ID Thema Fach Klasse Note Downloads
5613 Maturamappe Mathematik Mathematik 11 2 2048
Kurzbeschreibung
Maturamappe Mathematik, Beispiele, Formeln, Ableitungen, Graphen aus den Gebieten, Ellipse, Sonderfall: Kreis, Hyperbel, Parabel, Komplexe Zahlen, Die Menge C als nicht geordneter Körper, Gleichungen höheren Grades, Funktionen
Inhalt des Referats
Bsp. 1)

Ellipse

1. Hauptlage:


2. Hauptlage:



F1, F2 .................... Brennpunkte

MF1 = MF2 = e ..... Brennweite = lineare Exzentrizität

A, B ....................... Hauptscheitel

AB = 2a ................. Hauptachse

C, D ....................... Nebenscheitel

CD = 2b ................. Nebenachse



a² = b² + e²



Definition:

Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu 2 festen Punkten, den Brennpunkten, konstant 2a ist.

ell={X | XF1 + XF2 = 2a}



Spezialfälle:

1) a=b ® Kreis (e=0, F1=F2=M)

2) b=e ® gleichseitige Ellipse



Gleichung einer Ellipse in 1. Hauptlage:


Gleichung einer Ellipse in 2. Hauptlage:

b²x² + a²y² = a²b²


a²x² + b²y² = a²b²

x²/a² + y²/b² = 1


x²/b² + y²/a² = 1



Ableitung der Gleichung einer Ellipse in 1. Hauptlage:

XF1 + XF2 = 2a

X (x/y) F1 (-e/0) F2 (e/0)

X®F1 = (-e-x -y)

|(-e-x -y)| + |(e-x -y)| = 2a

Ö[(-e-x)²+(-y)²] + Ö[(e-x)²+(-y)²] = 2a

Ö[e²+2ex+x²+y²] = 2a - Ö[e²-2ex+x²+y²] /²

e²+2ex+x²+y² = 4a² - 4aÖ[e²-2ex+x²+y²] + e²-2ex+x²+y²

4ex-4a² = -4aÖ[e²-2ex+x²+y²] /:4

-a²+ex = -aÖ[e²-2ex+x²+y²] /²

a4-2a²ex+e²x² = a²e²-2a²ex+a²x²+a²y²

e²x²-a²x²-a²y² = -a4+a²e²

e² = a²-b²

a²x²-b²x²-a²x²-a²y² = -a4+a4-a²b² /*(-1)

b²x²+a²y² = a²b²



Berührbedingung der Ellipse in 1. Hauptlage:

g: y=kx+d

ell: b²x²+a²y²=a²b²

b²x²+a²(kx+d)²=a²b²

b²x²+a²k²x²+2a²dkx+a²d²=a²b²

(b²+a²k²)x²+(2a²dk)x+(a²d²-a²b²)=0 /:(b²+a²k²)>0

x²+2[a²dk] /[b²+a²k²]x+[a²d²-a²b²] /[b²+a²k²] =0

x1,2 =-[a²dk] /[b²+a²k²] ±Ö[[a^4d²k²] /[(b²+a²k²)²] - [(a²d²-a²b²)(b²+a²k²)] /[(b²+a²k²)²] ]

x1,2 =-[a²dk] /[b²+a²k²] ± [1] /[b²+a²k²] Ö[a4d²k²-[TG1] a²b²d²+a²b4-a4d²k²+a4b²k²]

D = a²b² (-d²+b²+a²k²)

D>0 ® 2 Lösungen ® Sekante

D<0 ® {} ® Passante

D=0 ® 1 Lösung ® Tangente

-d²+b²+a²k²=0

b² + a²k² = d²

Spezialfall: a=b=r

r²+r²k²=d²

r²(1+k²)=d²



Tangentengleichung bzw. Polarengleichung der Ellipse in 1. Hauptlage:

T (x1/y1) Î ell:

b²x1x + a²y1y = a²b²

[x1x]/a² + [y1y]/b² = 1

P (x1/y1) Ï ell:

b²x1x + a²y1y = a²b²



Sonderfall: Kreis

Ursprungslage:


allgemeine Lage:





Definition:

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt M den gleichen Abstand haben.

k(M,r) = {X | MX = r}



Kreisgleichung:

| M®X | = | X® | = r X® = (x y) m® = (u v)

| (x-0 y-0) | = r (X® - m®)² = r²

| (x y) | = r | M®X | = r

Ö[x²+y²] = r /² | (x-u y-v) | = r

x² + y² = r² Ö[(x-u)²+(y-v)²] = r /²

X®² = r² (x-u)² + (y-v)² = r²



Berührbedingung eines Kreises:

r² (1 + k²) = d² r² (1 + k²) = (ku -v + d)²

Bsp. 2)

Hyperbel

1. Hauptlage:


2. Hauptlage:



A, B ........................ Hauptscheitel

C, D ........................ Nebenscheitel

F1, F2 ..................... Brennpunkte

AB = 2a .................. Hauptachse

CD = 2b .................. Nebenachse

u, v ......................... Asymptoten der Hyperbel



e² = a² + b²



Definition:

Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, für die die Differenz der Abstände zu 2 festen Punkten, den Brennpunkten, konstant 2a ist.

hyp={X | |XF1 - XF2| = 2a}



Gleichung einer Hyperbel in 1. Hauptlage:


Gleichung einer Hyperbel in 2. Hauptlage:

b²x² - a²y² = a²b²


-a²x² + b²y² = a²b²



Ableitung der Gleichung einer Hyperbel in 1. Hauptlage:

linker Ast:

XF1 - XF2 = -2a

|(-e-x -y)| - |(e-x -y)| = -2a

Ö[(-e-x)²+y²] - Ö[(e-x)²+y²] = -2a

Ö[(-e-x)²+y²] = -2a + Ö[(e-x)²+y²] /²

e²+2ex+x²+y² = 4a²+e²-2ex+x²+y² -4aÖ[(e-x)²+y²]

2ex-2a² = -2aÖ[(e-x)²+y²]

ex-a² = -aÖ[(e-x)²+y²] /²


rechter Ast:

XF1 - XF2 = 2a

|(-e-x -y)| - |(e-x -y)| = 2a



Ö[(-e-x)²+y²] = 2a + Ö[(e-x)²+y²]





ex-a² = aÖ[(e-x)²+y²] /²

e²x²-2a²ex+a4 = a²e²-2a²ex+a²x²+a²y²

b²x²-a²y²=a²b²

e²x²-a²x²-a²y²=2a²ex-a4+a²e²-2a²ex

(e²-a²)x²-a²y²=a²e²-a4

b²x²-a²y²=a²(e²-a²)

b²x²-a²y²=a²b²



Berührbedingung der Hyperbel in 1. Hauptlage:

g: y=kx+d

hyp: b²x²-a²y²=a²b²

b²x²-a²(kx+d)²=a²b²

b²x²-a²k²x²-2a²kxd-a²d²=a²b²

(b²-a²b²)x²+(-2a²kd)x+(-a²d²-a²b²)=0 /:(b²-a²k²)¹0

x²+ [-2a²dk] /[b²a²k²]x+ [-a²d²-a²b²] /[b²-a²k²] =0

x1,2 =[a²dk] /[b²-a²k²] ±Ö[[a^4d²k²] / [(b²-a²k²)²] + [(a²d²+a²b²)(b²-a²k²)] / [(b²-a²k²)²] ]

D = b²+d²-a²k²

D>0 ® Sekante

D<0 ® Passante

D=0 ® Tangente

b²+d²-a²k²=0

a²k² - b² = d²

Spezialfall: b²-a²k²=0

k² = b²/a²

k = ± b/a

d=0 Þ u,v: y = ± b/a x

d¹0 Þ y = ± b/a x + d (|| ass)

Jede Gerade parallel zu einer Asymptote schneidet die Hyperbel in 1 Punkt (Sekante !).



