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5609 Mathematik der Funktionen Mathematik 11 2 4689
Kurzbeschreibung
Mathematik Skriptum über Funktionen, Funktionstypen, Rationale Funktionen, Irrationale Funktionen, Transzendente Funktionen, Funktionsveränderungen, Nullstellen, Beispiele, Formelsammlung, viele Skizzen wirklich gutes Skriptum
Inhalt des Referats
1.1 Variablen und Mengen E ine Funktion ist eine Menge geordneter Paare (x;y). Sie ist eine eindeutige Zuordnung, d.h. jedem x-Wert wird nur ein einziger y-Wert zugeordnet. Jede senkrechte Gerade darf also den Graphen der Zuordnung/Funktion höchstens einmal schneiden. Dabei spielen die Namen der Variablen keine Rolle. Häufig (v.a. in der Physik) wird statt x die Variable t (für die Zeit) verwendet. Grundsätzlich gibt es eine unabhängige Variable und eine abhängige Variable. Meist ist y als Funktionswert die abhängige Variable (sie ist von x abhängig) und x (t,s,etc.) die unabhängige Variable (sie wird willkürlich gewählt). Die unabhängige Variable kommt aus der Definitionsmenge[1] D, die abhängige Variable wird der Wertemenge[2] W entnommen. Diese enthält alle Abbildungen der unabhängigen Variablen unter f, d.h. D wird abgebildet auf W (D®W). Man kann D und W bestimmten Funktionen zuordnen, z.B. ist Df die Definitionsmenge von f(x) oder Wh die Wertemenge von h(x). Die Darstellungsweisen y=3x und f(x)=3x sind grundsätzlich identisch. Beide bezeichnen: (jedem x wird sein Dreifaches zugeordnet). Die Darstellungsweise y=... ermöglicht das Rechnen mit beiden Seiten der Gleichung, z.B. bei der Darstellung eines Kreises: . Man beachte, daß es sich nicht um eine Funktion handelt! Lediglich f(x)=... weist immer auf eine Funktion hin, z.B.: (Halbkreisfunktion)[3]. Die Aufgabe der unabhängigen Variablen ist die eines Platzhalters. So wird die Variable durch die Zahl ersetzt, deren Funktionswert wir ermitteln wollen. Suchen wir z.B. von den Funktionswert von (-2), so ersetzen wir alle x durch (-2): . 1.2 Monotonie G ilt für eine Funktion, daß auf dem Interval I der jeweils rechts von f(x1) folgende Funktionswert f(x2) größer oder gleich ist, so ist die Funktion auf dem Intervall I monoton steigend: . Monoton fallend ist sie dagegen wenn der umgekehrte Fall vorliegt, also jeder Funktionswert rechts von f(x1) kleiner oder gleich ist: , mit . Abbildung 1-1 Beispiele zur Monotonie Streng monoton steigend ist eine Funktion, wenn gilt ; streng monoton fallend, wenn gilt: , mit . (Hier reicht es also nicht, wenn der Funktionswert gleich bleibt!) Das Intervall I heißt Monotonieintervall. Der entsprechende Teil des Graphen heißt dann Monotoniebogen. Abbildung 1-2 Beispiele zur Umkehrfunktion 1.3 Umkehrfunktionen (Inverse Funktionen) E ine Umkehrfunktion läßt sich nur von einer eindeutig umkehrbaren Funktion bilden, so daß also wieder eine Funktion entsteht. Funktionen sind anschaulich eindeutig umkehrbar, wenn jede waagerechte Linie den Funktionsgraphen höchstens einmal schneidet, also jedem y-Wert nur ein x-Wert zugeordnet wird. Mathematisch ausgedrückt heißt das: eine Funktion ist eindeutig umkehrbar, wenn aus folgt, daß , womit streng monotone Funktion eindeutig umkehrbar sind. Nicht-stetige Funktionen[4] können auch eindeutig umkehrbar sein, wenn sie nicht streng monoton sind. So ist die Funktion aus Abbildung 1-2a zwar nicht monoton für die gesamte Definitionsmenge, sondern nur auf den Teilintervallen [-¥;0] (streng monoton steigend) und [0;+¥] (streng monoton fallend), aber doch eindeutig umkehrbar! Denn jedem y-Wert wird nur ein x-Wert zugeordnet. Dies wurde dadurch möglich, daß f in zwei verschiedenen Gleichungen für beide Intervalle ausgedrückt ist, und dadurch ein “Sprung” des Graphen bei x=0 entsteht: (Intervallweise definierte Funktion) Derartige Fälle der intervallweisen Definition sind z.B. in naturwissenschaftlichen Prozessen häufig zu finden. Abbildung 1-3 Umkehrung der Zuordnung x®y=f(x) durch f(y)=x®y Bildet man die Umkehrfunktion, so werden alle Lösungspaare vertauscht: Aus (x;y) wird (y;x) (siehe Abbildung 1-3). D.h. wurde z.B. vorher der Zahl x=2 der Wert y=4 zugeordnet, so wird jetzt der Zahl y=4 der Wert x=2 zugeordnet. Gewohnheitsmäßig werden dann zusätzlich die Variablennamen mitvertauscht, so daß dann der Zahl x=4 der Wert y-1=2 zugeordnet wird. Ebenfalls vertauscht werden Definitions- und Wertemenge: Df wird zu und W wird zu . G Die Umkehrfunktion wird ermittelt, indem die Funktionsgleichung nach der unabhängigen Variablen (x) aufgelöst wird, und dann diese mit der abhängigen Variablen (y) vertauscht wird (siehe auch Abbildung 1-2): Zeichnerisch wurde der Graph an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten, y=x, gespiegelt.[5] Nicht eindeutig umkehrbare Funktionen können aber auch ohne weiteres für Teilintervalle, in denen der Funktionsgraph streng monoton verläuft, invertiert werden, z.B. f(x)=sinx (I=[0;p/2]) oder f(x)=x2 (I=[0;+¥)).[6] G Es ist manchmal sinnvoll zu wissen, welche Funktionen zueinander invers sind. Die meisten Taschenrechner haben nur eine “ln” (logarithmus naturalis)-Taste, aber keine für “e”. Da aber die meisten Taschenrechner eine INV-Taste[7] haben, kann man ohne weiteres die Werte für ln-1x , also ex, ausrechnen! Z.B. ergibt “2-INV‑ln” in der Anzeige 7,389, was e2 entspricht. Das gleiche gilt für sin-1, cos-1, tan-1 und log-1 (eigentlich “lg”, d.h. zur Basis 10!). 1.4 Stetigkeit E ine Funktion f(x) ist anschaulich stetig, wenn der Graph ohne Unterbrechungen, wie Lücken[8] oder Sprünge gezeichnet werden kann. G Eine Funktion f(x), deren Definitionsbereich eine Umgebung der Stelle x=c enthält, ist an der Stelle x=c genau dann stetig, wenn drei Bedingungen erfüllt sind: 1) Die Funktion ist für x=c definiert, d.h. f(c) existiert; 2) Der Grenzwert existiert: 3) Es gilt f(c)=g Gelten die drei Bedingungen für alle xÎD, so ist diese Funktion über dem gesamten Definitionsbereich stetig.[9] Beispiele: 1. Die Funktion ist an der Stelle x=2 unstetig. Zwar ist vorhanden, aber f(1) existiert nicht![10] 2. Die Gaußklammerfunktion y=f(x)=x[x] (Abbildung 2-12b) ist z.B. an der Stelle x=2 definiert: f(2)=2. Es gilt aber: , d.h., ist nicht vorhanden. Die Funktion ist bei x=2 und jedem weiteren ganzzahligen Wert unstetig. 