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5608 Mathematik Zusammenfassung Mathematik 11 2 2260
Kurzbeschreibung
Funktionen, Funktionsbegriff, Definition, Zahlen und Vektoren, Mengen, Relationen und Abbildungen, Die reellen Zahlen, Komplexe Zahlen, Die Ebene, Vektoren, Polynome, Grundfunktionen, Die ganzrationale Funktion, Die gebrochen rationale Funktion, D
Inhalt des Referats
1 Zahlen und Vektoren 1.1 Mengen Nach Cantor: Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die häufigste Beschreibung einer Menge X geschieht durch die Angabe einer Eigenschaft E, die genau allen Elementen von X zukommt. Man schreibt: X : = {x; x hat die Eigenschaft E} X : = {x | x hat die Eigenschaft E} („|“ : = „mit der Eigenschaft“) X : = {x Î A; x hat die Eigenschaft E} (hervorheben: alle x liegen in A) Zur Vermeidung von Fallunterscheidungen wird die leere Menge Æ (oder {}) eingeführt; sie enthält kein Element. B heißt Teilmenge von A (i.Z.: B Í A), wenn jedes Element von B auch ein Element von A ist. Man nennt die Mengen gleich wenn sowohl B Í A, als auch A Í B gilt. Mengenoperationen: A Ç B : ={x; x Î A und x Î B } Durchschnitt A È B : ={ x; x Î A oder x Î B } Vereinigung A \ B : ={ x; x Î A und x Ï B } Komplement (ohne) Die Verknüpfung von Mengenoperationen muß nach folgenden Regeln geschehen: A È B = B È A (Kommutativgesetz) (A È B) È C = A È (B È C) =: A È B È C (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C) =: A Ç B Ç C (Assoziativgesetz) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A Ç C) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) (Distributivgesetz) A È A = A, A Ç A = A (Idempotenzgesetz) A Ç W = A, A È Æ = A " A Ì W (neutrale Elemente) A Ç Æ = A, A È W = W " A Ì W (dominante Elemente) A \ B = A Ç Bc, A Ç Ac = Æ, A È Ac = W, Acc = A (Komplemente) de Morgansche Formeln: (1) (2) Zwei Mengen A und B, die kein gemeinsames Element besitzen, heißen disjunkt, s.h. für sie gilt A Ç B = Æ Als kartesisches Produkt der Mengen A und B bezeichnet man die Paarmenge A ´ B : = {(a,b) ; a Î A, b Î B}. (a,b) heiße geordnetes Elementpaar. Dabei kommt es auf die Reihenfolge der Elemente an, es handelt sich also um geordnete n-Tupel. Entsprechend gilt: A1 ´ A2 ´ ... ´ An : = {(a1, a2, ..., an ) ; ai Î A (i = 1, 2, ..., n) } Im Fall A1 = A2 = ... = An = A schreibt man dafür An. Die Potenz ist also für Mengen definiert. Das Produkt der Mengen A : ={1, 2, 3} und B : ={3, 0}ist die Menge A ´ B : = {(1, 0), (1, 3), (2, 0), (2, 3), (3, 0), (3, 3) }. 