Tangentengleichung bzw. Polarengleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage:

T (x1/y1) Î hyp:

b²x1x - a²y1y = a²b²

[x1x]/a² - [y1y]/b² = 1

P (x1/y1) Ï hyp:

b²x1x - a²y1y = a²b²

Bsp. 3)

Parabel

1. Hauptlage:


2. Hauptlage:



3. Hauptlage:


4. Hauptlage:



LF = p ............. Parameter

a ...................... Achse

l ...................... Leitlinie der Parabel

F ...................... Brennpunkt

A ..................... Scheitel der Parabel



Definition:

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, für die der Abstand von einem festen Punkt F gleich dem Abstand von einer festen Geraden l ist.

par={X | XF = Xl}



Gleichung einer Parabel in 1. Hauptlage:


Gleichung einer Parabel in 2. Hauptlage:

y² = 2px


x² = 2py

Gleichung einer Parabel in 3. Hauptlage:


Gleichung einer Parabel in 4. Hauptlage:

y² = -2px


x² = -2py



Ableitung der Gleichung einer Parabel in 1. Hauptlage:

XF = Xl

XF = |(p/2 -x -y)| = Ö[(p/2 -x)²+y²]

Xl = x + p/2

Ö[(p/2 -x)²+y²] = x+ p/2 /²

p^2 /4 -px+x²+y² = x²+px+ p^2 /4

y² = 2px



Berührbedingung der Parabel in 1. Hauptlage:

g: y=kx+d

par: y²=2px

k²x²+2dkx+d²=2px

k²x²+2dkx-2px+d²=0

(k²)x²+(2dk-2p)x+d²=0 /:k²¹0

x²+ [2(dk-p)] /[k²] + [d²] /[k²] =0

x1,2= [-dk+p] /[k²] ± Ö[[d²k²-2dkp+p²] /[k^4] - [d²k²] /[k^4] ]

x1,2= [-dk+p] /[k²] ± [1] /[k²] Ö[-2dkp+p²]

D = -2dkp + p² = p (-2dk + p)

D>0 ® Sekante

D<0 ® Passante

D=0 ® Tangente

p (-2dk + p) = 0

-2dk + p = 0

p = 2dk

Spezialfall: k=0

Þ || x-Achse

-2px+d²=0

Þ 1 Lösung

Jede Gerade parallel zur x-Achse schneidet die Parabel in genau 1 Punkt.



Tangentengleichung bzw. Polarengleichung der Parabel in 1. Hauptlage:

T (x1/y1) Î par:

y1y = px1 + px

y1y = p (x1 + x)

P (x1/y1) Ï par:

y1y = p (x1 + x)

Bsp. 4)

Komplexe Zahlen

1) Das Symbol „i“:

x² = a G = R

a) a > 0

L={Ö[a]; -Ö[a]}

b) a = 0

L={0(2) }

c) a < 0

L={}

Þ C ........................ komplexe Zahlen

x² = -a ; a>0

x² = a (-1)

x1,2= ± Ö[a] Ö[-1]

L={Ö[a]i ; -Ö[a]i}

Definition: Ö[-1] = i

Ö[-1] = i

i² = (Ö[-1])²

i² = -1

Vorsicht: (Ö[-1])²=-1 ¹ Ö[(-1)²]=1



ax²+bx+x=0 a,b,c Î R; a¹0 ......... allg. quadratische Gleichung

x1,2= [-b±Ö[b²-4ac]] /[2a] = - /[2a] ± [Ö[b²-4ac]] /[2a]

G = C

a) D = b²-4ac > 0

L={- /[2a] + [Ö[b²-4ac]] /[2a] ; - /[2a] - [Ö[b²-4ac]] /[2a]}

b) D = 0

L={- /[2a] (2) }

c) D < 0

Þ 4ac-b² > 0

L={- /[2a] + [Ö[4ac-b²]] /[2a] ; - /[2a] - [Ö[4ac-b²]] /[2a]}



allgemeine komplexe Zahl:

Z = a + b i a,b Î R

a = Re (Z) b = Im (Z)

a) b=0 Þ Z=a+0i ..... reelle Zahl

b) a=0 Þ Z=0+bi ..... imaginäre Zahl



Gleichheit von komplexen Zahlen:

Z1 = a+bi

Z2 = c+di

Z1 = Z2 Û (a=c) Ù (b=d)



2) Rechenregeln für komplexe Zahlen:

Z1 = a + b i Z2 = c + d i

Addition:

Z1 + Z2 = a+bi+c+di = (a+c) + (b+d)i

Subtraktion:

Z1 - Z2 = (a-c) + (b-d)i

Multiplikation:

Z1 * Z2 = (a+bi) (c+di) = ac+adi+bci+bdi² = (ac-bd) + (bc+ad)i

Division:

Z1 : Z2 = [Z1]/[Z2] = [a+bi] /[c+di] = [a+bi] /[c+di] [c-di] /[c-di] = [ac+bci-adi-bdi²] /[c²+d²] =

= [(ac+bd)+(bc-ad)i] /[c²+d²] = [ac+bd] /[c²+d²] + [bc-ad] /[c²+d²] i

c²+d² > 0 , sonst c=0,d=0 Þ Z2=0



Konjugiert komplexe Zahlen:

Z = a + b i Z- = a - b i



Potenzen von i:

i1 = i

i² = -1

i3 = i² * i = -1 * i = -i

i4 = i² * i² = (-1) * (-1) = 1



Eigenschaften von konjugiert komplexen Zahlen:

Z + Z- = 2a

Z - Z- = 2bi

Z * Z- = a² + b²

(Z-)- = Z



Für komplexe Zahlen gilt auch der Satz von VIETA:

z²+pz+q=0 p,q Î C

mit Lösungen z1,z2

a) z1 + z2 = -p

b) z1 * z2 = q

c) z²+pz+q = (z-z1) (z-z2)



3) Veranschaulichung von komplexen Zahlen in der GAUSSschen Zahlenebene:

R ................. reelle Achse

Im ............... imaginäre Achse

z = a + bi

z1 = 4 - 2i

z1- = 4 + 2i .......... um R-Achse spiegeln

z2 = 1 + 2i

z1 +z2 = 5

z1 - z2 = z1 + (-z2) = 3 - 4i

Jede komplexe Zahl läßt sich eindeutig als Vektor in der GAUSSschen Zahlenebene darstellen.

| z | = Ö[a²+b²] = r Î R .......... Radius

| z |² = | z² |



4) Darstellungsmöglichkeiten komplexer Zahlen:

a) z = a + bi

b) z = (a;b)

c) z = (r;j)

Polarkoordinaten:

r=Ö[a²+b²]

0
r ..... Betrag von z

j .... Argument von z

d) tan j = b/a

cos j = a/r

a = r cos j

sin j = b/r

b = r sin j

z = a + bi = r cos j + r sin j i = r (cos j + i sin j)



Darstellungsmöglichkeiten komplexer Zahlen:

1) kartesische Darstellung:

a) Zahlenpaar z = (a;b)

b) Binomialform z = a + bi

2) Polarkoordinatendarstellung:

a) Zahlenpaar z = (r; j)

b) trigonometrische Darstellung z = r (cos j + i sin j)



Multiplikation und Division komplexer Zahlen mit Hilfe von Polarkoordinaten:

z1 = r1 (cos j1 + i sin j1)

z2 = r2 (cos j2 + i sin j2)

z1 * z2 = r1 (cos j1 + i sin j1) r2 (cos j2 + i sin j2) =

= r1 * r2 (cos j1 cos j2 - sin j1 sin j2 + cos j1 sin j2 i + sin j1 cos j2 i) =

= r1 * r2 [ (cos j1 cos j2 - sin j1 sin j2) + i (cos j1 sin j2 + cos j2 sin j1) ] =

= r1 * r2 [cos (j1+j2) + i sin (j1+j2)]

z1 * z2 = (r1; j1) (r2; j2) = (r1*r2; j1+j2)

Beim Multiplizieren von komplexen Zahlen werden die Radien multipliziert und die Winkel addiert.

z1/z2 = [r1 (cos j1 + i sin j1)] /[r2 (cos j2 + i sin j2)] =

= [r1 (cos j1 + i sin j1) (cos j2 - i sin j2)] /[r2 (cos j2 + i sin j2) (cos j2 - i sin j2)] =

= [r1 (cos j1 cos j2 + i sin j1 cos j2 - i sin j2 cos j1 - i² sin j1 sin j2)] /[r2 (cos² j2 + sin² j2)] =

= [r1 [(cos j1 cos j2 + sin j1 sin j2) + i (sin j1 cos j2 - cos j1 sin j2)]] /[r2 (cos² j2 + sin² j2)] =

= r1/r2 [cos (j1-j2) + i sin (j1-j2)]

z1/z2 = (r1; j1)/(r2; j2) = (r1/r2; j1-j2)

Beim Dividieren von komplexen Zahlen werden die Radien dividiert und die Winkel subtrahiert.