1.5 Symmetrien D Abbildung 1-4 Symmetrische Funktion ie Graphen von Funktionen können Symmetrien zu Punkten und vertikalen Geraden aufweisen. Interessant sind vor allem die Graphen von Funktionen, die punktsymmetrisch zum Ursprung (Nullpunkt des Koordinatensystems) oder achsensymmetrisch zur y-Achse (Ordinate) liegen. Für eine ursprungssymmetrische Funktion gilt: f(x)=-f(-x). Sie heißt definitionsgemäß ungerade Funktion (Abbildung 1-4).[11] G Ganzrationale Funktionen, die ausschließlich ungerade Exponenten aufweisen, sind grundsätzlich punktsymmetrisch zum Ursprung, z.B. .[12] Für eine y-Achsensymmetrische Funktion gilt: f(x)=f(-x). Sie heißt definitionsgemäß gerade Funktion (Abbildung 1-5). G Abbildung 1-5 y–Achsensymmetrische Funktion Ganzrationale Funktionen, die ausschließlich gerade Exponenten enthalten, sind grundsätzlich symmetrisch zur y-Achse, z.B.: .[13] Funktionsgraphen können aber auch zu anderen vertikalen Achsen oder zu anderen Punkten symmetrisch sein (nicht jedoch zu horizontalen Achsen, dann wären es ja keine Funktionen mehr). Wie Abbildung 2-3a zeigt, liegt z.B. die Funktion punktsymmetrisch zum Punkt (-1;0).[14] 1.6 Asymptoten A Abbildung 1-6 Funktionssgraph mit vertikalen und horizontalen Asymptoten ls Asymptoten bezeichnet man Funktionen, an die sich der Graph einer anderen Funktion für x®±¥ annähert. Im folgenden sollen hier nur lineare Asymptoten behandelt werden, d.h. vertikale, horizontale oder schiefe Asymptoten. Nicht jeder Funktionsgraph hat zwangsläufig Asymptoten! Häufig treten sie bei den gebrochenrationalen Funktionen auf, überhaupt bei Verknüpfungen von Funktionen durch Quotientenbildung, z.B. , mit periodischen, vertikalen Asymptoten (Polstellen) für Abbildung 1-7 Funktionsgraph mit vertikaler und schiefer Asymptote 1.6.1 Vertikale Asymptoten Unter vertikalen Asymptoten versteht man senkrechte Geraden. Der Graph nähert sich einer vertikalen Asymptote bei y®±¥ an, wenn x®xp. xp ist der x-Wert, durch den die Asymptote geht, er heißt Polstelle. Vertikale Asymptoten werden mit x=xp bezeichnet. G Vertikale Asmptoten können von Funk­tionsgraphen nicht geschnitten werden, da sonst keine eindeutige Zuordnung vorliegt![15] 1.6.2 Horizontale Asymptoten An horizontale Asymptoten nähert sich der Graph einer Funktion bei x®±¥ an. Dabei sind die horizontalen Asymptoten für plus und minus Unendlich nicht immer gleich. Eine solche waagerechte Gerade kann vom Funktionsgraphen mehrmals geschnitten werden, bevor der Graph asymptotisch wird und sich der horizontalen Asymptote von oben oder unten annähert. Horizontale Asymptoten werden mit einer konstanten Gleichung ausgedrückt (z.B. y=2). 1.6.3 Schiefe Asymptoten[16] Der Funktionsgraph kann sich gegen x®±¥ auch Geraden nähern, die eine “normale” Steigung aufweisen, also 0<|m|<+¥. Sie werden durch einfache lineare Gleichungen beschrieben, z.B. für Abbildung 1-7 mit A(x)=yA=x oder . 2 Funktionstypen 2.1 Algebraische Funktionen A ls algebraisch gilt eine Funktion, die aus einer begrenzten Anzahl von Summen, Differenzen, Multiplikationen, Divisionen und Wurzeln besteht, die die Form xn enthalten. 2.1.1 Rationale Funktionen 2.1.1.1 Ganzrationale Funktionen (Polynom-Funktionen) Abbildung 2-1 Graphen verschiedener ganzrationaler Funktionen 2.1.1.1.1 Allgemeines Wie der Name “Polynom-Funktionen” schon sagt, setzen diese Funktionen sich aus vielen unterschiedlichen Gliedern zusammen. Je nach Anzahl der Glieder ist eine solche Funktion ersten Grades, zweiten Grades, dritten Grades usw. Glieder sind zum Beispiel a1x oder allgemein aixi. Sie werden durch einen Index unterschieden, da das erste Glied ein x in der ersten und das zweite ein x in der i-ten Potenz enthält. Das größte auftretende Gleid heißt häufig anxn. Koeffizienten sind die Zahlen, die in den einzelnen Gliedern vor der Variablen stehen. Die Funktion hat die Koeffizienten[17] 3, 7, -1 und -107. Da das letzte Glied keine Variable enthält (denn x0=1), wird es auch additive Konstante genannt (da die konstante Zahl 107 subtrahiert wird). Die anderen Koeffizienten sind multiplikative Konstanten (da die Variable mit ihnen multipliziert wird: 3 ist im Beispiel multiplikative Konstante im kubischen Glied). Der Grad einer ganzrationalen Funktion bestimmt sich dabei aus der Anzahl der Glieder, die eine Variable enthalten, bzw. stimmt mit dem größten Exponenten überein. Achtung: Auch Glieder mit dem Koeffizienten 0 sind Glieder und müssen gezählt werden; z.B. ist f(x)=x2 eine Funktion zweiten Grades, da der größte Exponent “2” ist. Auch die Summe der Glieder mit x ergibt zwei, denn eigentlich steht dort f(x)=1x2+0x+0) G Definitionsmenge und Wertemenge einer jeden Polynom-Funktion sind Â. Polynom-Funktionen sind stetig im gesamten Definitionsbereich. Sinngemäß heißen die sortierten Glieder einer Polynom-Funktion: konstantes Glied a0, lineares Glied a1x, quadratisches Glied a2x2 kubisches Glied a3x3, usw. 2.1.1.1.2 Allgemeine Ganzrationale Funktionen a) Ganzrationale Funktion nullten Grades: f(x)=k. Es ist eine konstante Funktion, d.h. der Graph ist eine Parallele zur x-Achse. Z.B. f(x)=3. Für jeden x-Wert gilt f(x)=3, d.h. jedem x-Wert wird der Wert 3 zugeordnet. (xà3) (Abbildung 2-1a). b) Ganzrationale Funktion ersten Grades: f(x)=mx+n. Es ist eine lineare Funktion (der Graph ist eine Gerade) mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt n (Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse). Z.B. f(x)=2x-3 (Abbildung 2-1a b). c) Ganzrationale Funktion zweiten Grades: f(x)=ax2+bx+c. Sie wird auch quadratische Funktion genannt.