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1093 Quadartische Funktionen Mathematik 10 1 1859
Kurzbeschreibung
Kurzvortrag über quadratische Funktionen
Inhalt des Referats
Quadratische Funktionen -sind Funktionen, die sich mit Gleichungen der Form f(x)= ax² + bx + c beschreiben lassen (a, b, c є R; a ≠ 0) Gliederung: 1. f(x)= x² 2. f(x)= (x + d)² + e 3. f(x)= a ∙ x² 4. Scheitelpunktform und Normalform quadratischer Funktionen 5. Nullstellenberechnung für Funktionen der Form f(x)= ax² + bx + c Zu 1. - einfachste quadratische Funktion ist f(x)= x² - man erhält sie, wenn a = 1 b = 0 c = 0 - um sie zeichnerisch darstellen zu können, legt man eine Wertetabelle an ►damit kann man die Koordinaten bestimmen x -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 f(x) 6,25 4 2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4 6,25 (Parabel siehe Anlage 1) Eigenschaften: Definitionsbereich x є R Wertebereich y є R (weil Quadrat jeder reellen Zahl immer positiv ist ►nie negative Zahlen im Wertebereich) Scheitelpunkt S (0/0), tiefster Punkt Monotonie (Verlauf) für alle x < 0 monoton fallend für alle x > 0 monoton steigend Symmetrie achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse Nullstellen 1; x = 0 Zu 2. - heißt Scheitelpunktform der quadratischen Funktionsgleichung ► man kann Scheitelpunkt-Koordinaten direkt ablesen S (-d/e ) d entspricht der x-Koordinate - um diese Koordinate aus der Funktionsgleichung zu bestimmen, muss d das entgegengesetzte Vorzeichen bekommen e entspricht der y-Koordinate Bsp.: f(x)= ( x – 3 )² - 2 S ( 3/-2 ) Eigenschaften: Definitionsbereich x є R Wertebereich y є R Scheitelpunktlage Tiefster Punkt Scheitelpunktkoordinaten S (-d/e ) Nullstellen e > 0 ► keine Nullstellen e = 0 ► 1 Nullstelle e > 0 ► 2 Nullstellen Symmetrie Achsensymmetrisch bzgl. einer Parallelen zur y-Achse durch den Scheitelpunkt Monotonie (Verlauf) für x < -d monoton fallend für x > -d monoton steigend - e = 0 ► f(x)= (x + d )² - Parabel verschiebt sich nur auf der x-Achse - d = 0 ► f(x)= x² + e - Parabel verschiebt sich nur auf der y-Achse Zu 3. - jetzt beschreibe ich Funktion der Form f(x)= a ∙ x² ► a ≠ 0 - man erhält sie, wenn a größer oder kleiner als 0 ist und b und c = 0 sind - an a kann man erkennen, ob Parabel nach oben oder unten geöffnet ist und ob sie gestaucht oder streckt ist: a ist negativ Parabel ist nach unten geöffnet a ist positiv Parabel ist nach oben geöffnet 0 < a < 1 ► in y-Richtung gestaucht (breiter als Normalparabel) a<1 / a>1 ► gestreckt (schmaler als Normalparabel) Zu 4. - Scheitelpunktform ist f(x)= (x + d)² + e - Normalform ist f(x)= ax² + bx + c - will euch jetzt erklären, wie man die Scheitelpunktform in die Normalform überführt und die Normalform in die Scheitelpunktform Scheitelpunktform in Normalform: Bsp.: f(x)= 2 ∙ (x - 3)² - 2 f(x)= 2 ∙ (x - 3)² - 2 binomische Formel f(x)= 2 ∙ (x – 6x + 9) – 2 Klammer auflösen f(x)= 2x² - 12x + 18 – 2 zusammenfassen f(x)= 2x² - 12x + 16 ► Normalform Normalform in Scheitelpunktform Bsp.: f(x)= -2x² - 8x +6 f(x)= -2x² - 8x +6 ausklammern > : (-2) f(x)= -2 [x² + 4x – 3] Quadratische Ergänzung innerhalb der Klammern f(x)= -2 [x² + 4x – 3] = 8x + 2)² - 7 1. √x² = x 2. 4x : 2x = 2 3. 2² = 4 4. -3 -4 = -7 f(x)= -2 [(x + 2)² - 7] Klammern auflösen f(x)= -2 (x + 2)² +14 ► Scheitelpunktform Zu 5. - möchte jetzt die Nullstellenberechnung für Funktionen der Form f(x)= ax² + bx + c - f(x) mit 0 gleichsetzen ► 0 = ax² + bx + c /:a 0 = x² + b/a ∙ x + c/a > Normalform Lösungsformel anwenden x1/2 = -p/2 +/- √ (p/2)² - q p = b/a q = c/a Bsp.: f(x)= 2x² - 12x + 16 0 = 2x² - 12x + 16 /:2 0 = x² - 6x + 8 Lösungsformel anwenden p = -6 q = 8 x1/2= 3 +/- √ (9 -8) x1/2= 3 +/- √ 1 x1/2= 3 +/- 1 x 1 = 3 +1 = 4 x 2 = 3 – 1 = 2
Quellenangaben des Verfassers