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2482 Quadratische Gleichungen Mathematik 12 2 5616
Kurzbeschreibung
Inhalt des Referats
Mathematik „Quadratische Gleichungen“ Inhaltsverzeichnis 1. Was ist eine quadratische Gleichung? (Definition) 2. Welche Arten unterscheidet man in der Mathematik? ( Unterteilung der quadratischen Gleichungen) 2 3. Welche verschiedenen Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen gibt es? 3 4. Was versteht man in der Mathematik unter dem Begriff Diskriminante? ( Definition und Fallunterscheidung) 4 1. Was ist eine quadratische Gleichung? Eine quadratische Formel ist eine Gleichung der Form: a, b, c, sind Zahlen und die x die Unbekannte. Geometrische betrachtet beschreibt die quadratische Gleichung die x- Koordinaten der Schnittpunkte einer Parabel mit der x- Achse in der x-y- Ebene. 2. Welche Arten unterscheidet man in der Mathematik? Reinquadratische Gleichungen x² = 25 Die Lösung erhält man durch Probieren: x = 5 oder x = -5 Gleiche Lösung mit der Äquivalenzumformung: Allgemeine Form In der Regel hat eine quadratische Gleichung die oben genannte Form: ax2+bx+c=0 Normalform Ist der Koeffizient a gleich 1 dann nennt man dies die "Normalform" einer quadratischen Gleichung: x2+px+q=0 Es ist üblich die beiden anderen Koeffizienten b bzw. c in diesem Fall mit p bzw. q zu bezeichnen. Allgemeine Form und Normalform können ineinander umgewandelt werden. Die p-q Formel Mit der p-q-Formel kann man jede quadratische Gleichung lösen, die in Normalform vorliegt. 3. Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen Variante 1 (Radizieren) 2x² - 8 = 0 ç + 8 2x² = 8 ç : 2 x² = 4 ç Ö x = 2 Variante 2 (quadratische Ergänzung) Die quadratische Ergänzung ist ein Verfahren zum Umformen von Termen einer Variable mit Quadrat in ein Binom. y = x² + 6x + 10 y = x² + 6x + 10 ç+ 3² y+3² = x² +6x + 3² + 10 ç - 3² y = (x + 3)² +1 Was versteht man unter dem Begriff Diskriminante? Die Diskriminante ist ein Rechenausdruck, der Aussagen über Zahl und Art der Lösungen einer algebraischen Gleichung ermöglicht. Diskriminante einer quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0 wird gerechnet mit folgender Formel: § Für b2 − 4ac > 0 hat die Quadratwurzel in der Lösungsformel einen positiven Wert, so dass man zwei verschiedene reelle Lösungen x1 und x2 erhält. § Für b2 − 4ac = 0 hat die Quadratwurzel den Wert 0. Da es keinen Unterschied macht, ob man 0 addiert oder subtrahiert, hat man trotz des Plus-Minus-Zeichens nur eine reelle Lösung (der Vielfachheit 2). § Für b2 − 4ac < 0 ist die Quadratwurzel der Lösungsformel im Körper der reellen Zahlen ( ) nicht definiert. Es existiert also keine reelle Lösung. Anders sieht die Situation aus, wenn man den Körper der komplexen Zahlen zugrundelegt. In diesem Fall gibt es zwei (nicht-reelle) Lösungen, die zueinander konjugiert komplex sind. Der Rechenausdruck D: = b2 − 4ac der beschriebenen Fallunterscheidung, also der Radikand in der Formel, heißt die Diskriminante der quadratischen Gleichung: ax2 + bx + c = 0.
Quellenangaben des Verfassers