[18] Ihr Graph ist eine Parabel, z.B. f(x)=x2; die sogenannte Normalparabel (Abbildung 2-1a c). d) Ganzrationale Funktion dritten Grades (kubische Funktion): f(x)=ax3+bx2 +cx +d. Der Graph wird kubische Parabel genannt, z.B. f(x)=x3 (Abbildung 2-1a d). e) Die allgemeinen Formen ganzrationaler Funktionen höheren Grades lauten analog: vierten Grades[19]: f(x)=ax4+bx3 +cx2+dx+e fünften Grades: f(x)=ax5+bx4+cx3+dx2 +ex+f sechsten Grades: f(x)=ax6+bx5+cx4+dx3+ex2+fx +g usw. Eine beliebige Polynom-Funktion (n-ten Grades): 2.1.1.1.3 Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten Einen Spezialfall bilden die Potenzfunktionen. Potenzfunktionen sind definiert als f(x)=xn, nÎN. Hier sind bis auf einen alle Koeffizienten gleich Null. Ist n gerade, dann ist auch die Funktion gerade, z. B. f(x)=x2 oder f(x)=x4 (Abbildung 2-1a, c,e). Bei ungeradem n ist auch die Potenzfunktion ungerade, z.B. f(x)= Abbildung 2-1a, d). Tabelle 1 Eigenschaften der Potenzfunktion y=xn mit n>0 Exponent Gerade (n=2m) Ungerade (n=2m+1) Definitionsbereich xΠxΠWertebereich yÎ[0;¥) yΠSymmetrie gerade Funktion ungerade Funktion Stetigkeit für xΠxΠMonoton fallend für xÎ(-¥;0] - - - - - - - Monoton steigend für xÎ(0;¥) xΠGemeinsame Punkte P1(1;1) O(0;0) P2(-1;1) P1(1;1) O(0;0) P3(-1;-1) 2.1.1.1.4 Verhalten der Polynomfunktionen im Unendlichen Für alle Polynom-Funktionen gilt: wenn x®±¥ geht, dann geht f(x)®±¥. Trotzdem kann man einer Polynom-Funktion ansehen, wann ihr Graph nach +¥ und wann nach -¥ verläuft. Entscheidend ist der Koeffizient im größten Glied, also an: Tabelle 2 Eigenschaften der Polynomfunktionen Grad der Funktion an Verhalten des Graphen geradzahlig a>0 geht auf beiden Seiten nach +¥. a<0 geht auf beiden Seiten nach -¥ ungeradzahlig a<0 geht links nach +¥ und rechts nach -¥ a>0 geht links nach -¥ und rechts nach +¥ 2.1.1.2 Gebrochenrationale Funktionen 2.1.1.2.1 Allgemeine Gebrochenrationale Funktionen Bei einer gebrochenrationalen Funktion wird eine Polynom-Funktion Z(x) durch eine andere Polynom-Funktion N(x) dividiert[20]: Gebrochenrationale Funktionen sind überall dort definiert, wo N(x)¹0 (anderfalls liegt die unerlaubte Division durch Null vor!). Die Definitionsmenge ist Â, vermindert um die Nullstellen der Nennerfunktion N(x). Innerhalb der Definitionsmenge sind gebrochenrationale Funktionen stetig. G Gebrochenrationale Funktionen sind an den Stellen N(x)=0 nicht definiert! Wir unterscheiden drei Fälle: a) Z(x)=0, aber N(x)¹0. Hier liegt eine Nullstelle der Funktion f(x) vor. Die Nullstellen der Zählerfunktion Z(x) sind die Nullstellen der Funktion f(x).[21] b) Z(x)¹0, aber N(x)=0. Hier liegen Polstellen vor, d.h. der Graph wandert an beiden Seiten der Polstelle nach plus oder minus Unendlich (dies ist leicht erklärbar, denn je kleiner der Nenner wird, desto größer wird der Bruch). Die betreffenden x-Werte werden mit xp bezeichnet. Die senkrechten Geraden, die durch xp1 ,xp2, ... gehen, sind vertikale Asymptoten (vgl. Abbildung 1-6). Für die Bestimmung der Polstellen reicht also die Bestimmung der Nullstellen des Nennerpolynoms. c) Z(x)=0 und N(x)=0. Hier tritt ein “Loch” (bzw. eine Lücke) im Graphen von f(x) auf, z.B. bei der Funktion . Für alle xÎR\{-2} läßt sich diese Funktion auf (x+2) kürzen. Für x=-2 erhält man die Division von Null durch Null! x+2 ist aber eindeutig eine lineare Funktion. So zeichnet man denn auch diese Gerade und läßt an der Stelle x=2 ein Loch im Graphen, da dieser Funktionswert nicht definiert ist. Hier spricht man von einer hebbaren Definitionslücke[22] (siehe Abbildung 2-12). Entsprechend ist auch der Grenzwert für x=2 existent, der Graph nähert sich von beiden Seiten an y=0 an: . Da der Funktionswert f(2) nicht definiert ist, ist die Funktion bei x=2 nicht stetig. Abbildung 2-2 Funktion mit hebbarer Lücke Man unterscheidet die gebrochenrationalen Funktionen in echt und unecht gebrochene. Ist der größte Exponent von Z(x) gleich m und der größte Exponent von N(x) gleich n, dann gilt: a) echt gebrochen ist eine gebrochenrationale Funktion, wenn mn: Für die Funktionswerte des Graphen gilt y®±¥, wenn x®±¥. Durch Polynomdivision läßt sich der ganzzahlige Anteil der Funktion herausdividieren, so daß eine genauere Aussage über das Verhalten möglich ist. Dieser ganzzahlige Anteil entspricht der Asymptote, der sich der Graph für x®±¥ annähert; denn der echt gebrochene Rest geht dann gegen Null, z.B. . Diese Funktion nähert sich also für x®±¥ der Normalparabel y=x2 an, während der Ausdruck gegen Null strebt. Für m=n+1 hat der Graph eine schiefe Asymptote: die Funktion hat die Asymptote y=x, da nach dem Herausziehen des ganzzahlig Vielfachen die Funktionsgleichung wie folgt lautet:[25] 2.1.1.2.2 Hyperbeln oder Potenzfunktionen mit ganzzahligem negativen Exponenten Besonders häufig sind gebrochenrationale Funktionen mit Z(x)=k (z.B. k=1) und N(x)=ax+b: . Sie haben genau eine Polstelle bei , die sich aus N(x)=0 ergibt.[26] Abbildung 2-3 Hyperbelfunktionen Tabelle 3 Eigenschaften der Potenzfunktion y=xn mit n<0 (Hyperbeln) Exponent Gerade (n=2m) Ungerade (n=2m+1) Definitionsbereich xÎÂ\{0} xÎÂ\{0} Wertebereich yÎ(0;¥) yÎÂ\{0} Symmetrie gerade Funktion ungerade Funktion Stetigkeit unstetig bei x=0 unstetig bei x=0 Monoton fallend für xÎ(0;¥) xÎÂ\{0} Monoton steigend für xÎ(-¥;0) - - - - - - Gemeinsame Punkte P2(-1;1) P1(1;1) P1(1;1) P3(-1;-1) Asymptoten x-Achse y-Achse x-Achse y-Achse Beispiel: Diese Funktion stellt graphisch eine Hyperbel dar, die allgemein als f(x)=1/(xn) mit nÎN definiert sind. G 1/x ist eine Hyperbel ersten Grades, 1/x2 eine Hyperbel zweiten Grades usw. Ist n gerade, so ist auch die Hyperbel gerade, anderenfalls ungerade (Abbildung 2-3b-c). 