1.2 Relationen & Abbildungen 1.2.1 Relationen Eine Relation R auf einer Menge M heiße (a) reflexiv: Û es gilt xRx "x Î M (b) symmetrisch: Û xRy impliziert stets yRx (c) antisymmetrisch: Û xRy und yRx gelten genau dann, wenn x = y (d) transitiv: Û xRy und yRx implizieren stets xRz (e) alternativ: Û es gilt xRy oder yRx Eine Relation R auf einer Menge M heiße · Aquivalenzrelation: Û R ist reflexiv, symmetrisch und transitiv. · Ordnungsrelation: Û R ist reflexiv, antisymmetrisch und transitiv. Das Paar (M, R) heiße geordnete Menge. Ist R darüber hinaus noch alternativ, so heiße (M, R) vollständig (oder linear) geordnet. Rechenregeln der Ordnungsrelation. Für a, b, c, d Î |R gilt: (1) ab > 0 Û (a >0 und b > 0) oder (a < 0) und b< 0); (2) a > 0 und b > 0 Þ a + b > 0, a > 0 Û -a < 0; (3) a £ b und b £ a Û a = b; (4) a ¹ 0 Û a2 > 0; (5) a < b und c < d Þ a + c > b + d und a - d < b - c; (6) 0 £ a < b und 0 £ c < d Þ 0 £ ac < bd; (7) 0 < a < b Þ 0 < < ; Vorsicht bei Kehrwerten ! (8) b < a < 0 Þ < < 0; Vorsicht bei Kehrwerten ! (9) a < b Þ a < ( a + b) < b; (10) 0 £ a < b Þ 0 £ an < bn " n Î N; (11) a < b + e " e < 0 Þ a £ b. Beachte das Gleichheitszeichen ! 1.2.2 Abbildungen A und B seien Mengen. Eine Abbildung (Funktion) ¦ von A nach B, i.Z.: ¦: A à B (oder x a¦(x), x Î A) ist eine Vorschrift, die jedem Element x Î A genau ein Element ¦(x) Î B zuordnet. Man nennt A den Definitionsbereich und die Elemente von A die Argumente der Abbildung. ¦(x) heißt Bild von x unter ¦ (oder Funktionswert an der Stelle x). · surjektiv (oder Abbildung auf), wenn gilt: · injektiv (oder eindeutige Abbildung auf), wenn gilt: In Worten: Jedes Bild y Î ¦(M) hat genau ein Urbild x Î M Gehören zu verschiedenen Argumenten stets verschiedene Bilder, dann heißt ¦ injektiv · bijektiv (oder eineindeutige Abbildung auf), wenn ¦ injektiv und surjektiv ist. Ist ¦ bijektiv, so existiert die Umkehrabbildung ¦-1: B à A. Jedem y Î B wird das durch y = ¦(x) eindeutig bestimmte x Î A zugeordnet. Die auf jeder Menge A erklärte Abbildung Id: A à A, Id(x) := x für alle x Î A heißt identische Abbildung (oder Identität) auf A. 1.3 Die reellen Zahlen 1.3.1 Bezeichnungen Die Menge aller reellen Zahlen wird mit |R bezeichnet. Besonders gekennzeichnete Teilmengen sind: |N = {1, 2, 3, 4, ...} (Menge der natürlichen Zahlen) |N0 = |N È {0} Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} (Menge der ganzen Zahlen} Q = {; m, n Î Z, n ¹ 0} (Menge der rationalen Zahlen) Dabei gilt |N Ì Z Ì Q Ì |R (jeweils mit echter Inklusion). Rationale Zahlen sind diejenigen reellen Zahlen mit einer endlichen (oder periodisch unendlichen) Dezimalbruchdarstellung (¾, 0.12123, ). Irrationale Zahlen sind solche mit einer unendlichen nichtperiodischen Dezimalbruchdarstellung (0.12345..., 0.101001000..., ). 1.3.2 Ungleichungen Unter einer Ungleichung (für Zahlen x, y Î |R) verstehen wir einen Größenvergleich der Form x < y (x ist kleiner als y) oder x £ y (x ist kleiner oder gleich y; x ist nicht größer als y); Elementare Ungleichungen: 2ab £ ea2 + b2 " a, b Î |R "e > 0. (a + b)2 £ 2a2 + 2b2 " a, b Î |R. ab £ " a, b Î |R. n < an " a ³ 2 " a Î N. 1 + na £ (1 + a)n " a ³ -1 " n Î N. (BERNOULLI - Ungleichung) CAUCHY - SCHWARZsche Ungleichung: Gegeben seien n Î N und beliebige relle Zahlen a1, a2, ..., an sowie b1, b2, ..., bn. Dann gilt: Trick: Da ak = ak - bk mit Wurzelausdrücken ak, bk gilt, sollte man stets eine Erweiterung mit ak + bk vornehmen ! ; Wurzeln im Zähler verschwinden ! 