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5607 Matura Mathematik Mathematik 11 2 2947
Kurzbeschreibung
Ausführlicher Arbeit mit Erklärungen, Definitionen Formeln und Ableitungen, Ellipse, Hyperbel, Parabel, Komplexe Zahlen, Komplexe Zahlen als nichtgeordneter Körper, Polynome, Gleichungen höheren Grades, Funktionen, Differentialrechnung, Ableitung einfache
Inhalt des Referats
DIE GANZE WAHRHEIT 1) Ellipse 1. Hauptlage: 2. Hauptlage: A, B ... Hauptscheitel B AB = 2a ... Hauptachse C, D ... Nebenscheitel B CD = 2b ... Nebenachse F1, F2 ... Brennpunkte B F1F2 = 2e B MF1 = MF2 = e ... Brennweite,lineare Exzentrizität l1, l2 ... Leitstrecken M (0|0) ... Mittelpunkt a² = b² + e² § Definition Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu 2 festen Punkten, den Brennpunkten, konstant 2a ist. B B ell = {X | XF1 + XF2 = 2a} = {X | l1 + l2 = 2a} § Spezialfälle a) a = b => e = 0; b = a = r; F1 = F2 = M Kreis b) e = b Gleichseitige Ellipse c) e konst (selbe Brennpunkte) Konfokale Ellipse je größer b, desto größer a § Konstruktion - Punkte A, B, C, D, M, F1 und F2 einzeichnen - Rechteck MBEC zeichnen - die Normale auf die Gerade (B,C) durch E zeichnen à MB und MC Mittelpunkte der Schmiegekreise, durch Spiegelung MA und MD einzeichnen - neben Ellipse Strecke 2a zeichnen - mit Zirkel von F1 Strecke in kritischen Bereich zwischen Schmiegekreisen abschlagen und bei 2a abtragen - (2a – abgetragener Strecke) von F2 abschlagen à X1, Spiegeln - sooft wiederholen, bis Ellipse zeichenbar § Gleichungen Gleichung einer Ellipse in 1. Hauptlage: Gleichung einer Ellipse in 2. Hauptlage: b²x² + a²y² = a²b² a²x² + b²y² = a²b² § Ableitung der Gleichung einer Ellipse in 1. Hauptlage X (x|y) F1 (-e|0) F2 (e|0) B XF1 = Ö[(-e – x)² + (-y)²] = Ö (e² + 2ex + x² + y²) B XF2 = Ö [(e – x)² + (-y)²] = Ö (e² – 2ex + x² + y²) B B XF1 + XF2 = 2a Ö (e² + 2ex + x² + y²) + Ö (e² – 2ex + x² + y²) = 2a | - Ö Ö (e² + 2ex + x² + y²) = 2a - Ö (e² – 2ex + x² + y²) | ² e² + 2ex + x² + y² = 4a² – 4aÖ (e² – 2ex + x² + y²) + e² – 2ex + x² + y² 4ex – 4a² = -4aÖ (e² – 2ex + x² + y²) | :4 ex – a² = -aÖ (e² – 2ex + x² + y²) | ² e²x² – 2a²ex + a4 = a²e² - 2a²ex + a²x² + a²y² | – e²x² – a²e² a4 – a²e² = a²x² – e²x² + a²y² a²(a² – e²) = x²(a² – e²) + a²y² a² – e² = b² b²x² + a²y² = a²b² | :a²b² § Berührbedingung geg.: g: y = kx + d Ellipse in 1. Hauptlage: a²k² + b² = d² 2. Hauptlage: b²k² + a² = d² Kreis in Ursprungslage: r²(1 + k²) = d² a² = b² = r² allgemeiner Lage r²(1 + k²) = (uk – v + d)² § Ableitung der Berührbedingung einer Ellipse in 1. Hauptlage geg.: ell: b²x² + a²y² = a²b² g: y = kx + d g Ç ell: b²x² + a²(kx + d)² = a²b² b²x² + a²k²x² + 2a²dkx + a²d² = a²b² x²(b² + a²k²) + x(2a²dk) + a²d² – a²b² = 0 (b² + a²k²)x² + (2a²dk)x + (a²d² – a²b²) = 0 | :(b² + a²k²) D = a²k² + b² – d² D > 0 2 Lösungen Sekante D = 0 1 Lösung Tangente D < 0 0 Lösungen Passante § Tangentengleichung und Polarengleichung geg.: Ellipse T (x1|y1) Î ell à Tangente t durch T P (x1|y1) Ï ell à Polare p Die Polare p geht durch die Schnittpunkte T1 und T2 (Tangenten durch P Ç Ellipse) Ellipse in 1. Hauptlage: Ellipse in 2. Hauptlage: b²xx1 + a²yy1 = a²b² a²xx1 + b²yy1 = a²b² 2) Hyperbel § Skizze 1. Hauptlage: 2. Hauptlage: A, B ... Hauptscheitel B AB = 2a ... Hauptachse C, D ... Nebenscheitel B CD = 2b ... Nebenachse F1, F2 ... Brennpunkte B F1F2 = 2e B MF1 = MF2 = e ... Brennweite,lineare Exzentrizität l1, l2 ... Leitstrecken M (0|0) ... Mittelpunkt u, v ... Asymptoten der Hyperbel MA, MB ... Mittelpunkte der Schmiegekreise a² + b² = e² u, v: y = ±x § Definition Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, für die die Differenz der Abstände zu 2 festen Punkten, den Brennpunkten, konstant 2a ist. B B hyp = {X | XF1 – XF2 = 2a} = {X | |l1 – l2| = 2a} § Spezialfälle a) a = b => e = aÖ2 b) e konst (selbe Brennpunkte) Konfokale Hyperbeln § Konstruktion - Punkte A, B, C, D, M, F1 und F2 einzeichnen - Rechteck MBEC zeichnen - Asymptoten einzeichnen - die Normale auf die Asymtote (M,E) durch E zeichnen à MB Mittelpunkte des Schmiegekreises des rechten Hyperbelastes, durch Spiegelung MA einzeichnen - neben Hyperbel Strecke 2a zeichnen - mit Zirkel von F1 Strecke bis außerhalb des Schmiegekreises abschlagen und bei 2a abtragen - (abgetragener Strecke – 2a) von F2 abschlagen à X1, Spiegeln - sooft wiederholen, bis Hyperbel zeichenbar § Gleichungen Gleichung einer Hyperbel in 1. Hauptlage: Gleichung einer Hyperbel in 2. Hauptlage: B²x² - a²y² = a²b² -a²x² + b²y² = a²b² § Ableitung der Gleichung einer Hyperbel in 1. Hauptlage X (x|y) Linker Ast: B B XF1 – XF2 = -2a Ö[(-e-x)²+y²] – Ö[(e-x)²+y²] = -2a Ö(e²+2ex+x²+y²) = Ö(e²–2ex+x²+y²) – 2a | ² e²+2ex+x²+y² = e²-2ex+x²+y²-4aÖ[(e-x)²+y²] +4a² 4ex – 4a² = -4a Ö(e² – 2ex + x² + y²) | :4 | ² e²x² – 2a²ex + a4 = a²(e² – 2ex + x² + y²) rechter Ast: B B XF1 – XF2 = 2a Ö[(-e-x)²+y²] – Ö[(e-x)²+y²] = 2a Ö(e²+2ex+x²+y²) = Ö(e²–2ex+x²+y²) + 2a | ² e²+2ex+x²+y² = e²-2ex+x²+y²+4aÖ[(e-x)²+y²] +4a² 4ex – 4a² = 4a Ö(e² – 2ex + x² + y²) | :4 | ² e²x² – 2a²ex + a4 = a²(e² – 2ex + x² + y²) e²x² – 2a²ex + a4 = a²e² – 2a²ex + a²x² + a²y² e²x² – a²x² – a²y² = a²e² – a4 x²(e² – a²) – a²y² = a²(e² – a²) e² – a² = b² b²x² – a²y² = a²b² | :a²b² § Berührbedingung geg.: g: y = kx + d Hyperbel in 1. Hauptlage: d² + b² - a²k² = 0 2. Hauptlage: d² - a² + b²k² = 0 § Ableitung der Berührbedingung einer Hyperbel in 1. Hauptlage geg.: hyp: b²x² - a²y² = a²b² g: y = kx + d g Ç hyp: b²x² - a²(kx + d)² = a²b² b²x² - a²k²x² - 2a²dkx - a²d² = a²b² x²(b² - a²k²) - x(2a²dk) - a²d² - a²b² = 0 (b² - a²k²)x² - (2a²dk)x + (-a²d² – a²b²) = 0 | :(b² - a²k²) D = -a²k² + b² + d² D > 0 2 Lösungen Sekante D = 0 1 Lösung Tangente D < 0 0 Lösungen Passante (b² - a²k²) ¹ 0 Spezialfall: b² - a²k² = 0 b² = a²k² k² = k = ± d = 0 d ¹ 0 y = ±x y = ±+ d Asymptote || Asymptote Asymptote: 0x² - 0x – a²b² = 0 f.A. L = {} || Asymptote: 0x² + ... + a²b² = 0 ¹0 1Lös Þ Jede Parallele zu einer Asymptote schneidet die Hyperbel genau 1x. § Tangentengleichung und Polarengleichung geg.: Hyperbel T (x1|y1) Î hyp à Tangente t durch T P (x1|y1) Ï hyp à Polare p Hyperbel in 1. Hauptlage: Hyperbel in 2. Hauptlage: b²xx1 - a²yy1 = a²b² -a²xx1 + b²yy1 = a²b² 3) Parabel § Skizze 1. Hauptlage: 2. Hauptlage: 3. Hauptlage: 4. Hauptlage: F ... Brennpunkt A ... Scheitel der Parabel Parabel LF = p ............. Parameter l ... Leitlinie a ...................... Achse § Definition Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, für die der Abstand zu einem festen Punkt F, dem Brennpunkt, gleich dem Abstand zur Leitlinie ist. B B par = {X | XF = Xl} § Konstruktion - Punkte A, F und L einzeichnen - MA Mittelpunkt des Scheitelkrümmungskreises einzeichnen (Abstand von F = ) - Hilfslinien parallel zur Leitlinie einzeichnen - Strecke von Leitlinie zu einer Hilfslinie in Zirkel nehmen und von F abschlagen - sooft wiederholen, bis Parabel zeichenbar § Gleichungen Gleichung einer Parabel in 1. Hauptlage: Gleichung einer Parabel in 2. Hauptlage: y² = 2px x² = 2py Gleichung einer Parabel in 3. Hauptlage: Gleichung einer Parabel in 4. Hauptlage: y² = -2px x² = -2py Gleichung der Leitlinie in 1. Hauptlage: Gleichung der Leitlinie in 2. Hauptlage: l = -x l = -y Gleichung der Leitlinie in 3. Hauptlage: Gleichung der Leitlinie in 4. Hauptlage: l = x l = y § Ableitung der Gleichung einer Parabel in 1. Hauptlage X (x|y) B B XF = Xl = || = Ö[(x - )² + y²] = d B Xl: = 0 HNF x + = d Ö[(x - )² + y²] = x + | ² x² - px -+ ()² + y² = x² + px + ()² y² = 2px § Berührbedingung geg.: g: y = kx + d Parabel in 1. Hauptlage: p = 2kd 2. Hauptlage: k²p = -2d 3. Hauptlage: p = -2kd 4. Hauptlage: k²p = 2d § Ableitung der Berührbedingung einer Parabel in 1. Hauptlage geg.: par: y² = 2px g: y = kx + d g Ç par: k²x² + 2dkx + d² = 2px k²x² + (2dk - 2p)x + d² = 0 | :k² ¹ 0 D = p² - 2kdp p(p – 2kd) = 0 p = 2kd D > 0 2 Lösungen Sekante D = 0 1 Lösung Tangente D < 0 0 Lösungen Passante k² ¹ 0 Spezialfall: k² = 0 k = 0 Þ y = d || x-Achse 2px = d² 1 Lösung Þ Jede Parallel zur x-Achse schneidet die Parabel genau 1x. § Tangentengleichung und Polarengleichung geg.: Hyperbel T (x1|y1) Î hyp à Tangente t durch T P (x1|y1) Ï hyp à Polare p par: y² = 2px yy = px + px Parabel in 1. Hauptlage: Parabel in 2. Hauptlage: yy1 = p(x + x1) xx1 = p(y + y1) Parabel in 3. Hauptlage: Parabel in 4. Hauptlage: yy1 = -p(x + x1) xx1 = -p(y + y1) § Konstruktion einer Tangente 4) Komplexe Zahlen § Das Symbol „i“ x² = a G = R a > 0 L = {Öa]; -Öa} a = 0 L = {0(2)} a < 0 L = {} Þ $ C ... Menge der komplexen Zahlen x² = -1 x² = (-1) x12 = ± Ö(-1) x² = -4 x² = 4(-1) x12 = ± 2 Ö(-1) x² = -¾ x² = ¾(-1) x12 = ± Ö¾ Ö(-1) x² = -a a Î R+; a > 0 x² = a(-1) x12 = ± Öa Ö(-1) L = {+i ; -i} L = {2i ; -2i} L = {¾i ; -¾i} L = {Öa i ; -Öa i Definition: Ö(-1) = i i = Ö(-1) | ² i² = [Ö(-1)]² i² = -1 Vorsicht: [Ö(-1)]² ¹ Ö[(-1)²] -1 ¹ 1 Quadratische Gleichung: ax² + bx + c = 0 a, b, c Î R; a ¹ 0 G = C x12 = = - ± D = b² - 4ac D > 0 L = {- + ; - – } D = 0 L = {(-)(2)} D < 0 Ö(b² – 4ac) = Ö(4ac – b²) Ö(-1) < 0 > 0 i L = {- + i; - – i} Allgem. Komplexe Zahl: z = a + b i a ... Realteil Re(z) b ... Imaginärteil Im(z) z = Re(z) + Im(z) i Spezialfälle: b = 0 Þ z = a + 0i = a ... reelle Zahl Î R R Ì C a = 0 Þ z = 0 + bi = bi ... imaginäre Zahl Î C Im Ì C N Ì Z Ì Q I Ì R Ì C Jede reelle Zahl lässt sich als komplexe Zahl schreiben. 