte



H Hochpunkt

T Tiefpunkt




} E Extremwerte


t durch H

t durch T




|| x-Achse (y‘ = 0, y‘‘ ¹ 0)



y' = 0 setzen Þ E







links von T: k<0

à f‘ unterhalb

x-Achse links


rechts von T: k>0

à f‘ oberhalb

x-Achse rechts


links von H: k>0

à f‘ oberhalb

x-Achse links


Rechts von H: k<0

à f‘ unterhalb

x-Achse rechts



T f‘(a) = 0

f‘ ist in U(a) steigend



à f‘‘(a) > 0




H f‘(a) = 0

f‘ ist in U(a) fallend



à f‘‘(a) < 0



E in f‘‘ > 0 Þ T




E in f‘‘ < 0 Þ H




Lokale und absolute Extremwerte:



Lokaler Extremwert: beliebiger Extremwert T1

Absoluter Extremwert: am tiefsten/höchsten gelegener Extremwert T2

[Skizze siehe Nr15, S42]

§ Geometrische Bedeutung der 2. Ableitung:

Krümmung der Kurve





f heißt in U(a) positiv gekrümmt,

wenn die Tangente t unterhalb der Kurve liegt.



y‘‘(a) > 0




f heißt in U(a) negativ gekrümmt,

wenn die Tangente t oberhalb der Kurve liegt.



y‘‘(a) < 0





ad 5), 6)

§ Wendepunkte und Wendetangenten



W(a|f(a)) heißt Wendepunkt, wenn der Graph von f im Punkt W sein Krümmungsverhalten ändert.

Die Wendetangente durchsetzt die Kurve.



f‘‘(a) = 0

f‘‘‘(a) ¹ 0





Spezialfall:

y' = 0 und y‘‘ = 0 Þ S Sattelpunkt

[Skizze siehe Nr15, S42]





y'‘ = 0 setzen Þ W



Wendetangente tW: y = kx +d

ktW = f‘(xW)

d ... W in tW einsetzen





§ Bedeutung mehrfacher Werte



N(2) = E

N(3) = E(2) = W



Beim Differenzieren wird die Vielfachheit eines Punktes um 1 reduziert.



§ Monotonie, Krümmung



Monotonie:



wichtig: y‘ H T S a || y-A






x

xH


xH

xS


xS

a || y-A


a

xT


xH
y'


> 0


0


< 0


0


< 0


/


< 0


0


> 0



beliebigen Wert im angegebenen Intervall einsetzen:



y‘ > 0 Þ streng monoton steigend/wachsend str.m.w.

y‘ < 0 Þ streng monoton fallend str.m.f.





H und T wechseln einander ab

wachsend und fallend müssen einander nicht abwechseln!

(S, a || y-A)





Krümmung:



wichtig: y‘‘ W S






x

xW


xW

xS


xS
y'‘





0





0






beliebigen Wert im angegebenen Intervall einsetzen:



y‘‘ < 0 Þ negativ gekrümmt; Tangente verläuft oberhalb von f

y‘‘ = 0 Þ Tangente durchsetzt f (W, tW)

y‘‘ > 0 Þ positiv gekrümmt; Tangente verläuft unterhalb von f





§ Beispiel 423, Buch 7.Klasse



Der Graph der Funktion f: RàR, y = ax³ + bx² + cx + d hat in 0(0|0) die Steigung 3 und in T(6|0) den Tiefpunkt. Der Graph der Funktion g: RàR, y = px² + qx + r hat seinen Scheitelpunkt Sg an der Stelle 3 und schneidet den Graphen von f in 0 rechtwinkelig. Diskutiere beide Funktionen und fertige eine Zeichnung an!



f: y = ax³ + bx² + cx + d

y‘ = 3ax² + 2bx + c



f: y(0) = 0 0 = d

y(6) = 0 0 = 216a + 36b + 6c + d

y‘(0) = 3 3 = c

y‘(6) = 0 0 = 108a + 12b + c


Þ a = b = -1 c = 3 d = 0



f: y = x³ – x² + 3x



g: y = px² + qx + r

y‘ = 2px + q



g: y(0) = 0 0 = r

y‘(3) = 0 0 = 6p + q

y‘(0) = - - = q


Þ p = q = - r = 0



g: y = x² – x



Kurvendiskussion:



f: y = x³ – x² + 3x

y‘ = ¼x² – 2x + 3

y‘‘ = ½x – 2



1) D Df = R

2) N, F

x³ – x² + 3x = 0

x(x² – x + 3) = 0

x1 = 0 N1(0|0)

x23 = 6 N2(6|0)(2)



x³ – x² + 3x = x

x(x² – x + 2) = 0

x1 = 0 F1(0|0) = N1

x2 = 6 + Ö12 F2(6+Ö12|6+Ö12)

x3 = 6 – Ö12 F3(6–Ö12|6–Ö12)

3) a weil Polynom Þ $ a

4) E

¼x² – 2x + 3 = 0

x1 = 6

x2 = 2

y‘‘(6) = 1 > 0 Tf(6|0)

y‘‘(2) = -1 < 0 Hf(2|)

5) W

½x – 2 = 0

x = 4 Wf(4|)