2.1.2 Irrationale Funktionen 2.1.2.1 Wurzelfunktionen 2.1.2.1.1 Quadratwurzelfunktionen Quadratwurzelfunktionen sind allgemein definiert als . Wir betrachten zuerst den einfachen Fall n=1. Dann wird jedem x diejenige positive Zahl zugeordnet, die mit sich selbst multipliziert x ergibt. So wird z.B. dem Wert x=4 der Wert y=|2| zugeordnet. In der Praxis ergibt sich dann nach Auflösen der Betragsstriche die doppelte Lösung y=±2. Dieses Problem zeigt sich auch, wenn wir die Quadratwurzelfunktionen als Umkehrfunktionen der quadratischen Funktionen bilden: ist die Umkehrfunktion zu g(x)=x2 mit xÎÂ. mit (x-c)>0 ist die Umkehrfunktion zu k(x)=(x-b)2+c. g(x) und k(x) sind quadratische Funktionen und stellen im Koordinatensystem Parabeln dar. Diese Parabeln sind weder streng monoton fallend noch steigend, demzufolge auch nicht eindeutig umkehrbar (jedem y-Wert wird nicht nur ein x-Wert zugeordnet). So nimmt g(x) z.B. als y-Wert 4 für x=-2 oder x=+2 an (s.o.). Die Umkehrung darf jedoch nicht zweideutig sein, wenn es sich um eine Funktion handeln soll. Deshalb werden Quadratwurzelfunktionen meist als positiver Teilast definiert, d.h. bei der Normalquadratwurzel () werden den x-Werten nur die positiven Lösungen (s.o.) zugeordnet. In anderen Worten: die zu invertierende quadratische Funktion g(x)=x2 wurde nur für den streng monoton wachsenden Teilbereich [0;+¥) definiert (Abbildung 2-4). Bei einer anderen Quadratwurzelfunktion k(x) wird der Teilast, der oberhalb des Scheitelpunktes ist, als Definitionsmenge festgelegt. Anders ausgedrückt: es wird wieder nur das streng monoton wachsende Intervall als Dk definiert. Beispiel: Die Funktion[27] ist die Umkehrfunktion zu f(x)=x2+2. f(x) ist eine Parabel. Wir definieren das Monotonieinterval [2;+¥), das dann die Wertemenge von g(x) bildet. g(x) ist für alle xΠmit x³2 definiert und stetig (s.u.), und zwar fär die jeweils positive Lösung der Wurzel, also der Teilast, der von [2;0) (dem Scheitelpunkt) aus nach oben wandert und durch die Punkte (3;1), (6;2) usw. geht (Abbildung 2-4d-f). Quadratwurzelfunktionen sind nur für positive Radikanden definiert, d.h. die Definitionsmenge muß so gewählt werden, daß der Radikand ³ 0 ist, denn jede reelle Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert wieder eine positive Zahl. Im Definitionsbereich sind Quadratwurzelfunktionen stetig. Abbildung 2-4 Potenz- und Wurzelfunktionen 2.1.2.1.2 Kubikwurzelfunktionen Kubikwurzelfunktionen sind definiert als . Sie sind für ganz  definiert und stetig. Denn die Kubikwurzel ist im Gegensatz zur Quadratwurzel für positive und negative Werte definiert: 23=8 und (‑2)3=-8 (Abbildung 2-4g). 2.2 Transzendente Funktionen T ranszendent sind alle Funktionen, die sich nicht durch algebraische Gleichungen ausdrücken lassen. 2.2.1 Winkel-, Kreis,- oder Trigonometrische Funktionen Dies sind die Funktionen sin x, cos x, tan x, cot x (Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens)[28] (Abbildung 2-7). Diese Funktionen[29] beruhen alle auf dem rechtwinkligen Dreieck. Dort gibt es drei Winkel (a, b, g), die Hypotenuse c (die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite des Dreiecks) und die zwei Katheten a und b. Letztere werden noch einmal unterteilt in Ankathete (die dem Winkel a anliegende Kathete) und die Gegenkathete (die dem Winkel gegenüberliegende Kathete) (Abbildung 2-5). Abbildung 2-5 Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck Abbildung 2-6 Allgemeine Darstellung der trigonometrische Funktionen a) b) c) d) Abbildung 2-7 Trigonometrische Funktionen im Einheitskreis a) Sinus; b) Cosinus; c) Tangens; d) Kotangens Zeichnet man diese Funktionen vom Einheitskreis[30] ausgehend, wodurch beliebige Winkelgrößen möglich werden, so erhält man einen periodischen Verlauf (vgl. Abbildung 2-7 bzw Abbildung 2-6): Sinus und Kosinus sind für 2p (bzw. 360°), Tangens ist für p (bzw. 180°) periodisch. Das bedeutet mathematisch ausgedrückt: sin(x+2kp)=sinx, kÎZ cos(x+2kp)=cosx, kÎZ tan(x+kp)=tanx, kÎZ Gewöhnlich wird der Winkel im Bogenmaß, also in Einheiten von p, gerechnet, so daß statt des Winkels a die Variable x verwendet wird, und die trigonometrischen Funktionen auch für Bereiche außerhalb des rechtwinkligen Dreiecks benutzt werden können, wo sie ja auch auftreten (elektrischer Strom, Wirtschaftswachstum, sonstige Zyklen). Definitionsmenge von Sinus und Kosinus ist Â. Die Wertemenge ist W={y|-11, dann ist f(x)=ax streng monoton steigend (Abbildung 2-11). Alle Exponentialfunktionen gehen durch den Punkt [0;1], denn jede Basis potenziert mit der Zahl Null ergibt nach Definition Eins (Abbildung 2-10). Abbildung 2-10 Exponentialfunktionen Häufig wird als Basis die Eulersche Zahl e genommen. Sie hat vor allem in der Naturwissenschaft eine große Bedeutung. Diese Exponentialfunktion heißt daher natürliche Exponentialfunktion: f(x)=ex (Abbildung 2-10c). Grundsätzlich gilt jedoch. daß sich jede Potenz der einen Basis in eine mit einer anderen Basis umrechnen läßt: 2.2.3.2 Logarithmusfunktionen Logarithmusfunktionen sind die Umkehrfunktionen zu den Exponentialfunktionen und definiert als f(x)=loga x (Logarithmus von x zur Basis a)[34]; aÎÂ+\{1}. Jedem x wird die Zahl zugeordnet, mit der a potenziert x ergibt. D.h. log10100=2, da 102=100! Die Definitionsmenge ist Â+, die Wertemenge ist Â. Zwischen Logarithmus- und Exponentialdarstellung gilt folgende Äquivalenz[35] Abbildung 2-11 Logarithmusfunktionen Logarithmusfunktionen sind streng monoton und zwar fallend für a<1 und monoton steigend für a>1 (Abbildung 2-11). Es gibt häufig gebrauchte Basen, nämlich 2 (Dualsystem), die “natürliche Basis” e und 10 (Dezimalsystem).[36] G Alle Logarithmusfunktionen gehen durch den Punkt P(1;0) (Abbildung 2-11). Die Funktionalgleichung der Logarithmusfunktionen lautet: log(x1·x2)=log x1+log x2 und somit f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). f(x)=logax und g(x)=log1/ax liegen symmetrisch zur x-Achse (Abbildung 2-11e). 2.2.3.3 Hyperbolische Funktionen Die Funktionen Hyperbolischer Sinus[37], Hyperbolischer Kosinus usw. (sinh x, cosh x usw.) sind für unser Schulwissen nicht relevant, dafür um so mehr im naturwissenschaftlichen Bereich. Sie werden mit Hilfe von Exponentialfunktionen zur Basis e definiert: Die anderen Funktionen (tanh x, coth x, usw.) bilden sich wie bei den normalen trigonometrischen Funktionen. Auf ihre Anwendungen, ihre Graphen und ihre Umkehrfunktionen braucht hier nicht weiter eingegangen werden. 2.3 Verknüpfte Funktionen M an kann Funktionen zu Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten verknüpfen und so neue Funktionen bilden. Ist z.B. f(x)= 2x-3 und g(x)=x2+1, so erhalten wir: 2.4 Verkettete Funktionen D ie Funktion f(x) einer Funktion g(x) wird bezeichnet als f(g(x))=(f°g)(x). f ist die äußere und g die innere Funktion. Ist f(x)=x2 und g(x)=sinx so ist (f°g)(x)=sin2x. Achtung! f°g ist nicht das gleiche wie g°f! Das wäre nämlich in obigem Beispiel (g°f)(x)=sin(x2)! 