1.3.3 Intervalle Seien a, b Î |R mit a < b. Die Menge [a, b] : = { x Î |R ; a £ x £ b } heißt abgeschlossenes Intervall mit Randpunkten a, b. Im offenen Intervall (a, b) : = { x Î |R ; a < x < b }sind a, b nicht enthalten. Analog sind die halboffenen Intervalle (a, b] und [a, b) definiert. Zur Vermeidung von Fallunterscheidungen ist es günstig, noch zwei Symbole -¥, ¥ (minus Unendlich, plus Undendlich) einzuführen und hierfür -¥ < x < ¥ für alle x Î |R festzulegen. Ein Intervall ist also auf der Seite mit einem ¥-Zeichen immer offen. Für reelle Zahlen x, y Î |R und für d(x, y):= |x- y| gelten · d(x, y) ³ 0 und (d(x, y) = 0 genau dann, wenn x = y); · d(x, y) = d(y, x); · d(x, y) £ d(x, z) + d(z, y) (Dreiecksungleichung 1.3.4 Signum und Betrag Für reelle Zahlen x Î |R heiße das Signum von x. Der Betrag |a| einer reellen Zahl a Î |R ist definiert durch Rechenregeln: 1.3.5 Schranken Gegeben sei eine nichtleere Teilmenge M Ì |R . · M heiße nach unten beschränkt : Û a Î |R : a £ x x Î M Jedes solche a heiße untere Schranke von M. · M heiße nach oben beschränkt : Û b Î |R : x £ b x Î M Jedes solche b heiße obere Schranke von M. · Gibt es eine größte untere Schranke s von M, so heiße s das Infimum von M s = inf M. · Gibt es eine kleinste obere Schranke S von M, so heiße S das Supremum von M S= sup M. 1.3.6 Die vollständige Induktion Die Gültigkeit einer Aussage A(n) für jede ganze Zahl n ³ n0 mit vollständiger Induktion nachzuweisen bedeutet: 1. Der Induktionsanfang: Man zeigt, daß A(n) für n = 0 gilt. 2. Vererbung (Schluß von n auf n+1): Für ein beliebiges n ³ n0 setzt man die Gültigkeit von A(n) voraus (Induktionsanfang) und leitet daraus die Gültigkeit von A(n+1) ab. Þ Dann ist A(n) für alle n wahr. 1.3.7 Binominalkoeffizienten und die binomische Formel Definition: Für zwei ganze Zahlen n,k mit bezeichnet man die ganze Zahl n über k als Binominalkoeffizient. Einfacher kann man die Werte der Binomialkoeffizienten aus dem sog. Pascalschen Dreieck ablesen: Binomische Formeln: 1. a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 2. a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 3. a2 - b2 = (a + b)(a - b) (Halb-binomische Formel) Trick: Quadratisches Ergänzen ax2 + bx + c = Trick: Schnelles Lösen quadratischer Gleichungen x2 + (a+b)x + ab = (x - a) (x - b) Satz: Die binomische Formel Für beliebige Zahlen a,bÎ |R und jede ganze Zahl n³0 gilt Methode: · a hat anfangs den Wert n b den Wert 0. · Addiere ein weiteres Glied mit a-1, b+1, bis nur noch b bleibt (mit dem Wert n). · Zu jedem Glied kommt noch ein Binomialkoeffizient. Beispiel: 1.3.8 Elemente der Kombinatorik: Satz: Eine Menge mit n Elementen besitzt verschiedene k-elementige Teilmengen. Mit anderen Worten: Es gibt