6) tW: y = kx + d

y‘(4) = -1

y = -x + d

W: = -4 + d

d =

tW: y = -x +

7) Monotonie


g: y = x² – x

y‘ = x –

y‘‘ =



1) D Dg = R

2) N, F

x² – x = 0

x(x – ) = 0

x1 = 0 N1(0|0)

x2 = 6 N2(6|0)



x² – x = x

x(x – ) = 0

x1 = 0 F1(0|0)

x2 = 24 F2(24|24)

3) a weil Polynom Þ $ a

4) E

x – = 0

x = 3

y‘‘(3) = > 0 Tg(3|-½)

... Scheitel

5) W

= 0 f.A. Þ $ W

6) tW kein W Þ $ tW

















7) Monotonie







H





T

















T










x<2


x=2


2

x=6


x>6











x<3


x=3


x>3




f‘


> 0


0


< 0


0


> 0








g‘


< 0


0


> 0







s.m.w.





s.m.f.





s.m.w.











s.m.f.





s.m.w.






Krümmung




Krümmung







W






















x<4


x=4


x>4








x






f‘‘


< 0


0


> 0








g‘‘


> 0







neg. gekr.





pos. gekr.











pos. gekr.







t oberhalb





t unterhalb











t unterhalb






8) Symmetrieeigenschaften






8) Symmetrieeigenschaften

Symmetrieachse || y-A durch Scheitel

x = 3






9) Graph



16) Diskuttiere





geg.: f: y =



y = x³/[(x-1)²]

y‘ =

y‘‘ =



1) D

(x – 1)² = 0 | Ö

x – 1 = 0

x = 1

Df = R \ {1}

2) N, F

= 0 | ×(x-1)²

x³ = 0

x = 0(3)

N(0|0)(3) à E(2) à W

= x | :x ¹ 0 à x1 = 0 F1(0|0) = N

x² = (x-1)²

x² = x² – 2x + 1

2x = 1

x2 = ½ F2(½|½)

3) a

|| y-A: a1: x = 1

y-A: lim

xà¥

Polinomdivision: x³ : (x² – 2x +1) = x + 2

x³-2x² + x

2x² – x

2x²–4x+2

3x–2 R

lim = lim [(x + 2) ] = lim (2 + x) a2: y = 2 + x

xॠxॠxà¥

4) E

y‘ = 0

= 0 | ×(x-1)³

x³ – 3x² = 0

x²(x – 3) = 0

x12 = 0(2)

x3 = 3

y‘‘(0) = 0 S(0|0)(2) = N = F1

y‘‘(3) = 9/8 > 0 T(3|27/4) = (3|6¾)

5) W

y‘‘ = 0

= 0 | ×(x-1)4

6x = 0

x = 0 W(0|0) = S = N = F1

6) tW

tW: y = kx + d

y‘(0) = 0

y = d

W: y = 0

tW: y = 0

7) Monotonie







S





a





T







x < 0


x = 0


0 < x < 1


x = 1


1 < x < 3


x = 3


x > 3

f‘


> 0


0


> 0


/


< 0


0


> 0




s. m. w.





s. m. w.





s. m. f.





s. m. w.



Krümmung







S





a







x < 0


x = 0


0 < x < 1


x = 1


x > 1

f‘‘


< 0


0


> 0


/


> 0




neg. gekr.





pos. gekr.





pos. gekr.




t oberhalb





t unterhalb





t unterhalb



8) Symmetrieeigenschaften

9) Graph



17) Extremwertaufgaben



= OPTIMIERUNGSAUFGABEN

= MAXIMA – MINIMA BEISPIELE





Einem gleichschenkeligen Dreieck mit der Grundlinie a und der Höhe h soll ein Rechteck, welches den größten Flächeninhalt besitzt, eingeschrieben werden.



geg.: (a,h)

ges.: (x,y) mit maxA










D:



Dx = [0;a]

Dy = [0;h]





Hauptbedingung HB



A = x × y



A = × y

f(y) = (h – y) × y

f(y) = (hy – y²)

f‘(y) = (h – 2y)


Nebenbedingung NB



: h = : (h – y)

× (h – y) = h × | ×2

a(h – y) = x × h

x =



(h – 2y) = 0 | ×

h – 2y = 0

2y = h



y =

x =





A =



f‘‘(y) = × (-2)

f‘‘() = × (-2) < 0 Þ Maximum





Das gesuchte Rechteck hat die Länge x = und die Breite y = mit der Maximalfläche A = .

18) Extremwertaufgaben





Welches von allen Rechtecken mit gegebener Diagonale d hat die größte Fläche.



geg.: d

ges.: mit maxA










D:



Dx = [0;]

Dy = [0; ]





HB



A = x × y

A² = x² × y²



A = x² (d² – x²)²

f(x) = d²x² – x4

f‘(x) = 2d²x – 4x³


NB



x² + y² = d²

y² = d² – x²





2d²x – 4x³ = 0 | :2

d²x – 2x³ = 0

x(d² – 2x²) = 0



x1 = 0 (Randextremum) d² – 2x² = 0

2x² = d²

x² =

x2 =

y1 = d y2 = d² –

y2 =





A = × = ()³



f‘‘(x) = 2d² – 12x²

f‘‘() = 2d² – 12 = 2d² – 6d² = -4d² < 0 Þ Ma








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