2.5 Elementare Funktionen A ls elementar werden alle Funktionen bezeichnet, die aus einer endlichen Anzahl von Verknüpfungen und Verkettungen aus transzendenten und algebraischen Funktionen bestehen. Dabei muß die Funktionsgleichung für die ganze Definitionsmenge gleich sein, die Funktionsgleichung also geschlossen, d.h. aus einer Gleichung bestehen. Alle bisher besprochenen Funktionen sind elementar. Abbildung 2-12 Nicht-elementare Funktionen; a) Betragsfunktion; b) Gaußklammerfunktion; c) Signumfunktion 2.6 Nicht-Elementare Funktionen E ine häufig angewendete, nicht-elementare Funktion ist die sogenannte Betragsfunktion: f(x)=|x| (Abbildung 2-12a). Diese Funktion besteht praktisch aus zwei elementaren Funktionen auf zwei verschiedenen Intervallen: Zwei weitere ähnliche nicht-elementare Funktionen sind die Signumfunktion f(x)=sgn(x) und die Gaußklammerfunktion f(x)=[x]. Signum (x) ordnet einem negativem x den Wert ‑1, einem positivem x den Wert +1 und dem x‑Wert Null den y-Wert Null zu. Diese Funktion wird z.B. benötigt, wenn man nur das Vorzeichen eines Wertes braucht. Die Betragsfunktion läßt sich mit Hilfe der Signumfunktion einfach definieren als f(x)=x×sgn(x) definieren.[38] Die Gaußklammer ordnet x die größte ganze Zahl zu, die nicht größer ist als x. Ein Beispiel für die Anwendung dieser Funktion ist die Gebührenberechnung beim Telefonieren. Nach einer bestimmten Zeiteinheit springt die Rechnung eine Gebühr höher. Ist z.B. eine Einheit 8 Minuten, so zahlt man für ein Drei-Minutengespräch genauso viel wie für ein 7 Minutengespräch, für ein 9 Minutengespräch hingegen bereits das Doppelte. Abbildung 2-13 Verschiebung eines Graphen Da diese beiden Funktionen wie die hyperbolischen nur für den erweiterten Mathematikunterricht wichtig sind, folgen an dieser Stelle keine weiteren Erklärungen! Lediglich die Graphen der Funktionen sind in Abbildung 2-12 dargestellt. 3 Funktionsveränderungen E s gibt einfache Methoden, die Graphen von “normalen” Funktionen aus dem vorhergehenden Kapitel zu verändern. Dazu gehören insbesondere das Strecken, Stauchen, Spiegeln und Schieben. 3.1 Die vertikale Verschiebung D iese kann anschaulich auch als “Fahrstuhleffekt” bezeichnet werden; denn der Graph von f(x) wird mit Hilfe einer zusätzlichen additiven Konstante C nach oben bzw. nach unten (C negativ) verschoben, d.h. in y-Richtung. Die um C nach oben verschobene Funktion g(x) lautet dann: g(x)=f(x)+C. Diese Schreibweise ist allgemein üblich, verkennt jedoch, daß die Konstante C ausschließlich auf die Variable y Einfluß hat, so daß folgende Schreibweise für das Verständnis sinnvoller wäre: g(x)-C=f(x). Abbildung 3-1 Spiegelung an der x-Achse Man könnte “C” anschaulich mit einem Fahrstuhl verglei­chen, der die Ausgangsfunktion mit C=0 in einem Hotel (das Koordinatensystem) hinauf und hinunter fährt. Dabei verändert sich das allgemeine Verhalten des Graphen in den einzelnen Punkten nicht. 3.2 Die horizontale Verschiebung D iese Verschiebung kann anschaulich als “Zimmernum­mereffekt” bezeichnet werden, denn der Graph von f(x) wird in x-Richtung verschoben, indem alle x in der Funktionsgleichung durch (x-a) ersetzt werden. Der Graph wird dann um a nach rechts verschoben (a>0) bzw. nach links verschoben (a<0). Anders ausgedrückt: bei z.B. (x-3) wird der Graph nach rechts verschoben, bei (x+3) nach links.) Die um a nach rechts verschobene Funktion g(x) lautet: g(x)=f(x-a). In unserem anschaulichen Hotelvergleich wäre a dann die Zimmernummer auf derselben Etage. 3.3 Spiegelung an den Koordinatenachsen A n der x-Achse gespiegelt wird der Graph ganz einfach durch einen Vorzeichenwechsel der jeweiligen Funktionswerte (Abbildung 3-1): g(x)=-f(x). Z.B. f(x)=x2 und g(x)=-x2 . Der Graph kann natürlich auch an der y-Achse gespiegelt werden: g(x)=f(‑x). Z.B. f(x)=x3 und g(x)=(-x)3 (Abbildung 3-1). 3.4 Streckung und Stauchung E s gibt die Möglichkeit einen Funktionsgraphen in y-Richtung (von der x-Achse aus) und in x-Richtung (von der y-Achse aus) zu verändern. Dabei wird zwischen Strecken (Auseinanderziehen) und Stauchen (Zusammenschieben) unterschieden. 3.4.1 Streckung oder Stauchung in Richtung der y-Achse Eine solche Veränderung geht immer von der x-Achse aus, und zwar nach oben wie unten. Erreicht wird dies in Richtung der y-Achse durch einen Faktor a vor der Funktionsgleichung: h1(x)=a×f(x). G Der Graph wird in Richtung der y-Achse gestreckt, wenn |a|>1 ist. Er wird gestaucht, wenn |a|<1 ist. Ist a negativ, so findet zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse statt (Abbildung 3-2). Abbildung 3-2 Streckung und Stauchung von Funktionen 3.4.2 Streckung und Stauchung in Richtung der x-Achse Eine Konstante k vor allen x streckt oder staucht den Funktionsgraphen in Richtung der x-Achse von der y-Achse aus nach rechts und links: h2(x)=f(k x). G Der Graph wird in Richtung der x-Achse gestreckt, wenn |k|>1. Der Graph wird gestaucht, wenn |k|<1 ist. Ist k negativ, so findet wieder zusätzlich eine Spiegelung an der y-Achse statt. Abbildung 3-3 Strecken und Stauchen bei Sinusfunktionen 3.5 Beispiele 3.5.1 Normalparabel Sehr schön läßt sich das Schieben und Strecken an der Normalparabel zeigen. Es ist bekanntlich möglich, jede beliebige quadratische Funktion mit dem führenden Koeffizienten 1 (also die Normalform x2+px+q) auf die Normalparabel zurückzuführen, womit der Graph dann einfach zu zeichnen ist. f(x)=x2 ist die Funktionsgleichung der Normalparabel (Abbildung 2-4a). Wird dieser Graph in y-Richtung verschoben, so gilt: g1(x)=x2+c.[39] Der in x-Richtung verschobene Graph hingegen lautet g2(x)=(x-a)2. Der Graph der Funktion g3(x)=(x-a)2+c ist die um a nach rechts und um C nach oben verschobene Normalparabel.[40] Der Scheitelpunkt der Normalparabel liegt bei S(a;c) (Abbildung 3-1). Der Graph jeder quadratischen Funktion in der Normalform ist eine verschobene Normalparabel. Es bedarf geringer algebraischer Umformungen, um die Normalform einer quadratischen Gleichung auf die Scheitelpunktform zu bringen, die der obigen Form entspricht: f(x)-c=(x-a)2. Man bringt die Normalform auf die Scheitelpunktform mit Hilfe einer quadratischen Ergänzung.