5) Graphisches Rechnen mit komplexen Zahlen:

Addition:


Subtraktion:



Multiplikation:


Division:



D0EZ1 » D(0,Z2,Z1*Z2) ................. Strahlensatz

0E : 0Z1 = 0Z2 : 0Z1*Z2

1 : r1 = r2 : r1*r2

r1*r2 = r1*r2



6) Potenzieren von komplexen Zahlen:

z = r (cos j + i sin j)

zn = [r (cos j + i sin j)]n = rn (cos j + i sin j)n

zn = rn [cos j+j+j+... + i sin j+j+j+...] = rn [cos (j*n) + i sin (j*n)]

Þ (cos j + i sin j)n = cos (n*j) + i sin (n*j)

Formel von DE MOIVRE



7) Wurzelziehen (Radizieren) von komplexen Zahlen:

Definition: z Î C heißt n-te Wurzel aus z Î C, wenn zn = z

z=nÖ[z] n Î N, n ¹ 1

Bsp.: (1+i)² = 2i

(-1-i)² = 2i

Ö[2i] = 1+i

= -1-i

a) mit Binomialform:

Ö[2i] = a+bi /²

2i = a² +2abi -b²

0 + 2i = (a²-b²) + 2abi ............. Koeffizientenvergleich

0 = a²-b²

2 = 2ab Þ a=1/b

0 = 1/b² - b² /*b²

1-b4 = 0

b4 = 1

b² = +/(-) 1

b² = 1

b = ± 1

b1=1 a1=1

b2=-1 a2=-1

Ö[2i] = 1+i

= -1-i

b) mit Polarkoordinaten:

z1 = Ö[2i] = Ö[(2;90°)] = (Ö[2];90°/2) = (Ö[2];45°) = 1+i

z2 = (Ö[2];[360°+90°]/2) = (Ö[2];450°/2) = (Ö[2];225°) = -1-i



nÖ[z] = nÖ[(r;j)] = (nÖ[r];[ j+0*360°]/n) ....... 1. Nebenwert

= (nÖ[r];[ j+1*360°]/n) ....... 2. Nebenwert

= (nÖ[r];[ j+2*360°]/n) ....... 3. Nebenwert

..........

= (nÖ[r];[ j+(n-1)*360°]/n) ....... n. Nebenwert

= (nÖ[r];[ j+(k-1)*360°]/n) k=1,2,3,...,n

Eine Wurzel aus einer komplexen Zahl ist wieder eine komplexe Zahl.



8) Exponentialform komplexer Zahlen:

cos j + i sin j = eij

EULERsche Formel

z = r * eij ..... Exponentialform

e2pi = cos 2p + i sin 2p = 1

e[p/2]i = cos p/2 + i sin p/2 = i

ii = (e[p/2]i)i = e[p/2]i² = e[-p/2] = 1/[e[p/2] ] = 0.207879576351

2i = (e ln 2)i = e ln 2 i = cos (ln 2) + i sin (ln 2) = 0.77 + 0.64i

a = e ln a

Beweis: a = e ln a /ln

ln a = (ln a) (ln e)

ln a = ln a

Bsp. 5)

Die Menge C als nicht geordneter Körper

R ist geordnet, da " a,b Î R gilt:

1) a < b

oder 2) a = b

oder 3) a > b

C ist nicht geordnet, da " z1,z2 Î C nur gilt:

1) z1 = z2

oder 2) z1 ¹ z2

Bsp.: z1 = i

z2 = 2i

1) i = 2i /-i

0 = i f. A.

0+0i = 0+1i

2) i < 2i /-i

0 < i

i > 0 /*i>0

i² > 0

-1 > 0 f. A. ........ indirekter Beweis

3) i > 2i /-i

0 > i

i < 0 /*i<0

i² > 0

-1 > 0 f. A.

Þ bei komplexen Zahlen sinnlos: >, <

Þ C ist nicht geordnet



C ist ein Körper:

1) (C;+) kommutative Gruppe

a) Abgeschlossenheit: " z1,z2 Î C: z1 + z2 = z3 Î C

b) Assoziativgesetz (AG): " z1,z2,z3 Î C: (z1+z2)+z3 = z1+(z2+z3)

c) neutrales Element n: " z Î C $ n Î C:

z + n = n + z = z

n = 0 = 0 + 0i Î C

d) inverses Element z*: " z Î C $ z* Î C:

z + z* = z* + z = n = 0

z* = -z Î C

a) - d) Þ Gruppe

e) Kommutativgesetz (KG): " z1,z2 Î C: z1 + z2 = z2 + z1

2) (C\{n=0};*) kommutative Gruppe:

a) Abgeschlossenheit: " z1,z2 Î C\{0}: z1 * z2 = z3 Î C\{0}

b) Assoziativgesetz (AG): " z1,z2,z3 Î C\{0}: (z1*z2)*z3 = z1*(z2*z3)

c) neutrales Element n1: " z Î C\{0} $ n1 Î C\{0}:

z * n1 = n1 * z = z

n1 = 1 = 1 + 0i

d) inverses Element z*: " z Î C\{0} $ z* Î C\{0}:

z * z* = z* * z = n1 = 1

z * z* = 1 /:z¹0

z* = 1/z = 1/[a+bi]

a) - d) Þ Gruppe

e) Kommutativgesetz (KG): " z1,z2 Î C\{0}: z1 * z2 = z2 * z1

3) es müssen die beiden Distributivgesetze (DG) gelten:

" z1,z2,z3 Î C:

z1*(z2+z3) = z1*z2 + z1*z3

(z1+z2)*z3 = z1*z3 + z2*z3

Þ C ist ein Körper (nicht geordnet)

Bsp. 6)

Berechne Ö[ -1/2 - [iÖ[3]] /[2] ] auf zwei Arten (mit, ohne Polarkoordinaten) und zeige, daß eine Lösung eine dritte Einheitswurzel ist.

Ö[ -1/2 - [iÖ[3]] /[2] ] = a + bi /²

-1/2 - [iÖ[3]] /[2] = a² + 2abi - b²

-1/2 = a² - b²

[-Ö[3]] /[2] = 2ab Þ a = [-Ö[3]] /[4b]

-1/2 = 3/[16b²] - b² /*16b²

-8b² = 3 - 16b4

16b4 - 8b² - 3 = 0 b² = u

16u² - 8u - 3 = 0

u1,2 = [8 ± Ö[64 + 192] ]/32 = [8 ± Ö[256] ]/32 = [8 ± 16]/32

u1 = 24/32 = ¾

u2 = -8/32 = -1/4

b² = ¾ b1,2 = ± Ö[3]/2

b² = -1/4 b3,4 = ± i/2 Ï R

a1,2 = ± Ö[3] /[2Ö[3] ] = ± ½

L = {-1/2 + Ö[3]/2 i ; ½ - Ö[3]/2 i}

r = Ö[a² + b²] = Ö[1/4 + 3/4] = Ö[1] = 1

j = arctan [b/a] = arctan [ [-Ö[3]/2] /[-1/2] ] = arctan Ö[3] = 240°

Ö[-1/2 - [iÖ[3]] /[2] ] = Ö[(1;240°)] = (Ö[1]; 240°/2) = (1;120°) = -1/2 + Ö[3]/2 i

