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2482 Quadratische Gleichungen Mathematik 12 2 5616
Kurzbeschreibung
Inhalt des Referats
Mathematik
„Quadratische Gleichungen“

Inhaltsverzeichnis

1. Was ist eine quadratische Gleichung? (Definition)

2. Welche Arten unterscheidet man in der Mathematik? ( Unterteilung der quadratischen Gleichungen) 2

3. Welche verschiedenen Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen gibt es? 3


4. Was versteht man in der Mathematik unter dem Begriff Diskriminante?
( Definition und Fallunterscheidung) 4


1. Was ist eine quadratische Gleichung?
Eine quadratische Formel ist eine Gleichung der Form:

a, b, c, sind Zahlen und die x die Unbekannte.
Geometrische betrachtet beschreibt die quadratische Gleichung die x- Koordinaten der Schnittpunkte einer Parabel mit der x- Achse in der x-y- Ebene.



2. Welche Arten unterscheidet man in der Mathematik?
Reinquadratische Gleichungen

x² = 25

Die Lösung erhält man durch Probieren: x = 5 oder x = -5


Gleiche Lösung mit der Äquivalenzumformung:


Allgemeine Form
In der Regel hat eine quadratische Gleichung die oben genannte Form:
ax2+bx+c=0


Normalform

Ist der Koeffizient a gleich 1 dann nennt man dies die "Normalform" einer quadratischen Gleichung:

x2+px+q=0

Es ist üblich die beiden anderen Koeffizienten b bzw. c in diesem
Fall mit p bzw. q zu bezeichnen.
Allgemeine Form und Normalform können ineinander umgewandelt werden.

Die p-q Formel

Mit der p-q-Formel kann man jede quadratische Gleichung
lösen, die in Normalform vorliegt.

3. Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen

Variante 1 (Radizieren)

2x² - 8 = 0 ç + 8
2x² = 8 ç : 2
x² = 4 ç Ö
x = 2

Variante 2 (quadratische Ergänzung)

Die quadratische Ergänzung ist ein Verfahren zum Umformen von Termen einer Variable mit Quadrat in ein Binom.

y = x² + 6x + 10
y = x² + 6x + 10 ç+ 3²
y+3² = x² +6x + 3² + 10 ç - 3²
y = (x + 3)² +1

Was versteht man unter dem Begriff Diskriminante?

Die Diskriminante ist ein Rechenausdruck, der Aussagen über Zahl und Art der Lösungen einer algebraischen Gleichung ermöglicht.


Diskriminante einer quadratischen Gleichung

ax2 + bx + c = 0 wird gerechnet mit folgender Formel:



§ Für b2 − 4ac > 0 hat die Quadratwurzel in der Lösungsformel einen positiven Wert, so dass man zwei verschiedene reelle Lösungen x1 und x2 erhält.

§ Für b2 − 4ac = 0 hat die Quadratwurzel den Wert 0. Da es keinen Unterschied macht, ob man 0 addiert oder subtrahiert, hat man trotz des Plus-Minus-Zeichens nur eine reelle Lösung (der Vielfachheit 2).

§ Für b2 − 4ac < 0 ist die Quadratwurzel der Lösungsformel im Körper der reellen Zahlen ( ) nicht definiert. Es existiert also keine reelle Lösung. Anders sieht die Situation aus, wenn man den Körper der komplexen Zahlen zugrundelegt. In diesem Fall gibt es zwei (nicht-reelle) Lösungen, die zueinander konjugiert komplex sind.


Der Rechenausdruck D: = b2 − 4ac der beschriebenen Fallunterscheidung, also der Radikand in der Formel, heißt die Diskriminante der quadratischen Gleichung:
ax2 + bx + c = 0.

Quellenangaben des Verfassers