Möglichkeiten, aus insgesamt n Objekten genau k auszuwählen. Beispiel: Im Lotto „6 aus 49“ gibt es verschiedene Möglichkeiten 6 „Richtige“ zu ziehen. Folgerungen: Aus obiger Definition folgt die vereinfachende Beziehung: und die Rekursionsformel: 1.3.9 Potenzgesetze (1) anam = an*m, (2) ambm = (ab)m, (3) (am)n = amn 1.3.10 Summenformeln Geometrische Summenformel Seien q Î |R und n Î N0 fest gewählt. Die Formel gilt für beliebige komplexe Zahlen q. Arithmetische Summenformel (feste Schrittweite) mit d = konst (Schrittweite) Weitere interessante Summen: ; ; ; Reelle Lösungen von xn = a Î |R a ³ 0 n = 2m (n gerade) n = 2m + 1 (n ungerade) a £ 0 n = 2m (n gerade) keine reelle Lösung n = 2m + 1 (n ungerade) Arithmetisch - geometrisches Mittel: Für gegebene reelle Zahlen a1, a2, ..., an mit ak ³ 0 stets Die Zahl A heißt arithmetisches Mittel der ak, die Zahl G heißt geometrisches Mittel der ak. 1.4 Komplexe Zahlen 1.4.1 C als Menge geordneter Paare Merke: C ist ein Körper, der nicht geordnet ist. Die Ordnungsaxiome für £ können in C nicht gelten. Zum Beispiel müßte aus i ¹ 0 nach den Rechenregeln der Ornungsrelation -1 = i2 > 0 gelten, was offenkundig widersprüchlich ist. Für jede komplexe Zahl z = x + iy Î C heiße: · x =: Re z der Realteil von z, · y =: Im z der Imaginärteil von z, · |z| := der Betrag von z, · := x - iy die zu z konjugiert komplexe Zahl. Addition in C: z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2). Multiplikation in C: z1 × z2 = (x1 x2 - y1 y2) + i(x1y2 + x2 y1). Division in C für z2 ¹ 0 (Û ¹ 0): = = = . Zusammenfassung der Rechenregeln für komplexe Zahlen z1, z2, z3 Î C: (a) Re z = (z + ), Im z =(z - ); (b) = ± , = × , = für z2 ¹ 0; (c) | z | = ||, z × = | z |2 = | z2| ³ 0; (d) | z1 × z2| = | z1 || z2|, = für z2 ¹ 0; (e) || z1 | - | z2|| £ | z1 + z2| £ | z1 | + | z2|; (Dreiecksungleichung) (f) £ , zk Î C. (verallg. Dreiecksungleichung) Potenzen von z: z0 := 1" z Î C, zn := (x + iy)n = " z Î C, n Î N, z - n := " 0 ¹ z, n Î N. Es gilt: i1 = i; i2 = -1; i3 = -i; i4 = 1. Und allgemein: i4n+k = ik. allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen: z2 = a + ib Û z± = ± . 1.4.2 Die GAUSSsche Zahlenebene. Polardarstellung Polardarstellung: Die Darstellung z = r(cosj + isinj) der komplexen Zahl z = x + iy mit heiße Polardarstellung von z. Der Winkel j heißt das Argument von z, geschrieben j = arg z für z ¹ 0. Für z = 0 ist kein Argument erklärt. 1.4.3 Die komplexe Exponentialfunktion Für j Î |R setzen wir exp(ij) := ¦(j) = cosj + isinj, kurz exp(ij) = eij. Jede komplexe Zahl |z| = r und arg z = j gestattet jetzt die Polardarstellung z = r eij = r ei(j+2kp), k Î Z. komplexe Exponentialfunktion C ® C ex := exp z = exp(x + iy) := ex(cos y + i sin y) " z := x + iy Î C. Rechenregeln für Polardarstellung komplexer Zahlen: · Konjugation: · Multiplikation: Beträge multiplizieren und Argumente addieren! · Division: Beträge dividieren und