Ö[(1;240°)] = (Ö[1]; [240°+360°] /2) = (Ö[1]; 600°/2) = (1;300°) = ½ - Ö[3]/2 i

L = {-1/2 + Ö[3]/2 i ; ½ - Ö[3]/2 i}

z³ - 1 = 0 = (z - 1) (z² + z + 1)

z1 = 1

z² + z + 1 = 0

z2,3 = -1/2 ± Ö[1/4 - 1] = -1/2 ± Ö[-3/4] = -1/2 ± Ö[3]/2 i

z2 = -1/2 + Ö[3]/2 i

z3 = -1/2 - Ö[3]/2 i

L = {1 ; -1/2 + Ö[3]/2 i ; -1/2 - Ö[3]/2 i}

Bsp. 7)

9z² - 18 (1+i) z + 2 (16+21i) = 0 G = C

z1,2 = [18 (1+i) ± Ö[324 (1+2i-1) - 72 (16+21i)] ] /18 =

= [18 + 18i ± Ö[648i - 1152 - 1512i] ] /18 = [(18 + 18i) ± Ö[-1152 - 864i] ] /18 = /*

= [(18 + 18i) ± (12 - 36i)] /18

z1 = [18 + 18i + 12 - 36i] /18 = [30 - 18i] /18 = 5/3 - i

z2 = [18 + 18i - 12 + 36i] /18 = [6 + 54i] /18 = 1/3 + 3i

L = {5/3 - i ; 1/3 + 3i}



*) Ö[-1152 - 864i] = Ö[(1440;216.87°)] =

= (Ö[1440]; 216.87°/2) = (37.95;108.43°) =

= -12 + 36i


= (Ö[1440]; [216.87° + 360°] /2) =

= (Ö[1440]; 576.87°/2) = (37.95;288,43°) =

= 12 - 36i



Bsp. 8)

Polynome

Definition:

Eine Linearkombination der Form

P n(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a 1 x + a 0 = n å i=0 a i x i

, wobei a i Î C und a n ¹ 0, heißt ein Polynom n-ten Grades in 1 Variablen.

n ................. Grad des Polynoms

a i ............... Koeffizienten

a 0 ............... konstantes Glied



Nullstellen:

Eine Zahl a heißt Nullstelle von P n(a) = a n x n + ... + a 0 , wenn P n(a) = 0.



Fundamentalsatz der Algebra von Gauss:

Jedes Polynom n-ten Grades hat mindestens 1 Nullstelle in C.

Þ Jedes Polynom n-ten Grades hat genau n Nullstellen in C.



Das HORNER´sche Verfahren zur Berechnung von Polynomwerten:

P3 (x) = a3 x³ + a2 x² + a1 x + a0 =

= x (a3 x² + a2 x + a1) + a0 =

= x [x (a3 x + a2) + a1] + a0




a3


a2


a1


a0

a


a3


a3 * a + a2


a (a3 a + a2) + a1


a [a (a3 a + a2) + a1] + a0 = P3 (a)



P4 (x) = 5 x4 - x³ + 3x + 4

ges.: P4 (-3) = 427

P4 (2) = 82




5


-1


0


3


4

-3


5


-16


48


-141


427

2


5


9


18


39


82



P3 (z) = z³ - 2z² + z - 3

P3 (2+i) = -5 + 4i

P3 (2-i) = -5 - 4i




1


-2


1


-3

2 + i


1


i


2i


-5 + 4i

2 - i


1


-i


-2i


-5 - 4i



allgemein: P (z-) = [P (z)]- , nur dann, wenn a i Î R



Zerfällen von algebraischen Gleichungen, Satz von VIETA für Gleichungen höheren Grades:

geg.: Pn (x) = 1 x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a1 x + a0 = 0

Voraussetzung: an = 1 .......... Polynom n-ten Grades

Annahme: x1 ..... Lösung von Pn (x)

Pn (x-1) = x1 n + a n-1 x1 n-1 + a n-2 x1 n-2 + ... + a1 x1 + a0 = 0

(x n - x1 n) + a n-1 (x n-1 - x1 n-1) + a n-2 (x n-2 - x1 n-2) + ... + a1 (x - x1) = 0

(x - x1) [x n-1 + b n-2 x n-2 + ... + b1 x + b0] = 0 .................... Polynom (n-1)-ten Grades

Þ $ n Lösungen: x1, x2, ..., xn

(x - x1) (x - x2) (x - x3) ... (x - xn) = 0

Pn (x) = x n + a n-1 x n-1 + ... + a1 x + a0 = (x - x1) (x - x2) ... (x - xn)



x4 + 2x³ - 13x² - 14x + 24 = 0

x1 = 1

x2 = -2

(x - 1) ( x + 2) = x² + x - 2

(x4 + 2x³ - 13x² - 14x + 24) : (x² + x - 2) = x² + x - 12

- x4 - x³ + 2x²

x³ - 11x² - 14x

- x³ - x² + 2x

- 12x² - 12x + 24

+ 12x² + 12x - 24

0 R.

x² + x - 12 = 0

x3,4 = -1/2 ± Ö[1/4 + 12] = -1/2 ± Ö[49/4] = -1/2 ± 7/2

x3 = 3

x4 = -4

L = {1; -2; 3; -4}

Bsp. 9)

Gleichungen höheren Grades (>2)

a) Reziproke Gleichungen (Symmetrische Gleichungen):

Reziproke Gleichungen sind Gleichungen, die zu jeder Lösung a auch 1/a als Lösung besitzen. Reziproke Gleichungen sind symmetrisch bzw. antisymmetrisch.

a3 x³ + a2 x² + a1 x + a0 = 0

symmetrisch: a3 = a0

a2 = a1

antisymmetrisch: a3 = - a0

a2 = - a1

2x³ - 3x² - 3x + 2 = 0 G = R

2x³ + 2 - 3x² - 3x = 0

2 (x³ + 1) - 3x (x + 1) = 0

2 (x + 1) (x² - x + 1) - 3x (x + 1) = 0

(x + 1) [2 (x² - x + 1) - 3x] = 0

x1 = -1 2x² - 5x + 2 = 0

x2,3 = [5 ± Ö[25 - 16] ] /4 = [5 ± Ö[9] ] /4 = [5 ± 3] /4

x2 = [5 + 3] /4 = 8/4 = 2

x3 = [5 - 3] /4 = 2/4 = ½

L = {-1; 1/2; 2}

2x³ - 3x² + 3x - 2 = 0 G = R

2x³ - 2 - 3x² + 3x = 0

2 (x³ - 1) - 3x (x - 1) = 0

2 (x - 1) (x² + x + 1) - 3x (x - 1) = 0

(x - 1) [2 (x² + x + 1) - 3x] = 0

x1 = 1 2x² - x + 2 = 0

x2,3 = [1 ± Ö[1 - 16] ] /4 = [1 ± Ö[-15] ] /4 = [1 ± 3.87i] /4

x2 = [1 + 3.87i] /4 = ¼ + 0.97i Ï R

x3 = [1 - 3.87i] /4 = ¼ - 0.97i Ï R

L = {1}

Jede reziproke Gleichung 3. Grades hat entweder 1 oder -1 als Lösung.



b) 2x4 + 5x³ + 4x² + 5x + 2 = 0 /:x² ¹ 0 G = C

2x² + 5x + 4 + 5/x + 2/x² = 0

(2x² + 2/x²) + (5x + 5/x) + 4 = 0

2 (x² + 1/x²) + 5 (x + 1/x) + 4 = 0

x + 1/x = u /² ... Substitution

x² + 2 + 1/x² = u²

x² + 1/x² = u² - 2

2 (u² - 2) + 5u + 4 = 0

2u² + 5u = 0

u (2u + 5) = 0

u1 = 0 u2 = -5/2

x + 1/x = 0 /*x

x² + 1 = 0

x² = -1 /Ö

x = ± i

x1 = i

x2 = -i

x + 1/x = -5/2 /*x

x² + 5/2 x + 1 = 0

x3,4 = -5/4 ± Ö[25/16 - 1] = -5/4 ± Ö[9/16] = -5/4 ± ¾

x3 = -5/4 + ¾ = -2/4 = -1/2

x4 = -5/4 - ¾ = -8/4 = -2

L = {i; -i; -1/2; -2}



c) a4 x4 + a2 x² + a0 = 0 G = C

x² = u

a4 u² + a2 u + a0 = 0

usw.