3,9 = 3,9 + 0i Ö¾ = Ö¾ + 0i p = p + 0i Gleichheit von komplexen Zahlen: z1 = a + bi z2 = c + di z1 = z2 Û (a = c) Ù (b = d) Koeffizientenvergleich: Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sowohl ihre Realteile als auch ihre Imaginärteile übereinstimmen. § Rechenregeln z1 = a + bi z2 = c + di Addition: z1 + z2 = a + bi + c + di = (a + c) + (b + d)i Î C Î R Î R Subtraktion: z1 + z2 = (a – c) + (b – d)i Multiplikation: z1 × z2 = (a + bi) × ( c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac – bd) + (bc + ad)i Division: Î C Re(z) Im(z) c² + d² > 0; sonst c = 0, d = 0 Þ z2 = 0 Potenzen von i: i¹ = i i5 = i i² = -1 i6 = -1 i³ = i² i = (-1) i = -i : i4 = i² i² = 1 : Konjugiert komplexe Zahlen: z = a + bi = a – bi ... konjugiert komplexe Zahl zu z [z quer] Eigenschaften von konjugiert komplexen Zahlen: = z z + = 2a Î R z – = 2bi Î Im z × = (a + bi) (a – bi) = a² + b² Î R umgekehrt: a² + b² in C zerlegbar, in R nicht! Satz von VIETA gilt auch für komplexe Zahlen: z² + pz + q = 0 p, q Î C mit Lösungen z1, z2 z1 + z2 = -p z1 × z2 = q z² + pz + q = (z - z1) (z - z2) Spezialfall: NUR wenn p UND q Î R Þ z1, z2 ... konjugiert komplex § GAUSSsche Zahlenebene z = 4 + 2i Jede komplexe Zahl lässt sich eindeutig als Punkt (=Ortsvektor) in der GAUSSschen Zahlenebene darstellen. |z| ... Länge des Vektors |z| = Ö(a² + b²) = r Î R ... Radius der komplexen Zahl = Abstand vom Ursprung (0|0i) auch Nm(z) = |z|² = a² + b² = r² [Norm von z] |z|² = |z²| § Darstellungsmöglichkeiten Kartesische Darstellung: geordnetes Zahlenpaar (a ; b) Binominalform z = a + bi Polarkoordinatendarstellung: geordnetes Zahlenpaare (r ; j) r ... |z| ³ 0 Î R0+ Betrag von z 0° £ j < 360° Argument von z Hauptwert Trigonometrische Form z = r (cos j + i sin j) Zusammenhang: r = Ö(a² + b²) tan j = cos j = a = r cos j sin j = b = r sin j Multiplikation und Division komplexer Zahlen mit Hilfe von Polarkoordinaten: z1 = r1 (cos j1 + i sin j1) z2 = r2 (cos j2 + i sin j2) Multiplikation: z1 × z2 = r1 (cos j1 + i sin j1) × r2 (cos j2 + i sin j2) = = r1 r2 (cos j1 cos j2 – sin j1 sin j2 + cos j1 sin j2 i + cos j2 sin j1 i) = = r1 r2 [(cos j1 cos j2 – sin j1 sin j2) + i (cos j1 sin j2 + cos j2 sin j1)] = = r1 r2 [ cos (j1 + j2) + i sin (j1 + j2)] z1 × z2 = r1 r2 [ cos (j1 + j2) + i sin (j1 + j2)] = (r1 r2 ; j1 + j2) Beim Multiplizieren von komplexen Zahlen werden die Radien multipliziert und die Argumente = Winkel addiert. Division: z1 : z2 = z1 : z2 Beim Dividieren von komplexen Zahlen werden die Radien dividiert und die Argumente = Winkel subtrahiert. § Graphisches Rechnen Addition: Subtraktion: Def.: z1 – z2 = z1 + (-z2) 2025 Multiplikation: Def.: z1 × z2 Def.: z2 × z1 Winkel von z1 und z2 addieren Spitze von z1 mit Einheitspunkt E verbinden Winkel a bei Einheitspunkt E bei Spitze von z2 abtragen Beweis: D0Ez1 » D0 z2 z1z2 ... Strahlensatz gilt B B B B 0E : 0z1 = 0z2 : 0z1z2 1 : r1 = r2 : r1r2 r1r2 = r1r2 wzbw Division: Def.: z1 : z2 Def.: z2 : z1 Winkel von z2 vom Winkel von z1 subtrahieren Spitze von z1 mit Spitze von z2 verbinden Winkel a bei Spitze von z2 bei Einheitspunkt E abtragen Beweis: Probe: z2 × = z1 § Potenzieren z = r (cos j + i sin j) n Î R zn = [r (cos j + i sin j)]n = rn (cos j + i sin j)n zn = rn [cos j + j + j + ... + i sin j + j + j +...] = rn (cos n j + i sin n j) Þ (cos j + i sin j)n = cos n j + i sin n j Formel von DE MOIVRE § Radizieren (Wurzelziehen) Definition: z Î C heißt n-te Wurzel aus z Î C [Zeta] z = nÖz , wenn zn = z n Î N \ {0,1} Beispiel: (1 + i)² = 2i (-1 - i)² = 2i z1 = (1 + i) Þ Ö2i = z2 = (-1 – i) mit Binomialform: Ö[2i] = a+bi | ² 2i = a² + 2abi + b²i² 0 + 2i = (a² - b²) + 2abi ... Koeffizientenvergleich Þ 0 = a² - b² 2 = 2ab 1 = ab b = 0 = a² - | × a² a4 = 1 | Ö a² = ± 1 a muss reell sein! Þ -1 keine Lösung a1 = 1 a2 = -1 b1 = 1 b2 = -1 Ö2i = 1 + i -1 - i mit Polarkoordinaten: geg.: z = (r ; j) r Î R+; 0 £ j < 2p (Hauptwert) ges.: z = Öz = (r ; a) (r ; a) = Ö(r ; j) | ² (r ; a)² = (r ; j) (r² ; 2a) = (r ; j) r² = r 2a = j 2a = j + 360° r = Ör a = a = + 180° nÖz = nÖ(r ; j) = (nÖr ; ) ... 1. Nebenwert (nÖr ; + 1×) ... 2. Nebenwert (nÖr ; + 2×) ... 3. Nebenwert (nÖr ; + (n – 1)× ) ... n. Nebenwert n Lösungen (nÖr ; + (k – 1)×) k = 1, 2, 3, ..., n Eine Wurzel aus einer komplexen Zahl ist wieder eine komplexe Zahl. § Exponentialform cos j + i sin j = eij EULERsche Formel Beispiel: z = r × eij e2pi = 1 cos 2p + i sin 2p = 1 1 + i × 0 = 1 e(p/2)i = i cos + i sin = i 0 + i × 1 = i ii = (e(p/2)i)i = e(p/2)i² = e(-p/2) = 1/[e(p/2) ] = 0,207879576351 Î R! iÖi = (e(p/2)i)(i/2) = e(p/2) = Öep = 4,810477381 a = e ln a Beweis: a = e ln a | ln ln a = (ln a) (ln e) ln a = ln a allgem.: xlog a a = x Beispiel: 2i = (eln2)i = cos ln2 + i sin ln2 = cos 0,693147181 + i sin 0,693147181 = = 0,769238901 + i 0,638961276 Radianten! 