[41] Bei der Umformung wurde die erste binomische Formel (a+b)2=a2+2ab+b2 angewandt. Mit einer Normalparabel-Schablone kann jetzt ohne weiteres die Funktion im Koordinatensystem gezeichnet werden! Beispiele: f(x)=x2+4x+4. Dies ist ein vollständiges Quadrat, d.h. die binomische Formel kann direkt angewendet werden: f(x)=(x+2)2. Als Scheitelpunkt ergibt sich also S(-2;0). g(x)=x2+6x+4 ist kein vollständiges Quadrat. In der quadratischen Ergänzung addieren und subtrahieren wir wegen 6x=2·3·x das Quadrat von 3, also 32 bzw. 9. Dies gibt dann x2+2·3·x+32-32+4=(x+3)2-5 Þ g(x)+5=(x+3)2 und daraus folgend S(3;-5). Mit unserem “Hotelmodell” ergibt sich anschaulich folgende Darstellung: f(x) ist eine Normalparabel in Zimmer Nummer 2 auf der LINKEN SEITE (da negativ) im ERDGESCHOSS. g(x) (eine Normalparabel) ist in Zimmer Nummer 3 auf der RECHTEN SEITE (da positiv) im fünften UNTERGESCHOSS (da negativ). (Abbildung 2-13c) In der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung muß der führende Koeffizient a nicht notwendigerweise gleich 1 sein (z.B. y=5x2+20x+22). Die Graphen einer solchen Funktion sind allgemeine Parabeln. Sie unterscheiden sich von der Normalparabel dadurch, daß sie breiter oder schmaler (gestaucht oder gestreckt) und/oder sogar nach unten geöffnet sind. Entscheidend hierfür ist besagter führender Koeffizient a:[42] a>0 Parabel nach oben geöffnet a<0 Parabel nach unten geöffnet 0<|a|<1 Parabel breiter als Normalparabel |a|>1 Parabel schmaler als Normalparabel Man kann nun durch Ausklammern auch eine allgemeine quadratische Funktion auf die Scheitelpunktform bringen: Der Koeffizient 5 sagt aus, daß die Parabel schmaler als die Normalparabel sein muß, sie ist also sozusagen dünner (Abbildung 3-2b)[43]. Und zwar geht der Graph, wenn man vom Scheitelpunkt in x-Richtung eine Einheit nach Rechts geht, fünf Einheiten nach oben (in y-Richtung). Allgemein gilt, daß ausgehend vom Scheitelpunkt bei Dx=1 genau Dy=a Einheiten nach oben oder unten (wenn a negativ) zu gehen sind. 3.5.2 Beispiel Sinusfunktion Auch die Sinus-Funktion ist ein gutes Beispiel für solche Funktionsveränderungen. Am häufigsten sind dabei Amplitudenänderungen, Frequenzänderungen und Phasenänderungen. Abbildung 3-4 Amplituden-, Frequenz, und Phasenänderung bei einer Sinusfunktion 3.5.2.1 Amplitudenänderungen Die Amplitude ist die maximale Ausdehnung der Sinusfunktion in y-Richtung. Diese ist von f(x)=sin x bekanntlich gleich 1. Das bedeutet, die Wertemenge ist {y|‑10: Jetzt muß die pq-Formel angewandt werden. Es gibt genau zwei Lösungen. b) D=0: Die Funktionsgleichung ist ein vollständiges Quadrat. Jetzt gibt es genau eine Lösung. Der Scheitelpunkt des Graphen liegt auf der x-Achse. Die Nullstelle kann mit Hilfe der binomischen Formeln ermittelt werden (s.o.). c) D<0: Dann gibt es keine Lösung, da wir in der p-q-Formel die Wurzel aus der Diskriminante ziehen werden, und man keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen kann. Der Funktionsgraph befindet sich oberhalb der y-Achse Beispiele: f(x)=-x2-6x-5. Da die Nullstellen gesucht sind, folgt 0=-x2-6x-5. Um auf die Normalform zu kommen, wird die Gleichung durch (-1) dividiert! 0=x2+6x+5. Die pq-Formel liefert jetzt folgende Ergebnisse: Die Funktion selbst hat ihren Scheitelpunkt bei S(-3;4) oberhalb der x-Achse. Da die Parabel jedoch nach unten geöffnet ist, schneiden sehr wohl beide Äste die x-Achse, nämlich bei PN1(-1;0) und PN2(-5;0) (Abbildung 4-1a). Einen Sonderfall gibt es noch, wenn der Koeffizient b=0 ist, also f(x)=ax2+c. Dann ergeben sich folgende Nullstellen: 4.1.2.3 Funktionen dritten und höheren Grades Sehr viel schwieriger wird es bei ganzrationalen Funktionen höheren Grades. Hier hilft es meistens nur, die Funktionsgleichung in Faktoren zu zerlegen, die aus quadratischen, linearen oder konstanten Gliedern bestehen. Letzten Endes wird uns nur die Polynomdivision weiterhelfen, dazu brauchen wir aber erst einmal mindestens eine Nullstelle xn1. Dann kann man nämlich die Polynomfunktion durch (x-xn1) teilen. Mögliche ganzzahlige Lösungswerte für f(x)=0 sind auf jeden Fall ganzzahlige Teiler (positiv wie negativ) des konstanten Gliedes (a0). Ist z. B. a0=6, so entstammen ganzzahlige Lösungen der Menge {‑6;‑3;‑2;‑1;1;2;3;6}. Wenn man jetzt alle diese Werte einsetzt, bekommt man unter Umständen eine Nullstelle heraus. Das ist dann der Startwert xn1! Allgemeine Hinweise zur Vorgehensweise: a) Meistens ist es praktischer, den führenden Koeffizienten auszuklammern, er beeinflußt danach die Nullstellenberechnung nicht mehr. b) Hat die Funktionsgleichung kein konstantes Glied, so ist eine Lösung auf jeden Fall x0=0. Dieses x kann dann ausgeklammert werden, z.B. f(x)=4x3+8x2+4x= 4x(x2+2x+1)=4x(x+1)2. Die Nullstellen lauten dann xn1=-1 (doppelt, wegen des Quadrats) und xn2=0 (einfach) (Abbildung 4-1b). c) Manchmal lassen sich Funktionen höheren Grades nach den binomischen Formeln (sogenannte biquadratische Funktionen) zusammenfassen, z.B. f(x)=x4+2x2+1= (x2+1)2. Die jeweils doppelten Nullstellen liegen bei x=±1. d) Funktionen höheren Grades lassen sich manchmal nach polynomischen Formeln faktorisieren. Genannt seien hier die trinomischen Formeln: (x+a)3=x3+3ax2+3ax2+a3 (x-a)3=x3-3ax2+3a2x-a3 (x+a) (x2-ax+a2)=x3+a3 (x-a) (x2+ax+a2)=x3-a3 e) Manchmal hilft einem auch das Pascalsche Dreieck weiter, mit dem sich die übrigen polynomischen Formeln höheren Grades fortsetzen lassen. Es ist aber schon Glückssache, gerade die Koeffizienten aus dem Pascalschem Zahlendreieck in der Funktionsgleichung zu haben, z.B. f(x)=x4+4x3+6x2+4x+1=(x+1)4 1 (a+b)0=1 1 1 (a+b)1=a+b 1 2 1 (a+b)2=a2+2ab+b2 1 3 3 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 1 4 6 4 1 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 1 5 10 10 5 1 (a+b)5=... 1 6 15 20 15 6 1 (a+b)6=... usw. f) Wenn keine der oben angegebenen Möglichkeiten in Betracht kommen, müssen numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung angewendet werden! 