d) a0 = 0 Þ x herausheben, usw.



e) x4 - 6x³ + 14x² - 16x + 8 = 0 G = C

T8 = {±1; ±2; ±4; ±8}




1


-6


14


-16


8

2


1


-4


6


-4


0

x1 = 2

x³ - 4x² + 6x - 4 = 0

T4 = {±1; ±2; ±4}




1


-4


6


-4

2


1


-2


2


0

x2 = 2

x² - 2x + 2 = 0

x3,4 = 1 ± Ö[1 - 2] = 1 ± Ö[-1] = 1 ± i

x3 = 1 + i

x4 = 1 - i

L = {2 (2) ; 1+i; 1-i}



2x4 + x³ - 9x² + 16x - 6 = 0 G = C

T = {±1; ±2; ±3; ±6; ± 1/2; ± 3/2}




2


1


-9


16


-6

-3


2


-5


6


-2


0

x1 = -3

2x³ - 5x² + 6x - 2 = 0

T = {±1; ±2; ± 1/2}




2


-5


6


-2

1/2


2


-4


4


0

x2 = ½

2x² - 4x + 4 = 0 /:2

x² - 2x + 2 = 0

x3,4 = 1 ± Ö[1 - 2] = 1 ± Ö[-1] = 1 ± i

x3 = 1 + i

x4 = 1 - i

L = {-3; 1/2; 1+i; 1-i}



f) Gleichungen ab dem 5. Grad sind nicht mehr allgemein lösbar.

Bsp. 10)

Funktionen

1) Funktion:

Definition:

Eine Funktion f: x ® y ist eine Zuordnung, die jedem Element von x = Df genau ein Element von y = f(x) der Wertemenge Wf Í y zuordnet.

Þ Funktion = eindeutige Zuordnung !



A = {2; 4; 5}

B = {8; 5; 15}

f: „x ist Teiler von y“

(1)

... Pfeildiagramm

f ist zwar eine Zuordnung, aber keine Funktion

(2) Menge von geordneten Paaren:

f: {(2/8); (4/8); (5/5); (5/15)}

(3)


(4) Wertetabelle



Definition:

Eine Funktion f heißt injektiv, wenn jedes y Î Y höchstens einmal getroffen wird.

injektiv: " x1 ¹ x2 Þ f(x1) ¹ f(x2)

Eine Funktion f heißt surjektiv, wenn jedes y Î Y mindestens einmal getroffen wird.

Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.



2) Monotonie:

Definition:

y = f(x) heißt streng monoton steigend (monoton steigend), wenn

" x1 < x2 Î D Þ f(x1) < f(x2)

(f(x1) £ f(x2))

y = f(x) heißt streng monoton fallend (monoton fallend), wenn

" x1 < x2 Î D Þ f(x1) > f(x2)

(f(x1) ³ f(x2))



3) Umkehrfunktion:

f*: Umkehrzuordnung x « y



4) Beschränktheit:

Definition:

Eine Funktion y = f(x) heißt nach oben beschränkt, wenn $ M Î R, daß f(x) £ M " x Î Df

Eine Funktion y = f(x) heißt nach unten beschränkt, wenn $ m Î R, daß f(x) ³ m " x Î Df

Eine Funktion heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach unten als auch nach oben beschränkt ist.

größte untere Schranke = Infimum = inf f(x)

kleinste obere Schranke = Supremum = sup f(x)



5) Intervalle, Umgebungen:

Definition:

geg.: a £ b a, b Î R

offenes Intervall = ]a; b[ = (a; b) = {x Î R ç a < x < b}

abgeschlossenes Intervall = [a; b] = {x Î R ç a £ x £ b}

e - Umgebung von a:

e - Umgebung von a = U(a; e)

® e > 0

U(a; e) = ]a-e; a+e[ = {x Î R ç a-e < x < a+e} = {x Î R ç çx-aç < e}



6) Stetigkeit:

geg.: y = f(x)

lim [x®a1-0] f(x) = lim [x®a1+0] f(x) = f(a1)

Grenzwert Grenzwert Funktionswert

von links von rechts



Definition:

Eine Funktion y = f(x) ist an der Stelle a stetig, wenn " e > 0 (e-Umgebungen um f(a)) $ d = d(e) > 0 (um a), so daß " x Î ]a-d; a+d[ : çf(x) - f(a)ç < e

Eine Funktion y = f(x) heißt stetig, wenn sie an jeder Stelle von Df stetig ist.



Eine stetige Kurve muß eine zusammenhängende Kurve sein.

lim [x®0-0] sgn x = -1 lim [x®0+0] sgn x = 1 sgn 0 = 0

Þ an Stelle 0 nicht stetig



7) Sätze über stetige Funktionen:

(1) Zwischenwertsatz:

Ist f in [a; b] eine stetige Funktion und gilt f(a) ¹ f(b), so nimmt f in ]a; b[ jeden Wert zwischen f(a) und f(b) mindestens einmal an.



(2) Nullstellensatz:

Haben f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, so besitzt f in ]a; b[ mindestens eine Nullstelle.



(3) Sind f und g in [a; b] stetig, so ist auch stetig:

a) c * f c Î R

b) f + c c Î R

c) f ± g

d) f * g

e) f / g , wenn g ¹ 0 in [a; b]

f) f n n Î N

Bsp. 11)

Differentialrechnung (Infinitesimalrechnung)

Isaac Newton (1643 - 1727) mit Hilfe der Momentangeschwindigkeit

Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646 - 1716) mit Hilfe des Tangentenproblems



1) Differenzenquotient, Differentialquotient:

Aufgabe der Differentialrechnung: Bestimmung des Anstiegs der Tangente in beliebigem Kurvenpunkt

geg.: y = f(x) ... stetig

P Î f

ges.: t in P

Q ® P Û Dx ® 0

Sekantenfolge

lim [n®¥] sn = t

Unter der Tangente in P versteht man die Grenzlage der Sekanten, wenn Q sich P nähert.

Unter dem Anstieg einer Kurve in P versteht man den Anstieg der Tangente in P.



Steigung von s1: tan b = Dx / Dy = [f(x + Dx) - f(x)] /Dx ... Differenzenquotient = Anstieg der Sekante

Q: f(x + Dx) = y + Dy

Dy = f(x + Dx) - y

Dy = f(x + Dx) - f(x)

tan a = y´(x) = f´(x) = lim [Dx®0] Dy / Dx = lim [Dx®0] [f(x + Dx) - f(x)] /Dx = dy / dx

... Differentialquotient = Anstieg der Tangente = 1. Ableitung von y = f(x)

Differenzieren bedeutet Berechnung des Differentialquotienten = Berechnung des Anstiegs einer Kurve

Bsp. 12)

Ableitung einfacher Funktionen

a) konstante Funktion:

y = c

y´ = lim [Dx®0] Dy / Dx = lim [Dx®0] [f(x + Dx) - f(x)] /Dx = lim [Dx®0] [c - c] /Dx =

= lim [Dx®0] 0/Dx = lim [Dx®0] 0 = 0



b) Ableitung von y = xn: n Î N

y = xn

y´ = n * x n-1

Beweis:

y = xn n Î N

a² - b² = (a - b) (a + b)

a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)

... ...

an - bn = (a - b) (a n-1 + a n-2 b + a n-3 b² + ... + a b n-2 + b n-1 ) /:(a - b)