5) Komplexe Zahlen als nichtgeordneter Körper R ist geordnet, da " a, b Î R gilt: a < b oder a = b oder a > b C ist nicht geordnet, da " z1, z2 Î C gilt: z1 = z2 oder z1 ¹ z2 Beispiel: i, 2i „=“ i = 2i | -i 0 = i reell nicht reell Î R Ï R f.A. „<“ i < 2i | -i 0 < i i > 0 | ×(i > 0) i² > 0 -1 > 0 f.A. indirekter Beweis „>“ i > 2i | -i 0 > i i < 0 | ×(i < 0) i² > 0 -1 > 0 f.A. Þ Es ist sinnlos, bei komplexen Zahlen von > oder < zu sprechen; nur = oder ¹ ! Þ C ist nicht geordnet C ist ein Körper: 1) (C;+) ... abelsche (=kommutative) Gruppe [C bezüglich plus] · Abgeschlossenheit z1 + z2 = z3 Î C · Assoziativgesetz (AG) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) · neutrales Element n " z Î C $ n Î C z + n = n + z = z n = 0 = 0 + 0i Î C · inverses Element z* " z Î C $ z* Î C z + z* = z* + z = n = 0 z* = -z Î C Þ Gruppe · Kommutativgesetz (KG) z1 + z2 = z2 + z1 2) (C\{n = 0}; × ) ...abelsche Gruppe [C bezüglich mal] · Abgeschlossenheit z1 × z2 = z3 z3 ¹ 0 · Assoziativgesetz (AG) (z1 × z2) × z3 = z1 × (z2 × z3) · neutrales Element n1 " z Î C\{0} $ n1 Î C\{0} z × n1 = n1 × z = z n1 = 1 = 1 + 0i Î C · inverses Element z* " z Î C\{0} $ z* Î C\{0} z × z* = z* × z = n1 = 1 z × z* = 1 | :z ¹ 0 z* = 1/z = 1/(a + bi) Þ Gruppe · Kommutativgesetz (KG) z1 × z2 = z2 × z1 3) Distributivgesetz (DG) (z1 + z2) z3 = z1 z3 + z2 z3 z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3 ERST wenn 1), 2) und 3) erfüllt sind, spricht man von einem Körper. Þ C ist ein nicht geordneter Körper 6) Berechne Ö(-½ – i) auf 2 verschiedene Arten Berechne Ö(-½ – i) auf zwei Arten und zeige, dass eine Lösung eine dritte Einheitswurzel ist. Kartesische Darstellung: Ö(-½ – i) = a + bi | ² (-½ – i) = a² + 2abi – b² -½ = a² – b² -) = 2ab a = - -½ = – b² | ×16b² -8b² = 3 – 16b4 16b4 – 8b² – 3 = 0 b² = u 16u² – 8u – 3 = 0 u12 = u1 = 24/32 = ¾ b12 = ± a12 = ± = ±½ u2 = -8/32 = -¼ b34 = ± Ï R L = {-½ + i ; ½ – i} Polarkoordinatendarstellung: r = Ö(a² + b²) = Ö(¼ + ¾) = Ö1 = 1 tan j = = -:(-½) = Ö3 j = arctan Ö3 = 240° Ö(-½ – i) = Ö[(1;240°)] = (Ö1; 240°/2) = (1;120°) = -½ + i Ö[(1;240°)] = (Ö1; [240°+360°]/2) = (Ö1; 600°/2) = (1;300°) = ½ – i L = {-½ + i ; ½ – i } Dritte Einheitswurzel: z³ – 1 = (z - 1) (z² + z + 1) = 0 z1 = 1 z² + z + 1 = 0 z23 = -½ ± Ö(¼ – 1) = -½ ± Ö(-¾) = -½ ± i z2 = -½ + i z3 = -½ – i L = {1 ; -½ + i ; -½ – i } 7) Berechne 9z² - 18(1+i)z + 2(16+21i) = 0 9z² – 18(1 + i)z + 2(16 + 21i) = 0 G = C Ö(-1152 – 864i) = Ö[(1440 ; 216,87°)] = (Ö(1440) ; 216,87°/2) = = (37.95 ; 108,43°) = = -12 + 36i = (Ö(1440) ; [216,87° + 360°] /2) = = (Ö[1440]; 576,87°/2) = = (37,95 ; 288,43°) = = 12 – 36i L = { – i ; ¯ + 3i} 8) Polinome § Definition Eine Linearkombination der Form n Pn(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ... + a1 x + a0 = å ai xi i=0 (wobei ai Î C und an ¹ 0) heißt Polynom n-ten Grades über der Menge C in 1 Variable. n ... Grad des Polynoms ai ... Koeffizienten a0 ... konstantes Glied Jedes Polynom ist eine zusammenhängende Kurve (Þ keine Sprungstellen!) Beispiel: 4x² + 23x – 7 Polynom 2. Grades über Z Ö3 x7 – (4 + 3i) x4 + 2 Polynom 7. Grades über C x³ + Öx KEIN Polynom 2x + KEIN Polynom § HORNERsches Verfahren P3(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 a3 a2 a1 a0 a a3 a3 a + a2 (a3 a + a2 ) a + a1 [(a3 a + a2 ) a + a1] a + a0 Beweis: P3(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = = (a3 x3 + a2 x2 + a1) x + a0 = = [(a3 x3 + a2 x) x + a1] x + a0 = Beispiel: P4(x) = 5x4 – x3 + 3x + 4 über Z P4(2) = 5 × 24 – 23 + 3 × 2 + 4 = 5 × 16 – 8 + 6 +4 = 82 P4(-3) = 5 × (-3)4 – (-3)3 + 3 × (-3) + 4 = 5 × 81 + 27 – 9 +4 = 427 5 -1 0 3 4 2 5 9 18 39 82 -3 5 -16 48 -141 427 i 5 -1 + 5i -5 - i 4 – 5i 9 + 4i Beispiel: P3(z) = z³ – 2z² + z – 3 P3(2+i) = -5 + 4i P3(2-i) = -5 – 4i 1 -2 1 -3 (2 + i) 1 i 2i -5 + 4i (2 – i) 1 -i -2i -5 – 4i allgemein: d P() = P(z) , NUR wenn ai Î R! § Nullstellen Polynom Pn(a) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ... + a2x² + a1x + a 0 Polynomfunktion: y = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ... + a2x² + a1x + a 0 à Wertetabelle à Graph ermittelbar Nullstellen ermitteln: rechnerisch: Ausdruck gleich Null setzen graphisch: wo Graph x-Achse schneidet Eine Zahl a Î C heißt Nullstelle von Pn(a) , wenn Pn(a) = 0. Beispiel: P4(x) = 4x4 – 79x2 – 20 ist 2 Ö5 Nullstelle? 4 0 -79 0 -20 2 Ö5 4 8 Ö5 1 2 Ö5 0 à 2 Ö5 ist Nullstelle Fundamentalsatz der Algebra von GAUSS: Jedes Polynom n-ten Grades (n Î N) hat mindestens 1 Nullstelle in C. Þ Jedes Polynom n-ten Grades hat genau n Nullstellen in C. 4 reelle Nullstellen à Polynom min. (!) 