Argumente subtrahieren ! Beispiel: fürund ; . · Formeln von MOIVRE: Für z = r eij Î C mit z ¹ 0 gilt: . Insbesondere erhält man . Beispiel: . Kleiner TRIX: (k = 0,1,2,...,n-1) · n-te Wurzeln einer komplexen Zahl: Für z=r(cos j + i sin j) = reij gilt: sind die n n-ten Wurzeln aus z (kurz: ) . Die Wurzeln heißen die n-ten Einheitswurzeln. Ist eine bekannte Lösung der Gleichung zn = c ¹ 0, so erhält man alle Lösungen gemäß worin ek die n-ten Einheitswurzeln sind. Wichtiger Spezialfall: zn = an , d.h. zk = a * ek, k = 0,1,...,n-1. 1.5 Die Ebene 1.5.1 Winkel Der Winkel a entstehe durch Drehung eines Zeigers um einen Punkt der Ebene. Die Länge des zugehörigen Einheitskreisbogens sei l. Wir nennen l, bzw. -l, das Bogenmaß von a und schreiben a=l, bzw a=-l, wenn die Drehung im positiven Sinn (gegen den Uhrzeigersinn), bzw. im Uhrzeigersinn, erfolgt. Ein Winkel von a° besitzt bei positiver Orientierung das Bogenmaß mit der Kreiszahl 2p ist der Umfang des Einheitskreises. Der zu a=l gehörende Kreisbogen mit dem Radius r hat die Länge lr. Mit jeder vollen Umdrehung wird der Winkel (genauer: das Bogenmaß des Winkels) um 2p vergrößert oder verkleinert. 1.5.2 Sinus, Cosinus Wird in der mit kartesischen (x,y) - Koordinaten versehenen Ebene der vom Ursprung zum Punkt (1,0) weisende Zeiger um den Winkel a gedreht (a im Bogenmaß a>0: gegen den Uhrzeigersinn bzw. a<0: im Uhrzeigersinn), dann bewegt sich die Spitze auf dem Einheitskreis (um 0) bis zu einem Punkt P, dessen Koordinaten mit cos a, sin a bezeichnet werden: P=(cos a, sin a). Die derart für alle a Î |R erklärten Funktionen a a cos a, a a sin a heißen Cosinus- bzw. Sinusfunktion. In einem beliebigen Dreieck DABC mit der Hypothenuse c, den Katheten a (Ankathete, b (Gegenkathete) gelten 1. Die Beziehungen: Diese Formeln sind Grundlage aller Dreiecksberechnungen. Etwas anders gelesen bedeuten sie: Für den anderen Winkel b=ÐACB gilt dementsprechend: 2. Der Cosinussatz: 3. Der Sinusatz: Tabelle nützlicher Werte von sin und cos, ... : (Achtung: im III. und IV. Quadranten haben der sin und der cos genau die entgegengesetzen Vorzeichen!) Winkel I.+III. Quadrant Winkel II.+IV. Quadrant Sinus und Cosinus sind auf ganz |R erklärt Funktionen, für die die folgenden Rechenregeln gelten: (a) cos2j+sin2j=1 (Satz des Pytagoras) (b) sin(-j) = -sinj, cos(-j)=cosj, (Parität ungerade/gerade) (c) sin(j + 2kp) = sinj, cos(j + 2kp)=cosj, " k Î Z (Periodizität) (d) sin(a ± b) = sinacosb ± cosasinb (Additionstheorem) (Þsin2a = 2sinacosa) (e) cos(a ± b)=cosacosb ± sinasinb (Additionstheorem) (Þcos2a = cos2a - sin2a) (f) Ist a2 + b2 = 1 für a, b Î |R, so $ ein j Î |R mit a = cosj und b = sinj. Dabei ist j eindeutig bis auf Vielfache von 2p bestimmt. D.h.: Der Hauptwert jH ist eindeutig bestimmt. Entsprechende Formeln für die Hyperbelfunktionen: cosh2 x - sinh2 x = 1; tanh x * coth x = 1; sinh(-x) = -sinh x; cosh(-x) = cosh