[an - bn] /[a - b] = a n-1 + a n-2 b + ... + a b n-2 + b n-1 ... n Glieder

a = x + Dx

b = x

y´ = lim [Dx®0] [f(x + Dx) - f(x)] /Dx = lim [Dx®0] [(x + Dx) n - x n] /Dx =

= lim [Dx®0] [Dx [(x + Dx) n-1 + (x + Dx) n-2 x + ... + x n-1] ] /Dx =

= lim [Dx®0] [(x + Dx) n-1 + (x + Dx) n-2 x + ... + x n-1] = x n-1 + x n-2 x + x n-3 x² + ... + x n-1 =

= x n-1 + x n-1 + x n-1 + ... = ... n Glieder

= n * x n-1 q. e. d.

gilt auch für beliebige Exponenten



c) Ableitung von y = a * xn: a Î R ... konstanter Faktor

y´ = lim [Dx®0] Dy / Dx = lim [Dx®0] [f(x + Dx) - f(x)] /Dx =

= lim [Dx®0] [a (x + Dx) n - a * x n] /Dx = lim [Dx®0] [a [(x + Dx) n - x n] ] /Dx =

= a lim [Dx®0] [(x + Dx) n - x n] /Dx = a * n * x n-1

y = a * xn

y´ = a * n * x n-1

y = a * f(x)

y´ = a * f´(x)

Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten.



d) Ableitung einer Summe (Differenz):

geg.: y = u(x) + v(x) = f(x)

Behauptung: y´ = u´(x) + v´(x)

Voraussetzung:

$ u´(x) = lim [Dx®0] [u(x + Dx) - u(x)] /Dx

$ v´(x) = lim [Dx®0] [v(x + Dx) - v(x)] /Dx

Beweis:

y´ = lim [Dx®0] [f(x + Dx) - f(x)] /Dx = lim [Dx®0] [ [u(x + Dx) + v(x + Dx)] - [u(x) + v(x)] ] /Dx =

= lim [Dx®0] [ [u(x + Dx) - u(x)] /Dx + [v(x + Dx) - v(x)] /Dx ] =

= lim [Dx®0] [u(x + Dx) - u(x)] /Dx + lim [Dx®0] [v(x + Dx) - v(x)] /Dx =

= u´(x) + v´(x) q. e. d.

u, v ... differenzierbar, d. h. zumindest stetig, Þ daher Grenzwert und Funktionswert vertauschbar

Ableitung einer Summe (Differenz) = Summe (Differenz) der Ableitungen



e) Produktregel:

geg.: y = u(x) * v(x) = f(x)

Voraussetzung:

$ u´(x) = lim [Dx®0] [u(x + Dx) - u(x)] /Dx

$ v´(x) = lim [Dx®0] [v(x + Dx) - v(x)] /Dx

y´ = lim [Dx®0] [f(x + Dx) - f(x)] /Dx = lim [Dx®0] [u(x + Dx) * v(x + Dx) - u(x) * v(x)] /Dx =

= lim [Dx®0] [u(x + Dx) * v(x + Dx) - u(x) * v(x + Dx) + u(x) * v(x + Dx) - u(x) * v(x)] /Dx =

= lim [Dx®0] [v(x + Dx) [u(x + Dx) - u(x)] + u(x) [v(x + Dx) - v(x)] ] /Dx =

= lim [Dx®0] [v(x + Dx) [u(x + Dx) - u(x)] /Dx] + lim [Dx®0] [u(x) [v(x + Dx) - v(x)] /Dx] =

= v(x) * u´(x) + u(x) * v´(x) q. e. d.

y = u(x) * v(x)

y´= u´(x) * v(x) + u(x) * v´(x)



f) Ableitung eines Quotienten:

y = u / v

y´ = [u´ * v - u * v´] /v²

y = u(x) / v(x) = f(x)

y´ = [u´(x) * v(x) - u(x) * v´(x)] /[v(x)²] = f´(x)

Annahme:

$ u´(x) = lim [Dx®0] [u(x + Dx) - u(x)] /Dx

$ v´(x) = lim [Dx®0] [v(x + Dx) - v(x)] /Dx

Beweis:

u(x) / v(x) = f(x) /*v(x)

u(x) = f(x) * v(x) /´

u´(x) = f´(x) * v(x) + f(x) * v´(x)

f´(x) * v(x) = u´(x) - f(x) * v´(x) /:v(x)

f´(x) = [u´(x) - f(x) * v´(x)] /[v(x)]

f´(x) = [u´(x) - u(x)/v(x) * v´(x)] /[v(x)] =

= [ [u´(x) * v(x) - u(x) * v´(x)] /[v(x)] ] /[v(x)] =

= [u´(x) * v(x) - u(x) * v´(x)] /[v²(x)]



Spezialfälle:

1) y = 1/v(x) y´ = - [v´(x)] /[v²(x)]

2) y = 1/x y´ = - 1/x² y´´ = 2x/x4 = 2/x³ y´´´ = - 6/x4



g) Kettenregel:

y = f(z) ... äußere Funktion

z = g(x) ... innere Funktion

y = f(z) = f(g(x)) = h(x)

h = f ° g

y´ = f´(z) * g´(x)



h) Ableitung der Kettenregel:

geg.: y = h(x) = f(g(x)) = f(z)

Voraussetzung:

$ f´(z) = lim [Dx®0] [f(z + Dz) - f(z)] /Dz

$ g´(x) = lim [Dx®0] [g(x + Dx) - g(x)] /Dx

Beweis:

g(x) = z

g(x + Dx) = z + Dz

(Dx®0 Û Dz®0)

Dz = g(x + Dx) - z = g(x + Dx) - g(x)

y´ = lim [Dx®0] [h(x + Dx) - h(x)] /Dx = lim [Dx®0] [f(g(x + Dx)) - f(g(x))] /Dx =

= lim [Dx®0; Dz®0] [f(z + Dz) - f(z)] /Dx = lim [Dx®0; Dz®0] [ [f(z + Dz) - f(z)] /Dx * Dz/Dz ] =

= lim [Dx®0; Dz®0] [ [f(z + Dz) - f(z)] /Dz * Dz/Dx ] =

= lim [Dx®0; Dz®0] [ [f(z + Dz) - f(z)] /Dz * [g(x + Dx) - g(x)] /Dx ] =

= lim [Dz®0] [f(z + Dz) - f(z)] /Dz * lim [Dx®0] [g(x + Dx) - g(x)] /Dx =

= f´(z) * g´(x) q. e. d.

Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion ist gleich dem Produkt aus der Ableitung der äußeren Funktion und der Ableitung der inneren Funktion.

Bsp. 13)

geg.: y = [3x² + 1] /[2x Ö[7 - 4x] ]

ges.: Gleichung der Tangente in P (1/y)

y´ = [6x * 2x Ö[7 - 4x] - (3x² + 1) [2 Ö[7 - 4x] + 2x * ½ (7 - 4x)^(-1/2) (-4)] ] /[(2x Ö[7 - 4x])²] =

= [12x² Ö[7 - 4x] - (3x² + 1) [2 Ö[7 - 4x] + [-4x]/[ Ö[7 - 4x]] ] ] /[4x² (7 - 4x)] =

= [12x² Ö[7 - 4x] - (3x² + 1) [2 (7 - 4x) - 4x]/[ Ö[7 - 4x]] ] /N =

= [12x² Ö[7 - 4x] - [(3x² + 1) (-12x + 14)]/[ Ö[7 - 4x]] ] /N =

= [ [12x² (7 - 4x) + 36x³ - 42x² + 12x - 14]/[ Ö[7 - 4x]] ] /N =

= [-12x³ + 42x² + 12x - 14] /[4x² (7 - 4x) Ö[7 - 4x]] =

= [-6x³ + 21x² + 6x - 7] /[2x² (7 - 4x) Ö[7 - 4x]]

y(1) = 4 /[2Ö[3]] = 2/Ö[3]