4. Grades § Zerfällen von algebraischen Gleichungen mit dem Satz von VIETA für Gleichungen höheren Grades P4(x) = a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = a4 (x – x1) (x – x2) (x – x3) (x – x4) L = {x1; x2; x3; x4} Beweis: geg: Polynom n-ten Grades Pn(x) = 1 xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ... + a1 x + a0 = 0 Voraussetzung: an = 1 Koeffizient der höchsten Potenz = 1 Nullstellen ermitteln à Polynom wird algebraische Gleichung Annahme: x1 ... Lösung von Pn(x) Pn(x1) = 1 x1n + an-1 x1n-1 + an-2 x1n-2 + ... + a1 x1 + a0 = 0 Pn(x) – Pn(x1) = (xn – x1n) + an-1 (xn-1 – x1n-1) + an-2 (xn-2 – x1n-2) + ... + a1 (x – x1) = 0 = (x – x1) [xn-1 + bn-2 xn-2 + ... + b1 x + b0] = 0 ... Polynom (n-1)-ten Grades Annahme: x2 ... Lösung = (x – x1) (x – x2) [xn-2 + cn-3 xn-3 + ... + c1 x + c0] = 0 ... Polynom (n-2)-ten Grades Þ $ n Lösungen: x1; x2; ...; xn (x – x1) (x – x2) (x – x3) ... (x – xn) = 0 Pn(x) = xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 = (x – x1) (x – x2) ... (x – xn) Pn(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 = an (x – x1) (x – x2) ... (x – xn) Satz von VIETA für Gleichungen höheren Grades, wobei x1; x2; x3; ... Nullstellen (Lösungen) von Pn(x) sind. es gilt: -an-1 = x1 + x2 + ... xn +an-2 = x1 x2 + x1 x3 + ... + x1 xn + ... x2 xn + xn-1 xn -an-3 = x1 x2 x3 + ... + xn-2 xn-1 xn + - (-1)n a0 = x1 x2 ... xn Beispiel: geg.: x4 + 2x³ – 13x² – 14x + 24 = 0 G = C x1 = 1 x2 = -2 x4 + 2x³ – 13x² – 14x + 24 = (x – x1) (x – x2) (x – x3) (x – x4) x4 + 2x³ – 13x² – 14x + 24 = (x – x3) (x – x4) (x – 1) (x + 2) (x4 + 2x³ – 13x² – 14x + 24) : (x² + x – 2) = x² + x – 12 es muss 0 Rest herauskommen -x4 – x³ + 2x² x³ – 11x² – 14x -x³ – x² + 2x -12x² – 12x + 24 + 12x² + 12x – 24 0 R x² + x – 12 = 0 x34 = - ½ ± Ö(¼ + 12] = -½ ± Ö() = -½ ± x3 = 3 x4 = -4 L = {1; -2; 3; -4} 9) Gleichungen höheren Grades (³ 3) G = C § Reziproke Gleichungen (Symmetrische Gleichungen) Eine Gleichung heißt reziprok, wenn zu jeder Lösung a auch Lösung dieser Gleichung ist. Jede reziproke Gleichung muss auch symmetrisch oder antisymmetrisch sein. a3 x³ + a2 x² + a1 x + a0 = 0 symmetrisch: a3 = a0 a2 = a1 antisymmetrisch: a3 = -a0 a2 = -a1 Beispiel: 2x³ – 3x² – 3x + 2 = 0 G = C (2x³ + 2) – (3x² + 3x) = 0 2 (x³ + 1) – 3x (x + 1) = 0 2 (x + 1) (x² – x + 1) – 3x (x + 1) = 0 (x + 1) [2 (x² – x + 1) – 3x] = 0 (x + 1) (2x² – 5x + 2) = 0 x1 = -1 2x² – 5x + 2 = 0 L = {-1 ; ½; 2} Lösungen sind reziprok Reziproke Gleichungen ungeraden Grades haben entweder +1 oder -1 als Lösung. Beispiel: 2x³ – 3x² + 3x – 2 = 0 G = C (2x³ – 2) – (3x² – 3x) = 0 2 (x³ – 1) – 3x (x – 1) = 0 2 (x – 1) (x² + x + 1) – 3x (x – 1) = 0 (x – 1) [2 (x² + x + 1) – 3x] = 0 (x – 1) (2x² – x + 2) = 0 x1 = -1 2x² – x + 2 = 0 L = {1; ¼ + 0,968i; ¼ – 0,968} G = C L = {1} G = R § Substitution Beispiel: 2x4 + 5x³ + 4x² + 5x + 2 = 0 | :x² ¹ 0 G = C 2x² + 5x + 4 + + = 0 (2x² + ) + (5x + ) + 4 = 0 2 (x² + ) + 5 (x + ) + 4 = 0 x + = u | ² ... Substitution x² + 2 + = u² x² + = u² – 2 2 (u² – 2) + 5u + 4 = 0 2u² + 5u = 0 u (2u + 5) = 0 u1 = 0 u2 = - x + = 0 | ×x x + = - | ×x x² + 1 = 0 x² + x + 1 = 0 x² = -1 | Ö x12 = ± i x1 = i x3 = -½ x2 = -i x4 = -2 L = {i; -i; -½ ; -2} Beispiel: a4 x4 + a2 x² + a0 = 0 G = C a4 ¹ 0; a3 = 0; a1 = 0 x² = u ... Substitution a4 u² + a2 u + a0 = 0 § Herausheben a3 x³ + a2 x² + a1 x = 0 a0 = 0 x (a3 x² + a2 x + a1) = 0 § Allgemeine Gleichungen 4. Grades mit HORNER x4 + a3 x³ + a2 x² + a1 x + a0 = 0 G = C a4 = 1 Wenn es ganzzahlige Lösungen gibt, so kann es sich nur um ein Zahl aus der Teilermenge Ta0 handeln. a4 x4 + a3 x³ + a2 x² + a1 x + a0 = 0 G = C a4 ¹ 1 Wenn es rationale Lösungen gibt, müssen sie Kombinationen aus sein. Beispiel: x4 – 6x³ + 14x² – 16x + 8 = 0 G = C T8 = {±1; ±2; ±4; ±8} 1 -6 14 -16 8 2 1 -4 6 -4 0 x1 = 2 (x4 – 6x³ + 14x² – 16x + 8) : (x – 2) = x³ – 4x² + 6x – 4 -x4 + 2x³ -4x³ + 14x² 4x³ – 8x² 6x² – 16x -6x² + 12x -4x + 8 4x – 8 0 R x³ – 4x² + 6x – 4 = 0 T4 = {±1; ±2; ±4} 1 -4 6 -4 2 1 -2 2 0 x2 = 2 (x³ – 4x² + 6x – 4) : (x – 2) = x² – 2x + 2 -x³ + 2x² -2x² + 6x 2x² – 4x 2x – 4 -2x + 4 0 R x² – 2x + 2 = 0 x34 = 1 ± Ö(1 – 2) = 1 ± Ö(-1) = 1 ± i x3 = 1 + i x4 = 1 – i L = {2(2); 1 + i; 1 – i} Beispiel: 2x4 + x³ – 9x² + 16x – 6 = 0 G = C T = {± ½; ±1; ± 3/2; ±2; ±3; ±6} 2 1 -9 16 -6 -3 2 -5 6 -2 0 x1 = -3 (2x4 + x³ – 9x² + 16x – 6) : (x + 3) = 2x³ – 5x² + 6x – 2 -2x4 - 6x³ -5x³ - 9x² 5x³+15x² 6x² + 16x -6x² – 18x -2x – 6 2x + 6 0 R 2x³ – 5x² + 6x – 2 = 0 T = {± ½; ±1; ±2} 2 -5 6 -2 ½ 2 -4 4 0 x2 = ½ (2x³ – 5x² + 6x – 2) : (x – ½) = 2x² – 4x + 4 -2x³ + x² -4x² + 6x 4x² – 2x 4x – 2 -4x + 2 0 R 2x² – 4x + 4 = 0 | :2 x² – 2x + 2 = 0 x34 = 1 ± Ö(1 – 2) = 1 ± Ö(-1) = 1 ± i x3 = 1 + i x4 = 1 – i L = {-3; ½; 1 + i; 1 – i} § CARDANische Formel Geronimo CARDANO (1501 – 1576) (Formel entdeckt von Niccolo TARTAGLIA, veröffentlicht von CARDANO) geg.: x³ – rx² + sx + t = 0 durch Substitution x = y – Þ y³ + py + q = 0 Lösung x1 = y1 – dann durch (x – x1) dividieren... § Allgemeine Gleichungen ab 5. Grades Jede Gleichungen höheren Grades (>4) ist allgemein NICHT