x; tanh(-x) = -tanh x; coth(-x) = -coth x; Entsprechende Formeln für Areafunktionen: Arsinh(-x) = -Arsinh x Artanh(-x) = -Artanh x Arcoth(-x) = -Arcoth x 1.5.3 Drehungen Drehungen des Koordinatensystems Das kartesische (x´, y´)-Koordinatensystem entstehe aus dem (x, y)-System durch eine Drehung um den Ursprung mit dem Winkel a. Hat ein Punkt X im ursprünglichen System die Koordinaten (x, y) und im gedrehten System die Darstellung X = (x´, y´), so gelten die Transformationsformeln: X im ursprünglichen System; X im gedrehten System; Die entsprechende Rotationsmatrix hat folgendes Aussehen: Sie beschreibt eine Drehung der pq-Ebene um den Winkel j. Drehung der Ebene Wir halten nun das kartesische Koordinatensystem fest und bilden jeden Punkt X = (x, y) durch eine Drehung mit Winkel a um den Ursprung auf X´ = (x´, y´) ab. Dieser Bildpunkt besietzt in dem Koordinatensystem, das sich mit derselben Drehung aus dem (x, y) - System ergibt, die Koordinaten (x, y); demnach folgt aus den obigen Transformationsformeln durch Vertauschung von x mit x´und y mit y´: Die Drehung der Ebene um den Winkel a (bei festem Koordinatensystem): 2 Vektoren 2.1 Kartesische Koordinatensysteme im Raum 2.2 Vektoren Zu je zwei Punkten P und Q des Raumes gibt es genau eine Parallelverschiebung (des Raumes), die P nach Q abbildet. Diese Verschiebung wird mit bezeichnet und heißt „Vektor von P nach Q“. Die Länge ist der Abstand des Punktes P von Q. Zwei gleich lange und gleich gerichtete Pfeile im Raum stellen somit denselben Vektor dar. Anstelle „der Pfeil repräsentiert einen Vektor“ sagt man kurz „ ist ein Vektor“ und berücksichtigt, daß im Raum frei parallel verschoben werden kann und nicht an einen festen Anfangspunkt gebunden ist. Den zu gleich langen, aber entgegengesetzt gerichteten Vektor bezeichnen wir mit -; er macht die durch bewirkte Parallelverschiebung rückgängig. Zur Vermeidung von Fallunterscheidungen wird der Nullvektor eingeführt. bezeichnet die „Verschiebung“ des Raumes, bei der gar nichts bewegt wird. 2.3 GAUSS - Algorithmus 2.4 Skalarenvektoren und Vektroräume 2.5 Untervektorräume Sei V ein Vektorraum über K. Eine Teilmenge 0 ¹ U Í V heiße Unter(vektor)raum von V (kurz: UR), wenn gilt: (a) (b) Es sei V ein VR über K, und Î V sei fest gewählt. Die Menge ist ein UR von V, und dieser heiße der von aufgespannte Unterraum oder der Spann von . Es sei V ein VR über K, und U1,U2 seien zwei UR von V. Dann gilt: U1ÇU2 ist stets ein Unterraum von V. Gegeben sei ein Vektorraum V über K. Für nichtleere Teilmengen U1,U2 Í V heiße Sind U1,U2 zwei UR von V, so ist auch die Summe U1 + U2 ein UR von V. Sind U1,U2 zwei UR von V, so heiße die Summe U1 + U2 direkt, falls gilt: U1ÇU2 =. Ist speziell V = , so heiße die direkte Zerlegung von V in die Komponenten U1 und U2. 