P (1 / 2/Ö[3])

t: y = kx + d

y´(1) = [-6 + 21 + 6 - 7] /[2 * 3 Ö[3]] = 14/[6Ö[3]] = 7/[3Ö[3]] = k

y = 7/[3Ö[3]] x + d

P: 2/Ö[3] = 7/[3Ö[3]] * 1 + d

d = 2/Ö[3] - 7/[3Ö[3]] = [6 - 7] /[3Ö[3]] = - 1/[3Ö[3]]

t: y = 7/[3Ö[3]] x - 1/[3Ö[3]]

Bsp. 14)

Sätze der Differentialrechnung

Satz von Rolle:

Ist f in [a; b] stetig und in ]a; b[ differenzierbar und gilt f(a) = f(b), so $ mindestens 1 Stelle x in ]a; b[ mit f´(x) = 0



Mittelwertsatz der Differentialrechnung:

Ist f in [a; b] stetig und in ]a; b[ differenzierbar, so besitzt f in ]a; b[ mindestens 1 Stelle x mit f´(x) = [f(b) - f(a)] /[b - a]

Sehne s: tan a = [f(b) - f(a)] /[b - a]

Þ mindestens 1 zur Sehne f(a)-f(b) || Tangente

Bsp. 15)

geg.: f: R ® R, x ® ax³ + bx² + cx + d hat im Ursprung die Steigung 3 und im Punkt T (6/0) einen Tiefpunkt

g: R ® R, x ® px² + qx + r hat einen Scheitelpunkt an der Stelle 3 und schneidet f im Ursprung

rechtwinkelig

ges.: f, g, Diskussion

f: y = ax³ + bx² + cx + d

y´ = 3ax² + 2bx + c

f: y(0) = 0 = d

y(6) = 0 = 216a + 36b + 6c + d

y´(0) = 3 = c

y´(6) = 0 = 108a + 12b + c

Þ a = 1/12 ; b = -1 ; c = 3 ; d = 0

f: y = (1/12)x³ - x² + 3x

g: y = px² + qx + r

y´ = 2px + q

g: y(0) = 0 = r

y´(3) = 0 = 6p + q

y´(0) = -1/3 = q

Þ p = 1/18 ; q = -1/3 ; r = 0

g: y = (1/18)x² - (1/3)x

Diskussion:

f: y = (1/12)x³ - x² + 3x

y´ = (1/4)x² - 2x + 3

y´´ = (1/2)x - 2

1) D = R

2) (1/12)x³ - x² + 3x = 0

Þ x1 = 0

x2,3 = 6

N1 (0/0)

N2 (6/0) (2)

3) $ a

4) (1/4)x² - 2x + 3 = 0

Þ x1 = 6

x2 = 2

y´´(6) = 1 > 0 Þ T (6/0)

y´´(2) = -1 < 0 Þ H (2/[8/3])

5) (1/2)x - 2 = 0

x = 4

W (4/[4/3])

w: y = kx + d

y´(4) = -1

4/3 = -4 + d

d = 16/3

w: y = -x + 16/3


g: y = (1/18)x² - (1/3)x

y´ = (1/9)x - (1/3)

y´´ = 1/9

D = R

(1/18)x² - (1/3)x = 0

Þ x1 = 0

x2 = 6

N1 (0/0)

N2 (6/0)

$ a

(1/9)x - (1/3) = 0

x = 3

y´´(3) = 1/9 > 0 Þ T (3/[-1/2])





1/9 = 0 f. A.

Þ $ W













6)

x


x < 2


x = 2


2< x <6


x = 6


x > 6





x


x < 3


x = 3


x > 3




> 0


0


< 0


0


> 0








< 0


0


> 0

Þ


s. m. st.


H


s. m. f.


T


s. m. st.





Þ


s. m. f.


T


s. m. st.

































x


x < 4


x = 4


x > 4











x









f´´


< 0


0


> 0











g´´


> 0







Þ


neg. gekr.


W


pos. gekr.











Þ


pos. gekr.







7)



Bsp. 16)

geg.: y = x³/[(x-1)²]

ges.: Kurvendiskussion

y = x³/[(x-1)²]

y´ = [3x² (x-1)² - x³ 2(x-1)] /[(x-1)^4] = [(x-1) [3x² (x-1) - 2x³] /[(x-1)^4] = [3x³ - 3x² - 2x³] /[(x-1)³] =

= [x³ - 3x²] /[(x-1)³]

y´´ = [(3x² - 6x) (x-1)³ - (x³ - 3x²) 3(x-1)²] /[(x-1)^6] = [(x-1)² [(3x² - 6x) (x-1) - 3(x³ - 3x²)]] /[(x-1)^6] =

= [3x³ - 6x² - 3x² + 6x - 3x³ + 9x²] /[(x-1)^4] = [6x] /[(x-1)^4]

1) (x-1)² = 0 /Ö

x-1 = 0

x = 1

D = R \ {1}

2) x³/[(x-1)²] = 0 /*N

x³ = 0

x = 0

N (0/0) (3)

3) a1: x = 1

lim [x®±¥] (x³/[(x-1)²]) = lim [x®±¥] (x + [2x² - x] /[x² - 2x + 1]) =

= lim [x®±¥] (x + [2x²/x² - x/x²] /[x²/x² - 2x/x² + 1/x²]) = lim [x®±¥] (x + [2 - 1/x] /[1 - 2/x + 1/x²]) =

= lim [x®±¥] (x + 2)

a2: y = x + 2

4) [x³ - 3x²] /[(x-1)³] = 0 /*N

x³ - 3x² = 0

Þ x1,2 = 0

x3 = 3

y´´(0) = 0 Þ S (0/0) (2)

y´´(3) = 9/8 > 0 Þ T (3/[27/4])

5) [6x] /[(x-1)^4] = 0 /*N

6x = 0

x = 0

W (0/0)

w: y = kx + d

y´(0) = 0

d = 0

w: y = 0

6)

x


x < 0


x = 0


0 < x < 1


1 < x < 3


x = 3


x > 3




> 0


0


> 0


< 0


0


> 0

Þ


s. m. st.


S


s. m. st.


s. m. f.


T


s. m. st.





















x


x < 0


x = 0


0 < x < 1


x > 1







f´´


< 0


0


> 0


> 0







Þ


neg. gekr.


W


pos. gekr.


pos. gekr.







7)



Bsp. 17)

Einem gleichschenkeligen Dreieck soll jenes Rechteck eingeschrieben werden, daß den größten Flächeninhalt besitzt !

HB: A = x * y ..... Max.

DAMC » DADE ..... Strahlensatz

a/2 : h = AD : DE

a/2 : h = (a/2 - x/2) : y

a/2 * y = h (a/2 - x/2)

y = [2h (a/2 - x/2)] /[a]

NB: y = [h (a - x)] /[a]

A = x * [h (a - x)] /[a]

f(x) = x * [h (a - x)] /[a] = h/a * x(a-x)

f(x) = h/a (ax - x²)

f´(x) = h/a (a - 2x)

h/a (a - 2x) = 0

a - 2x = 0

x = a/2

NB: y = [h (a - a/2)] /[a] = [[a h] /2] /[[TG2] a] = [a h] /[2a] = h/2

y = h/2

Dx = [0;a]

Dy = [0;h]

HB: A = x * y = a/2 * h/2 = [a h] /4

f´´(x) = h/a (-2)

f´´(a/2) = [-2h] /[[TG3] a] < 0 Þ Max.

A: Das Rechteck mit den Seiten a/2 ; h/2 hat den maximalen Flächeninhalt [a h] /4 .

Bsp. 18)

Welches von allen Rechtecken mit gegebener Diagonale hat die größte Fläche ?

HB: A = a * b ..... Max. NB: a² + b² = d²

A = a Ö[d² - a²] b = Ö[d² - a²]

g(a) = a Ö[d² - a²] /²

f(a) = g²(a) = a² (d² - a²) NB: b = Ö[d² - a²] =

f(a) = a²d² - a^4 = Ö[d² - d²/2] = Ö[d²/2] =

f´(a) = 2ad² - 4a³ = d/2 Ö[2]

0 = d² * 2a - 4a³ = a (d² * 2 - 4a²)

a1 = 0 2d² = 4a² A = a b = (d/2 Ö[2])² = d²/2

a² = d²/2

a2 = d/2 Ö[2]

f´´(a) = 2d² - 12a²

f´´(0) = 2d² > 0 Þ Min.

f´´(d/2 Ö[2]) = 2d² - 12 d²/2 = 2d² - 6d² = -4d² < 0 Þ Max.