lösbar (nur in Spezialfällen). bewiesen von Emile GALOIS ~1830 10) Funktionen § Stetigkeit Definition1: Eine Funktion y = f(x) heißt an der Stelle a stetig, wenn " e > 0 (gelegt um f(a)) $ d > 0 (gelegt um a), sodass " x Î U(a,d) Þ |f(a) – f(x)| < e. Definition2: Eine Funktion y = f(x) heißt an der Stelle a stetig, wenn der linksseitige Grenzwert gleich dem rechtsseitigen Grenzwert Funktionswert ist. lim f(x) = lim f(x) = f(a) x = a-0 x = a+0 Eine stetige Kurve muß eine zusammenhängende Kurve sein. Funktionen mit Sprungstellen sind nicht stetig! Zwischenwertsatz: Ist f eine in einem abgeschlossenem Intervall [a; b] stetige Funktion, und gilt f(a) ¹ f(b), so nimmt die Funktion jeden Wert zwischen f(a) und f(b) mindestens 1x an. Nullstellensatz: Haben f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, so besitzt f in ]a; b[ mindestens 1 Nullstelle. Pole: Punkte, wo die Kurve nicht definiert ist. à nicht stetig! z.B.: Asymptoten § Tangentenproblem geg.: stetige Kurve y = f(x) à keine Sprungstellen ges.: Anstieg der Tangente in T (x0|y0) an die Kurve f(x) Konstruieren einer Sekantenfolge: Grenzwert der Sekantenfolge = Tangente t in T (x0|y0) P1 (x1|y1) annehmen Anstieg von s1 (P1; T) = = tan a1 P2 (x2|y2) annehmen Anstieg von s2 (P2; T) = = tan a2 Pn (xn|yn) Anstieg von sn (Pn; T) = = tan an lim = kt Anstieg der Tangente im Punkt T (x0|y0) nॠxn à x0 = n à ¥ Folge (xn à x0) wählen: = <> Beispiel: geg.: par: y = x² ges:: Anstieg im Punkt T (1|y) an Kurve T in par: T (1|1) Folge (xn à x0 = 1) = <> lim <> = 1 nॠy = x² yn = xn² = ()² t: y = kx + d y = 2x + d T einsetzen: 1 = 2 + d d = -1 t im Punkt T: y = 2x – 1 11) Differentialrechnung = Infinitesimalrechnung Unabhängig von einander erarbeiteten Isaac NEWTON (1643 – 1727) (GB) mit Hilfe der Momentangeschwindigkeit und Gottfried Wilhelm LEIBNIZ (1646 – 1716) (D) mit Hilfe des Tangentenproblems gleichzeitig die Differentialrechnung. Aufgabe der Differentialrechnung: Bestimmung des Anstiegs einer Kurve (=Anstieg der Tangente) in einem beliebigen Kurvenpunkt § Differenzenquotient – Differentialquotient geg.: y = f(x) ... stetig P (x|y) Î f Q (x + Dx|y + Dy) Î f ges.: t in P Sekantenfolge lim sn = t nॠUnter der Tangente in P versteht man die Grenzlage der Sekanten, wenn Q sich P nähert. Unter dem Anstieg der Kurve in P versteht man den Anstieg der Tangente in P. Q Î f(x) y + Dy = f(x + Dx) Dy = f(x + Dx) – y Dy = f(x + Dx) – f(x) Steigung der Sekante s1: tan b = = Differenzenquotient Anstieg der Sekante Q ® P Û Dx ® 0 lim tan b = tan a Dxà0 [dy nach dx] lim tan b = y‘ = f‘(x) = lim = lim = Dxà0 Dxà0 Dxà0 Differentialquotient 1. Ableitung der Kurve Anstieg der Tangente Beispiel: geg.: par.: y = x² Q Î par y + Dy = (x + Dx)² y + Dy = x² + 2x Dx + Dx² Dy = x² – y + 2x Dx + Dx² x² – y = 0 Dy = Dx (2x + Dx) Steigung einer Sekante: ks1 = = = 2x + Dx Steigung der Tangente: kt = lim = lim (2x + Dx) = 2x Dxà0 Dxà0 bei (1|1) kt = 2 bei x = -1,5 (-1,25|2,25) kt = -3 mit Hilfe der Differentialrechung: geg.: f: y = x² ges.: Anstieg der Kurve f‘: y‘ = 2x [Beweis siehe Nr12, Ableitung einer Potenz, S36] 12) Ableitung einfacher Funktionen § Konstante Funktionen y = c y‘ = 0 y´ = lim = lim = lim = 0 Dxà0 Dxà0 Dxà0 § Ableitung einer Potenz y = xn n Î R y‘ = n × xn-1 Eine Potenz wird differenziert, indem man den Potenzexponenten mit der um einen Grad verringerten Potenz multipliziert. Beweis: y = f(x) = xn n Î R y‘ = lim = = Dxà0 x + Dx = a x = b Dx = a – b a² – b² = (a – b) (a + b) a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²) a4 – b4 = (a – b) (a + b) (a² + b²) = = (a – b) (a³ + a²b + ab² + b³) a5 – b5 = (a – b) (a4 + a³b + a²b² + ab³ + b4) an – bn = (a – b) (an-1 + an-2 b + an-3 b² + ... + abn-2 + bn-1) in Klammer n Glieder = lim = Dxà0 = lim [(x + Dx)n-1 + (x + Dx)n-2 x + ... + xn-1] = Dxà0 = xn-1 + xn-2 x + xn-3 x² + ... + xn-1] = = xn-1 + xn-1 + xn-1 + ... + xn-1 = n × xn-1 n Glieder Grenzübergang § Konstanter Faktor geg.: y = a × f(x) = g(x) a Î R ... konstanter Faktor y‘ = lim = lim = a f‘(x) Dxà0 Dxà0 y‘ = a × f‘(x) Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten. § Ableitung einer Summe bzw Differenz Addition: y = u(x) + v(x) = f(x) y‘ = u‘(x) + v‘(x) Voraussetzungen: $ u‘(x) = lim Dxà0 $ v‘(x) = lim Dxà0 Beweis: y' = lim = lim + = Dxà0 Dxà0 = lim + lim = u‘(x) + v‘(x) Dxà0 Dxà0 Subtraktion: y = u(x) – v(x) = f(x) y‘ = u‘(x) – v‘(x) Die Ableitung einer Summe (Differenz) = Summe (Differenz) der Ableitungen § Produktregel y = u(x) × v(x) = f(x) y‘ = u‘(x) × v(x) + u(x) × v‘(x) Voraussetzungen: $ u‘(x) = lim Dxà0 $ v‘(x) = lim Dxà0 Beweis: y' = lim = lim = Dxà0 Dxà0 Trick: Addieren und Subtrahieren des Ausdrucks u(x) × v(x + Dx) im Nenner = lim = Dxà0 = lim v(x) + u(x) = Dxà0 = lim v(x) + lim u(x) = Dxà0 