4.1.3 Gebrochenrationale Funktionen Die Nullstellen ermitteln sich wie bei den ganzrationalen Funktionen. Entscheidend ist nur der Zähler; ist dieser gleich Null, so ist auch die Funktion für diese x-Werte gleich Null. Es ist jedoch darauf zu achten, daß die Nullstellen Teil der Definitionsmenge, also nicht gleichzeitig Nullstellen des Nennerpolynoms sind! 4.2 Wurzelfunktionen E ine Wurzel ist dann gleich Null, wenn der Radikand gleich Null ist. Dies ergibt sich schon aus der Tatsache, daß die Wurzeln bekanntlich Teil der Potenzfunktionen sind: 4.3 Trigonometrische Funktionen B ei den “einfachen” trigonometrischen Funktionen lassen sich die Nullstellen ohne Probleme berechnen: f(x)=sin x: x0=kp, kÎZ (geradzahlige Vielfache von p) f(x)=cos x: (ungeradzahlig Vielfache von p/2) f(x)=tan x: x0=kp, kÎZ (geradzahlige Vielfache von p) Treten die trigonometrischen Funktionen in Kombination mit anderen oder untereinander auf, so müssen meistens mehrere der Formeln für die trigonometrischen Funktionen angewandt werden, die man jeder mathematischen Formelsammlung oder dem Anhang entnehmen kann. Häufig reicht es aber auch, sich zu überlegen, wie der Graph verändert wurde und den Graphen zu zeichnen. 4.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen G Alle Exponentialfunktionen in der Form f(x)=ax haben keine Nullstelle. Alle Logarithmusfunktionen der Form f(x)=logax haben die Nullstelle x0=1. Funktionen, die aus Kombinationen von Exponential- und Logarithmusfunktionen auftreten, sind meistens nur numerischen Verfahren zugänglich! 5 Numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung D ie beiden bekanntesten numerischen Verfahren sind das Verfahren nach Newton (Tangentennäherungsverfahren) und die Regula-Falsi (Sekantennäherungsverfahren). Man nennt sie Iterationsverfahren[48], weil sie mit jeweils einem neuen Startwert so lange wiederholt werden, bis sich ein gefundener Wert nur noch geringfügig vom vorherigen unterscheidet. Zuerst wählt man einen grundsätzlich beliebigen Startwert, eine sogenannte Wurzel (am besten geschieht dies nach dem Sturmschen Satz[49]). Dann werden in einer Iteration mit Hilfe von Tangenten bzw. Sekanten immer neue Wurzeln ermittelt, die der tatsächlichen Nullstelle schließlich bis auf die gewünschte Genauigkeit nahe kommen. Diese Iteration kann in einem Hornerschen Schema ausgedrückt werden. Abbildung 5-1 Numerische Bestimmung von Nullstellen 5.1 Das Verfahren von Newton F ür das Newtonsche Verfahren braucht man nur einen Startwert x1. Legt man nun an den Graphen am Punkt P(x1;f(x1)) eine Tangente (Gerade) an, so schneidet sie die x-Achse in größerer Nähe von x0 als x1 (Abbildung 5-1). Einzige Bedingung ist, daß der Funktionswert von x1 und die “Beschleunigung” von f(x1), also f''(x1) das gleiche Vorzeichen haben. Der Ansatz für die Iteration ergibt sich aus Abbildung 5-1: Der einzige Nachteil des Verfahrens ist, daß bei komplizierten Funktionen nicht unbedingt die erste Ableitung der Funktion bestimmt werden kann. 5.2 Die Regula-Falsi F ür das Regula-Falsi-Verfahren werden zwei x-Werte benötigt, zwischen denen jedoch die gesuchte Nullstelle liegen muß[50]. Diese x-Werte seien x1 und x2, dann ist der Näherungswert x3. Der Ansatz ergibt sich wieder einfach aus Abbildung 5-1: Dieses Verfahren wird solange wiederholt, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. 6 Beispiele 6.1 Kurvendiskussion 1 Gegegeben sei folgende Funktion f: x® 1. Maximaler Definitionsbereich: x Î Â, da f(x) eine ganzrationale Funktion. 2. Schnitt- und Berühungspunkte mit den Achsen: a) y-Achse: Bedingung f(0)=y0 (x muß 0 sein!); y0=0 Þ Py(0;0). Dadurch automatisch auch Schnitt- oder Berührungspunkt mit der x-Achse b) x-Achse: Begingung f(x0)=0; x0=0 wegen des Quadrats doppelte Nullstelle, also ein Berührungspunkt, der zugleich ein relatives Extremum sein muß. Aufgrund der Funktionswerte in der Umgebung von x=0 (negative Werte) ergibt sich ein relatives Maximum (Hochpunkt). Der zweite Faktor führt zu: 3. Symmetrien Punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f(-x)=-f(x) y-Achsensymmetrisch, wenn f(-x)=f(x) Da gerade und ungerade Exponenten auftreten, keine Symmetrie. 4. Relative Extrema (Hoch- und Tiefpunkte) Notwendig ist f´(xE)=0 und hinreichend ein VZW von f´ in einer genügend kleinen Umgebung von xE oder alternativ zum VZW . Nullsetzen der ersten Ableitung führt zu: VZW überprüfen: 4. Wendepunkte: Notwendig ist und hinreichend wieder ein VZW bzw. (Hier sollen Wendepunkte nicht auf ihre Existenz untersucht werden!) 5. Sämtliche angegebenen Punkte mit den entsprechenden Koordinaten eintragen (keine Wertetabelle): 6.2 Kurvendiskussion 2 Gegegeben sei folgende Funktion f: x® 1. Maximaler Definitionsbereich: die Funktion ist dort nicht definiert, wo die Nullstellen des Nenners liegen Þ x Î Â, da der Nenner nicht Null werden kann (nach oben verschobene Normalparabel - “Fahrstuhl”). 2. Schnitt- und Berühungspunkte mit den Achsen: a) y-Achse: Bedingung f(0)=y0 (x muß 0 sein!); y0=-1 Þ Py(0;-1) b) x-Achse: Begingung f(x0)=0; Nullstellen eines Quotienten entsprechen den Nullstellen des Zählers, wenn der Nenner an diesen Stellen ungleich Null ist (sonst Lücke!): 3. Polstellen Die Polstellen sind die Nullstellen des Nenners (Definitionslücken), wenn der Zähler nicht gleichzeitig Null wird (sonst Lücke). f(x) hat keine Polstellen (siehe oben). 4. Symmetrien Punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f(-x)=-f(x) y-Achsensymmetrisch, wenn f(-x)=f(x) Da nur geradzahlige Exponenten auftreten, ist f(x) y-Achsensymmetrisch. 5. Asymptoten Zerlegung der Funktion in einen ganzrationalen und einen echtgebrochen-rationalen Teil durch Polynomdivision: A(x)=1 6. Relative Extrema (Hoch- und Tiefpunkte) Notwendig ist f’(xE)=0 und hinreichend ein VZW von f’ in einer genügend kleinen Umgebung von xE oder alternativ zum VZW . Quotientenregel anwenden! 1. Ableitung gleich Null setzen: 4xE=0 Þ xE=0 2. VZW überprüfen: VZW von - nach +: rel. Tiefpunkt PT(0;-1) Alternative Überprüfung durch f"(x): f"(0)>0 Þ rel. Tiefpunkt. 