2.6 Lineare Abhängigkeit Ein Vektor Î V, der sich in der folgenden Form schreiben läßt: heiße Linearkombination (LK) von ,, ... . Die Skalare l1, l2, ..., lm heißen Koeffizienten der LK. Im Falle m = 1 heiße skalares Vielfaches von . Es sei V := R4 gesetzt. Aus folgt, daß eine LK der Vektoren ,,, mit Koeffizienten 5, -2, 3, -1 ist. Es sei V := Kn. Bezeichnet 1 das Einselement der Multiplikation in K, so setzen wir: Dann folgt: Das heißt, jeder Skalarenvektor Î Kn, kann als LK der Einheitsvektoren , , ..., dargestellt werden. die Menge aller LK der Vektoren ,, ... einen Unterraum U Í V. Dieser heiße die lineare Hülle der Vektoren ,, ... oder der von ,, ... augespannte Unterraum oder kurz der Spann der Vektoren ,, ... : Es gilt: Beispiel: für n = 2: =, denn jeder der Vektoren ist selbst eine LK der beiden Einheitsvektoren. Es sei V ein beliebiger VR über K. Ferner seien Vektoren und V ' fixiert. Dann heiße U := Gerade in V durch , U := Ebene in V durch . Ein Vektorensystem ,, ... Î V heiße linear unabhängig (LU) genau dann, wenn jeder Vektor genau eine LK aus den Vektoren ,, ... besitzt. Andernfalls heiße das System ,, ... linear abhängig (LA). Gegeben sei ein Vektorraum V über K und ein Vektorsystem V. Dann gilt: ,, ... sind LA Û In sind nicht sämtliche lj = 0. Das heißt, es existiert eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors. ,, ... sind LU Û Aus folgt stets l1 = l2 = ... = lm = 0. Das heißt, es existiert nur die triviale Darstellung des Nullvektors. Prüfverfahren auf lineare Unabhängigkeit: Es sei V ein Vektorraum über K und ,, ... Î V ein Vektorsystem. (a) Das Vektorsystem , ,, ... ist stets LA. (b) Sind ,, ... ist LU, so gilt dies auch für das System ,, ... . (Erhalt der LU bei Verkürzung.) (c) Sind ,, ... ist LA, so gilt dies auch für das System ,, ... , "Î V. (Erhalt der LA bei Verlängerung.) Folgerung: Im Vektorraum V := Kn sind n+1 Vektoren ,, ... . stets LA. Denn in dem homegenen linearen Gleichungssystem (,, ... |) ist die Anzahl n+1 der Spalten größer als die Anzahl n der Zeilen. In diesem Fall kann das Staffelsystem niemals vom Typ 0 sein. Austauschsatz: ,, ... , , Es sei V ein Vektorraum über K und ,, ... Î V sowie, , ..., zwei linear unabhängige Vektorsysteme. Dann gibt es paarweise verschiedene Indizes j1, j2, ..., jl Î{1, 2, ..., m+1}derart, daß das Vektorsystem linear unabhängig ist. 2.7 Dimension und Basis (siehe auch SCHMIDTsches Orthonormalisierungsverfahren und Orthonormalbasis). Es sei V ein Vektorraum über K. Ein Vektorsystem ,, ... Î V heiße Basis von V der Länge n, wenn gilt: (1) ,, ... ist LU, (2) V = span{,, ... }. Die zu jedem Î V eindeutig bestimmten Skalare lj Î K mitheißen Komponenten von in der Basis ,, ... . Ein Vektorraum V über K hat die (endliche) Dimension n, wenn in V eine Basis der Länge n existiert. In diesem Fall schreibt man n = dim V < ¥ Standardbasis: Es bezeichne 1 das neutrale Element der Multiplikation in K. Dann bilden die Einheitsvektoren in V := Kn eine Basis: Es gilt dim Kn = n. Das obige System der