Dxà0 = v(x) × u‘(x) + u(x) × v‘(x) = u‘(x) × v(x) + u(x) × v‘(x) (f1 f2 f3)‘ = f1‘ f2 f3 + f1 f2‘ f3 + f1 f2 f3‘ § Quotientenregel y = = f(x) Voraussetzungen: $ u‘(x) = lim Dxà0 $ v‘(x) = lim Dxà0 Beweis: = f(x) | × v(x) u(x) = f(x) × v(x) u‘(x) = f‘(x) × v(x) + f(x) × v‘(x) | – f(x) × v‘(x) u‘(x) – f(x) × v‘(x) = f‘(x) × v(x) | : v(x) Spezialfälle: y = y‘ = – y = y‘ = - y‘‘ = 2/x³ y‘‘‘ = - 6/x4 y(IV) = 24/x5 § Kettenregel y = h(x) = f(g(x)) = f(z) wobei h = f ° g [Verknüpfung] z = g(x) ... innere Funktion y = f(z) ... äußere Funktion zusammengesetzte Funktion y‘ = f‘(z) × g‘(x) Ableitung der Kettenregel: geg.: y = h(x) = f(g(x)) = f(z) Voraussetzungen: $ f‘(z) = lim Dzà0 $ g‘(x) = lim Dxà0 Beweis: g(x) = z g(x + Dx) = z + Dz Dz = g(x + Dx) – z Dz = g(x + Dx) – g(x) Dx®0 Û Dz®0 y‘ = lim = lim = Dxà0 Dxà0 = lim × = lim × = Dxà0 erweitern Dxà0 vertauschen der Nenner Dzà0 = lim × = lim × lim = Dxà0 (Dxà0) Dxà0 Dzà0 Dzà0 (Dzà0) äußere Funktion × innere Funktion = f‘(z) × g‘(x) Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion ist gleich dem Produkt aus der Ableitung der äußeren Funktion und der Ableitung der inneren Funktion. Beweis der Ableitung einer negativen Potenz (mit Hilfe der Kettenregel): y = x - m = m Î R y‘ = m × x - m - 1 Beispiel: y = (x² + 3x + 1)³ y‘ = 3 (x² + 3x + 1)² (2x + 3) f‘(z) g‘(x) § Höhere Ableitungen einer Funktion Ist die Ableitung f‘ einer differenzierbaren Funktion f wieder differenzierbar, so bezeichnet man (f‘)‘ = f‘‘ als 2. Ableitung von f. (f)‘ = f‘ (f‘)‘ = f‘‘ (f‘‘)‘ = f‘‘‘ (f‘‘‘)‘ = f(IV) allgemein: (f(n-1))‘ = fn § Implizites Differenzieren y nach Kettenregel ! Beispiel 250d, Buch 7.Klasse: 2x + Öy = 3 Öy = 3 – 2x y = 9 – 12x + 4x² | nach x differenzieren! y' = 8x – 12 explizit 2x + Öy = 3 2 + ½y-½ × y‘ = 0 | × 2 4 + × y‘ = 0 y‘ = -4Öy implizit Probe: y‘ = -4Öy y‘ = -4(3 – 2x) siehe oben y‘ = 8x – 12 warum? y² + y³ = x | ' 2y×y‘ + 3y²×y‘ = 1 y‘ (2y + 3y²) = 1 y‘ = nur implizit differenzierbar! 13) Bilde die 1. Ableitung von geg.: 14) Sätze der Differntialrechnung Stetigkeit und Zwischenwertsatz: [siehe Nr10, Stetigkeit, S31] § Mittelwertsatz der Differentialrechnung Ist f in [a;b] stetig und im offenen Intervall ]a;b[ differnziebar, so besitzt f in ]a;b[ mindesten 1 Stelle mit x mit f‘(x) = [Xi] § Satz von ROLLE Ist f in [a;b] stetig und im offenen Intervall ]a;b[ differenzierbar, und gilt f(a) = f(b), so besitzt f in ]a;b[ mindestens 1 Stelle x mit f‘(g) = 0 Þ es gibt in ]a;b[ mindestens 1 zur x-Achse || Tangente! Satz von ROLLE ist Spezialfall des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung 15) Kurvenduiskussion ...Ermittlung von Eigenschaften einer Funktion, bevor man die Kurve zeichnet geg.: y = f(x) 1) Definitionsmenge, Unstetigkeitsfälle (Lücken, Knicke, Sprünge) Df 2) Nullstellen, Fixwerte N, F 3) Asymptoten a 4) Extremwerte (Hochpunkte, Tiefpunkte) E (H, T) 5) Wendepunkte W 6) Wendetangenten tW 7) Monotonie, Krümmung 8) Symmetrieeigenschaften 9) Wertetabelle, Graph ad 3) § Grenzwerte und Asymptoten Grenzwerte: Beispiele: lim Ö(x² + x + 3) = Ö[lim (x² + x + 3)] = Ö9 = 3 xà2 xà2 à Zahl lim (a3x³ + a2x² + a1x + a0) = lim a3x³ xॠxॠ| ॠ= + ¥ , wenn a3 > 0 – ¥ , wenn a3 < 0 lim (-2x² + 25x) = lim (-2x²) (1 – ) = – ¥ xॠxॠlim = Zahl Þ Asymptote lim = ± ¥ Þ Polynom hat KEINE Asymptote Asymptoten: 1) || y-Achse Kurve nähert sich a x à Zahl x = a heißt Asymptote von f, wenn lim f(x) = ± ¥ xàa 2) y-Achse x à ¥ a: y = kx + d heißt Asymptote von f, B wenn lim Pa = 0 xॠbzw lim |f(x) – a(x)| = 0 xॠBerechnung von Asymptoten: Beispiel: f: y = D = R \ {± 2} ... rationale Funktion 1) || y-A D Þ a1: x = 2 a2: x = -2 2) y-A lim = xॠ= 1 a3: y = 1 Beispiel: f: y = D = R \ {-1} 1) || y-A D Þ a1: x = -1 2) y-A lim = xॠlim = xà¥ Þ Polynomdivision: (x² + 0x + 1) : (x + 1) = x – 1 x² + x -x + 1 -x – 1 2 R lim [(x – 1) × ] = lim (x – 1) = x – 1 xॠxॠa2: y = x – 1 ad 4) § Bestimmung der Extremwerte H Hochpunkt T Tiefpunkt } E Extremwerte t durch H t durch T || x-Achse (y‘ = 0, y‘‘ ¹ 0) y' = 0 setzen Þ E links von T: k<0 à f‘ unterhalb x-Achse links rechts von T: k>0 à f‘ oberhalb x-Achse rechts links von H: k>0 à f‘ oberhalb x-Achse links Rechts von H: k<0 à f‘ unterhalb x-Achse rechts T f‘(a) = 0 f‘ ist in U(a) steigend à f‘‘(a) > 0 H f‘(a) = 0 f‘ ist in U(a) fallend à f‘‘(a) < 0 E in f‘‘ > 0 Þ T E in f‘‘ < 0 Þ H Lokale und absolute Extremwerte: Lokaler Extremwert: beliebiger Extremwert T1 Absoluter Extremwert: am tiefsten/höchsten gelegener Extremwert T2 [Skizze siehe Nr15, S42] § Geometrische Bedeutung der 2. Ableitung: Krümmung der Kurve f heißt in U(a) positiv gekrümmt, wenn die Tangente t unterhalb der Kurve liegt. y‘‘(a) > 0 f heißt in U(a) negativ gekrümmt, wenn die Tangente t oberhalb der Kurve liegt. y‘‘(a) < 0 ad 5), 