7. Wendepunkte Notwendig ist und hinreichend wieder ein VZW bzw. (Hier sollen Wendepunkte nicht auf ihre Existenz untersucht werden!) Nur kann Lösung für Erna2 sein: 8. Sämtliche angegebenen Punkte mit den entsprechenden Koordinaten eintragen (keine Wertetabelle): 6.3 Flächenberechnung Aufgabe: Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von f, g und h![51] 1. Skizze erstellen: Entsprechend der Aufgabenstellung soll die Fläche von den drei Funktionen begrenzt sein. Daraus folgt dann, daß zwei verschiedene Flächen möglich sind, A1 und A2. Diese Flächen müssen getrennt betrachtet werden, denn A=A1+A2 wird nur von zwei Flächen begrenzt! Aus der Skizze sind die zu berechnenden Schnittpunkte ersichtlich. Diese müssen berechnet werden, obwohl sie aus der Skizze als ganzzahlige x-Werte zu entnehmen sind! 2. Schnittpunkte bestimmen: a) zwischen f(x) und g(x): Ansatz: b) zwischen f(x) und h(x) c) zwischen g(x) und h(x) 3. Intervallweise Integration: 7 Formelsammlung 7.1 Potenzen 7.2 Wurzeln[52] 7.3 Binomische Formeln 1. 2. 3. 7.4 pq-Formel Gegeben sei die quadratische Gleichung in Normalform[53]: . Dann ergeben sich für x folgende Lösungen: . 7.5 Winkelfunktionen (Additionstheoreme) (x im Bogenmaß und a im Gradmaß)[54] sin(-a)=-sina (Punktsymmetrie) cos(-a)=cosa (Achsensymmetrie) bzw. bzw. (Pythagoras in Winkelform) x sin(x) cos(x) 0° 30°‘p/6 = 45°‘p/4 60°‘p/3 = 90°‘p/2 gegeben ð gesucht Ê sin a cos a tan a cot a sin a = sin a cos a = cos a tan a = tan a cot a = cot a 7.6 Ableitungsregeln auch für Wurzeln Summenregel Kettenregel: äußere Ableitung · innere Ableitung Produktregel Quotientenregel 7.7 Integrationsregeln auch für Wurzeln 8 Mathematische Begriffe Abszisse “abscindere” (lat.): abschneiden Die Abszisse entspricht einem Abschnitt, in der der x-Achse. Addition “addere” (lat.): hinzufügen affin “affinis” (lat.): verwandt Algebra “al dschebr” (arab.): hinüberschaffen Es wurde beim Rechnen mit Gleichungen gebraucht. Archimedes (287-212 v. Chr.) war der größte griechische Mathematiker und Inge­nieur des Altertums und wandte die Mathematik erstmals praktisch an. Arithmetik “arithmos” (gr.): Zahl Die Arithmetik ist die Zahlenlehre bzw. Rechenkunst Asymptote asymptotos (gr.): nicht zusammenfallend Basis “basis” (gr.): Grundlage Cavalieri, Bonaventura (1598-1647) war ein italienischer Mathematiker. komplexe Zahl “complexus” (lat.): zusammengesetzt konvergieren “convergere” (lat.): zusammenstreben deka “deka” (gr.): zehn, das Zehnfache Abkürzung: “da” dezi “decem” (lat.): zehn, das Zenhntel Abkürzung: “d” Diagonale “dià” (gr.): durch “góny” (gr.): Winkel, Ecke Differenz “differentia” (lat.): der Unterschied Diskriminante “diskriminare” (lat.): unterscheiden, bestimmen divergieren “divergere” (lat.): aufeinanderstreben “Dividend” von “numerus dividendus” (lat.): die zu teilende Zahl Division “dividere” (lat.): (ver)teilen Divisionszeichen Das Divisionszeichen als Doppel­punkt wurde von dem Philosophen und Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) eingeführt. Divisor “divisor” (lat.): der Teiler Euklid (365-300 v.Chr.) war griechischer Mathematiker und faßte in seinem Werk “Elemente” in 13 Bänden die mathematischen Kenntnisse seiner Zeit erstmals schriftlich zusammen. Er durchbrach damit förmlich einen Bann, da vor ihm Mathematik nur mündlich weitergegeben wurde. Euler, Leonhard (1707-1783) schweizer Mathematiker, führte unter anderem die uns heute geläufige Benennung des Dreiecks ein. Exponent “exponere” (lat): herausstellen Faktor “factor” (lat.): der Macher, der Wirkende Funktion “funktio” (lat.): Vorrichtung, Leistung Gauß, Carl Friedrich (1777-1855) war einer der großen deutschen Mathematiker sowie ein bedeutender Astronom. Er begründete z.B. in seinem Werk “Disquisitiones arithmeticae” die moderne Zahlentheorie. Da Gauß selbst nichts zu publizieren pflegte,was ihm unvollkommen erschien, wurden große Teile seines mathematischen Wirkens erst nach seinem Tode, nämlich aus seinem Nachlaß bekannt, so z.B. seine Arbeiten zur nichteuklidischen Geometrie. Geometrie “ge”, (gr.): Erde “metrein” (gr.): messen Die Geometrie ist die Lehre von der Erdmessung bzw. Landmessung giga “gigas” (gr.): Riese, das Millardenfache Abkürzung: “G” hekta hektaton (gr.): hundert, das Hundertfache Abkürzung: “ha” Heron von Alexandria lebte wahrscheinlich im 1.Jh. n.Chr. Er war ein griechischer Mathematiker und Physiker. Hypotenuse “hypoteino” (gr.): Ich spanne darunter (nämlich die Saiten der Harfe, die bei den Griechen ein rechtwinkliges Dreieck darstellte). imaginäre Zahl “imaginatio” (lat.): Einbildung, Trugbild Der Mathematiker Carl Friedrich Gauß (1777-1855) hat sehr grundlegende Studien zu den imaginären Zahlen durchgeführt. interpolieren “interpolare” (lat.): einschieben, zwischenschalten irrationale Zahl “irrational” (lat.): unberechenbar, verstandesmäßig nicht faßbar Eine irrationale Zahl ist nicht durch ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausdrückbar. Typische irrationale Zahlen sind die Kreiszahl p oder die Eulersche Zahl e. Isometrie “isos” (gr.): gleich “metrein” (gr.): messen Isometrie = Längengleichheit Kathete “káthetos” (gr.): die Herabgelassene, das Lot Kegel “Konus” (gr.): Zapfen, Kegel konisch = kegelförmig kilo “chilioi” (gr.): tausend, das Tausendfache Abkkürzung “k” Koeffizient “coeffisere” (lat.): mit ausmachen Koeffizient = mitwirkende Zahl Komplementwinkel “complére” (lat.): anfüllen Konstante “constans” (lat.): feststehend, unveränderlich Koordinate “coordinare” (lat.): zusammenstellen Koordinaten = zugeordnete Strecken Die Bestimmung von Punkten einer Fläche durch Koordinaten wurde erst­malig durch den französichen Mathe­matiker und Philosophen René Des­cartes (1596-1650) in die Mathematik eingeführt. Kotangens Der Name ist durch eine Zusammen­ziehung der lateinischen Wörter “complementi” und “tangens” entstanden. Kubus “cubus” (lat.): Würfel Limes “limes” (lat.): Grenze linear “linea” (lat.): Gerade Logarithmus “logos” (gr.): Vernunft, Verhältnis “arithmos” (gr.): Zahl Die Erfindung der Logarithmen geschah unabhänging voneinander durch den Briten Lord John Napier (1550-1617) sowie dem Schweizer Henry Briggs (1561-1632). Mantisse “mantissa” (lat.): Zugabe Mathematik Dergroße Pythagoras teilte seine Zuhörer gewöhnlich in zwei Kategorien ein: die “Mathematiker” waren jene, die das Recht hatten, Wissen (mathe­matha) zu erwerben, während
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