Einheitsvektoren , , ..., ist eine Basis von Kn. Dieses Basis , , ..., heiße die Standardbasis von Kn. Jeder Vektor hat in der Standardbasis die Darstellung Das heißt, die Komponenten von in der Standardbasis sind gerade die Skalare xk Î K. Cartesische Basis: 2.8 Polynome Eine Abbildung Pn: C àC mit n |N0 und heiße ein komplexes Polynom n-ten Grades. Eine Abbildung Pn: |R à |R jedoch mit ak Î |R und z = x Î |R heiße ein reelles Polynom n-ten Grades. Man sagt: P0(z) : = a0 heiße konstantes Polynom oder Konstante P1(z) : = a0 + a1z heiße lineares Polynom P2(z) : = a0 + a1z + a2z2 heiße quadratisches Polynom P3(z) : = a0 + a1z + a2z2 + a3z3 heiße kubisches Polynom 2.8.1 Euklidscher Teileralgorithmus (Polynomdivision): Abspaltung eines Linearfaktors: Es sei ein Polynomvom Grade n ³ 1 gegeben, ferner ein festes Element z0 Î K. Es seien bk, k = 0, 1, ..., n-1, die mit dem HORNER - Schema berechneten Koeffizienten. Dann gilt: . Das lineare Polynom z - z0 heiße Linearfaktor. Im obigen Beispiel hat also P4(x) : = 4x4- 3x3 + x - 10 nach Abspaltung des Linearfaktors (x + 3) die Form: (x + 3) (4x3 - 15x2 + 45x - 134) + 392. 2.8.3 TAYLOR - Entwicklung: Die folgende Darstellung heiße die TAYLOR-Entwicklung des Polynoms P an der Stelle z0. Die Koeffizienten erhält man durch fortgesetzte Anwendung des HORNER-Schemas mit z = z0. Dabei entsteht das vollständige HORNER - Schema. Aus den eingerahmten Koeffizienten ergibt sich die TAYLOR - Entwicklung des Polynoms P4(x) an der Stelle x0 = -3 in der Form: 2.8.4 Nullstellen von Polynomen Fundamentalsatz der Algebra Jedes Polynom Pn Î C vom Grade n ³ 1 besitzt in mindestens eine Nullstelle. Linearfaktorzerlegung: · Pn Î K[z] hat in K höchstens n Nullstellen, wobei jede Nullstelle so oft gezählt wird, wie ihre Vielfachheit angibt. · Pn Î C[z] hat in C genau n Nullstellen. · Pn Î C[z] gestattet die Linearfaktorzerlegung Identitätssatz für Polynome Falls Pn(zj) = Qn(zj) für n+1 verschiende zj Î K gilt, j = 1, 2, .., n+1, so muß Pn(z) = Qn(z) " z Î K gelten, also auch ak = bk " k = 0, 1, ..., n VIËTAsche Wurzelsätze für Pn Î C[z]: Rationale Nullstellen Die rationalen Nullstellen eines Polynoms mit ai Î Z findet man unter den Brüchen (a, b Î Z), in denen a ein Teiler von a0 und b ein Teiler von an ist. Beispiel: Die rationalen Nullstellen von liegen in der Menge Hat das Polynom Pn(x):= Î Z[x] mit ganzzahligen Koeffizienten ak Î Z ganzzahlige Nullstellen xk Î Z, so sind diese Teiler des Koeffizienteen a0 (wobei auch die trivialen Teiler 1, a0 zulässig sind). Im Falle, daß alle Koeffizienten das gleiche Vorzeichen haben, muß die Nullstelle logischerweise negativ sein (Einschränkung der Lösungsmenge um 50% !). Primpolynom Ein Polynom Pn Î K[z] vom Grade n ³ 1 heiße irreduzibel über K oder ein Primpolynom, wenn es keine Polynome Q, R Î K[z] gibt mit Grad Q < n, Grad R < n und Pn(z) = Q(z)× R(z) " z Î K.
Quellenangaben des Verfassers