6) § Wendepunkte und Wendetangenten W(a|f(a)) heißt Wendepunkt, wenn der Graph von f im Punkt W sein Krümmungsverhalten ändert. Die Wendetangente durchsetzt die Kurve. f‘‘(a) = 0 f‘‘‘(a) ¹ 0 Spezialfall: y' = 0 und y‘‘ = 0 Þ S Sattelpunkt [Skizze siehe Nr15, S42] y'‘ = 0 setzen Þ W Wendetangente tW: y = kx +d ktW = f‘(xW) d ... W in tW einsetzen § Bedeutung mehrfacher Werte N(2) = E N(3) = E(2) = W Beim Differenzieren wird die Vielfachheit eines Punktes um 1 reduziert. § Monotonie, Krümmung Monotonie: wichtig: y‘ H T S a || y-A x 0 0 < 0 0 < 0 / < 0 0 > 0 beliebigen Wert im angegebenen Intervall einsetzen: y‘ > 0 Þ streng monoton steigend/wachsend str.m.w. y‘ < 0 Þ streng monoton fallend str.m.f. H und T wechseln einander ab wachsend und fallend müssen einander nicht abwechseln! (S, a || y-A) Krümmung: wichtig: y‘‘ W S x 0 Þ positiv gekrümmt; Tangente verläuft unterhalb von f § Beispiel 423, Buch 7.Klasse Der Graph der Funktion f: RàR, y = ax³ + bx² + cx + d hat in 0(0|0) die Steigung 3 und in T(6|0) den Tiefpunkt. Der Graph der Funktion g: RàR, y = px² + qx + r hat seinen Scheitelpunkt Sg an der Stelle 3 und schneidet den Graphen von f in 0 rechtwinkelig. Diskutiere beide Funktionen und fertige eine Zeichnung an! f: y = ax³ + bx² + cx + d y‘ = 3ax² + 2bx + c f: y(0) = 0 0 = d y(6) = 0 0 = 216a + 36b + 6c + d y‘(0) = 3 3 = c y‘(6) = 0 0 = 108a + 12b + c Þ a = b = -1 c = 3 d = 0 f: y = x³ – x² + 3x g: y = px² + qx + r y‘ = 2px + q g: y(0) = 0 0 = r y‘(3) = 0 0 = 6p + q y‘(0) = - - = q Þ p = q = - r = 0 g: y = x² – x Kurvendiskussion: f: y = x³ – x² + 3x y‘ = ¼x² – 2x + 3 y‘‘ = ½x – 2 1) D Df = R 2) N, F x³ – x² + 3x = 0 x(x² – x + 3) = 0 x1 = 0 N1(0|0) x23 = 6 N2(6|0)(2) x³ – x² + 3x = x x(x² – x + 2) = 0 x1 = 0 F1(0|0) = N1 x2 = 6 + Ö12 F2(6+Ö12|6+Ö12) x3 = 6 – Ö12 F3(6–Ö12|6–Ö12) 3) a weil Polynom Þ $ a 4) E ¼x² – 2x + 3 = 0 x1 = 6 x2 = 2 y‘‘(6) = 1 > 0 Tf(6|0) y‘‘(2) = -1 < 0 Hf(2|) 5) W ½x – 2 = 0 x = 4 Wf(4|) 6) tW: y = kx + d y‘(4) = -1 y = -x + d W: = -4 + d d = tW: y = -x + 7) Monotonie g: y = x² – x y‘ = x – y‘‘ = 1) D Dg = R 2) N, F x² – x = 0 x(x – ) = 0 x1 = 0 N1(0|0) x2 = 6 N2(6|0) x² – x = x x(x – ) = 0 x1 = 0 F1(0|0) x2 = 24 F2(24|24) 3) a weil Polynom Þ $ a 4) E x – = 0 x = 3 y‘‘(3) = > 0 Tg(3|-½) ... Scheitel 5) W = 0 f.A. Þ $ W 6) tW kein W Þ $ tW 7) Monotonie H T T x<2 x=2 26 x<3 x=3 x>3 f‘ > 0 0 < 0 0 > 0 g‘ < 0 0 > 0 s.m.w. s.m.f. s.m.w. s.m.f. s.m.w. Krümmung Krümmung W x<4 x=4 x>4 x -¥ 0 g‘‘ > 0 neg. gekr. pos. gekr. pos. gekr. t oberhalb t unterhalb t unterhalb 8) Symmetrieeigenschaften 8) Symmetrieeigenschaften Symmetrieachse || y-A durch Scheitel x = 3 9) Graph 16) Diskuttiere geg.: f: y = y = x³/[(x-1)²] y‘ = y‘‘ = 1) D (x – 1)² = 0 | Ö x – 1 = 0 x = 1 Df = R \ {1} 2) N, F = 0 | ×(x-1)² x³ = 0 x = 0(3) N(0|0)(3) à E(2) à W = x | 😡 ¹ 0 à x1 = 0 F1(0|0) = N x² = (x-1)² x² = x² – 2x + 1 2x = 1 x2 = ½ F2(½|½) 3) a || y-A: a1: x = 1 y-A: lim xॠPolinomdivision: x³ : (x² – 2x +1) = x + 2 x³-2x² + x 2x² – x 2x²–4x+2 3x–2 R lim = lim [(x + 2) ] = lim (2 + x) a2: y = 2 + x xॠxॠxॠ4) E y‘ = 0 = 0 | ×(x-1)³ x³ – 3x² = 0 x²(x – 3) = 0 x12 = 0(2) x3 = 3 y‘‘(0) = 0 S(0|0)(2) = N = F1 y‘‘(3) = 9/8 > 0 T(3|27/4) = (3|6¾) 5) W y‘‘ = 0 = 0 | ×(x-1)4 6x = 0 x = 0 W(0|0) = S = N = F1 6) tW tW: y = kx + d y‘(0) = 0 y = d W: y = 0 tW: y = 0 7) Monotonie S a T x < 0 x = 0 0 < x < 1 x = 1 1 < x < 3 x = 3 x > 3 f‘ > 0 0 > 0 / < 0 0 > 0 s. m. w. s. m. w. s. m. f. s. m. w. Krümmung S a x < 0 x = 0 0 < x < 1 x = 1 x > 1 f‘‘ < 0 0 > 0 / > 0 neg. gekr. pos. gekr. pos. gekr. t oberhalb t unterhalb t unterhalb 8) Symmetrieeigenschaften 9) Graph 17) Extremwertaufgaben = OPTIMIERUNGSAUFGABEN = MAXIMA – MINIMA BEISPIELE Einem gleichschenkeligen Dreieck mit der Grundlinie a und der Höhe h soll ein Rechteck, welches den größten Flächeninhalt besitzt, eingeschrieben werden. geg.: (a,h) ges.: (x,y) mit maxA D: Dx = [0;a] Dy = [0;h] Hauptbedingung HB A = x × y A = × y f(y) = (h – y) × y f(y) = (hy – y²) f‘(y) = (h – 2y) Nebenbedingung NB : h = : (h – y) × (h – y) = h × | ×2 a(h – y) = x × h x = (h – 2y) = 0 | × h – 2y = 0 2y = h y = x = A = f‘‘(y) = × (-2) f‘‘() = × (-2) < 0 Þ Maximum Das gesuchte Rechteck hat die Länge x = und die Breite y = mit der Maximalfläche A = . 18) Extremwertaufgaben Welches von allen Rechtecken mit gegebener Diagonale d hat die größte Fläche. geg.: d ges.: mit maxA D: Dx = [0;] Dy = [0; ] HB A = x × y A² = x² × y² A = x² (d² – x²)² f(x) = d²x² – x4 f‘(x) = 2d²x – 4x³ NB x² + y² = d² y² = d² – x² 2d²x – 4x³ = 0 | :2 d²x – 2x³ = 0 x(d² – 2x²) = 0 x1 = 0 (Randextremum) d² – 2x² = 0 2x² = d² x² = x2 = y1 = d y2 = d² – y2 = A = × = ()³ f‘‘(x) = 2d² – 12x² f‘‘() = 2d² – 12 = 2d² – 6d² = -4d² < 0 Þ Ma
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