A: Das Quadrat mit der Seitenlänge d/2 Ö[2] hat die maximale Fläche d²/2 .

Bsp. 19)

Von einem quadratischen Blech (Seitenlänge = a) werden an den Ecken Quadrate ausgeschnitten, aus dem Rest wird eine Schachtel gebildet. Wie groß muß die Seitenlänge der auszuschneidenden Quadrate sein, daß das Volumen der Schachtel maximal wird ?

HB: V = G * h = (a - 2x)² * x = f(x)

Dx = [0;a/2]

f´(x) = 2(a - 2x) (-2)x + (a - 2x)² = -4x (a - 2x) + (a - 2x)²

0 = -4x (a - 2x) + (a - 2x)²

4x (a - 2x) = (a - 2x)² /:(a - 2x) a - 2x = 0

4x = a - 2x a = 2x

6x = a x = a/2 ® Randextremum

x = a/6

V = (a - a/3)² * a/6 = (2a/3)² * a/6 = [4a²]/9 * a/6 = [4a³] /[54] = [2a³] /[27]

f´´(x) = -4(a - 2x) + (-4x) (-2) + 2(a - 2x) (-2) = -8a + 24x

f´´(a/6) = -8a + [24a]/6 = -8a + 4a = -4a < 0 Þ Max.

f´´(a/2) = -8a + [24a]/2 = -8a + 12a = 4a > 0 Þ Min.

A: Die Quadrate müssen die Seitenlänge a/6 haben, damit das Volumen maximal [2a³] /[27] wird.

Bsp. 20)

Einem Drehkegelstumpf (R, r, h) werden Drehzylinder eingeschrieben, deren Grundflächen konzentrisch in der Grundfläche des Drehzylinders liegen. Wie sind die Maße des Zylinders mit maximalem Volumen ?

HB: V = x²py ..... Max. NB: (R-x) : y = (R-r) : h

f(x) = x²p [h(R-x)] /[R-r] = y = [h(R-x)] /[R-r]

= p [h] /[R-r] x²(R-x)

g(x) = x² (R-x) = Rx² - x³ Dx = [0;R]

g´(x) = 2Rx - 3x² Dy = [0;h]

2Rx - 3x² = 0

x (2R - 3x) = 0 y = [h (R - 2/3 R)] /[R-r] = [[h R]/3] /[R-r] =

x1 = 0 2R = 3x = [R h] /[3 (R-r)]

x2 = 2/3 R

g´´(x) = 2R - 6x V = x²py = 4/9 R² p [R h] /[3(R-r)] =

g´´(2/3 R) = 2R - 4R = -2R < 0 Þ Max. = [4 R³ h p] /[27 (R-r)]

Þ r £ 2/3 R ® x = 2/3 R

r > 2/3 R ® x = r , y = h

A: Der Zylinder mit x = 2/3 R , y = [R h] /[3 (R-r)] hat maximales Volumen [4 R³ h p] /[27 (R-r)] .



Sonderfall:

r > [2/3]*R Þ x = r ; y = h

Bsp. 21)

Ableitung der Winkelfunktionen

a) Sinus:

y = sin x

y´ = cos x

BC = arc a

arc a = [p*a] /[180]

A Kreissektor = [r²*p*a] /[360] = [b*r] /[2]

b = [p*r*a] /[180]

r = 1 ® b = arc a ^ a

AD0AB < A Kreissektor 0CB < AD0CD

½ sin a cos a < a/2 < ½ tan a /: ½ sin a

cos a < [a] /[sin a] < [tan a] /[sin a]

cos a < [a] /[sin a] < [1] /[cos a]

lim [a®0] cos a £ lim [a®0] [a] /[sin a] £ lim [a®0] [1] /[cos a]

lim [a®0] cos a = cos 0 = 1

lim [a®0] [1] /[cos a] = 1/1 = 1

1 £ lim [a®0] [a] /[sin a] £ 1

Þ lim [a®0] [a] /[sin a] = 1

Þ lim [a®0] [sin a] /[a] = 1

sin a - sin b = 2 sin [a-b] /[2] cos [a+b] /[2]

x + Dx = a

x = b

Dx = a - b

y = sin x = f(x)

y´ = lim [Dx®0] [f(x+Dx) - f(x)] / [Dx] = lim [Dx®0] [sin (x+Dx) - sin x] / [Dx] =

= lim [Dx®0] [2 sin [x+Dx-x]/[2] cos [x+Dx+x]/[2]] / [Dx] =

= lim [Dx®0] [2 sin [Dx]/[2] cos [2x+Dx]/[2]] / [Dx] =

= lim [Dx®0] [sin [Dx]/[2]] / [[Dx]/[2]] cos (x + [Dx]/[2]) = cos x



b) Cosinus:

y = cos x = sin (p/2 - x)

y´ = cos (p/2 - x) * (-1) = - sin x



c) Tangens:

y = tan x = [sin x] /[cos x]

y´ = [cos² x - sin x (-sin x)] /[cos² x] = [cos² x + sin² x] /[cos² x] =

·) = [cos² x] /[cos² x] + [sin² x] /[cos² x] = 1 + tan² x

·) = [1] /[cos² x]



d) Cotangens:

y = cot x = [cos x] /[sin x]

y´ =

·) = -1 - cot² x

·) = - [1] /[sin² x]

Bsp. 22)

Kurvendiskussion:

y = 2 sin x + sin 2x [0;2p]

1) D = [0;2p]

2) 2 sin x + sin 2x = 0 ..... goniometrische Gleichung

2 sin x + 2 sin x cos x = 0 sin 2x = 2 sin x cos x

2 sin x (1 + cos x) = 0

2 sin x = 0 1 + cos x = 0

sin x = 0 cos x = -1

x1 = 0 x4 = p

x2 = p

x3 = 2p

N1 (0/0)

N2 (p/0) (2)

N3 (2p/0)

3) $ a

4) y´ = 2 cos x + 2 cos 2x cos 2x = cos² x - sin² x

0 = 2 cos x + 2 cos 2x

0 = 2 cos x + 2 (cos² x - sin² x) /:2

0 = cos x + cos² x - (1 - cos² x)

0 = cos x + cos² x - 1 + cos² x

2 cos² x + cos x - 1 = 0 /:2

cos² x + ½ cos x - ½ = 0

(cos x)1,2 = -1/4 ± Ö[1/16 + 1/2] = -1/4 ± Ö[9/16] = -1/4 ± ¾

(cos x)1 = -1 Þ x1 = p

(cos x)2 = ½ Þ x2 = p/3

x3 = 5p/3

y´´ = -2 sin x - 4 sin 2x

y´´(p) = 0 Þ S (p/0)

y´´(p/3) = -5.20 < 0 Þ H ([p/3]/2.60)

y´´(5p/3) = 5.20 > 0 Þ T ([5p/3]/-2.60)

5) 0 = - 2 sin x - 4 sin 2x

0 = - 2 sin x - 4 (2 sin x cos x)

0 = - 2 sin x - 8 sin x cos x /:(-2)

0 = sin x + 4 sin x cos x

0 = sin x (1 + 4 cos x)

sin x = 0 1 + 4 cos x = 0

x1 = 0 4 cos x = -1

x2 = p cos x = -1/4

x3 = 2p x4 = 1.82

x5 = 4.46

W1 (0/0) W4 (1.82/1.45)

W2 (p/0) W5 (4.46/-1.45)

W3 (2p/0)

y´(0) = 4 d = 0 - 4*0 = 0

y´(p) = 0 d = 0 - 0*p = 0

y´(2p) = 4 d = 0 - 4*2p = -8p

y´(1.82) = -2.25 d = 1.45 - (-2.25)*1.82 = 5.56

y´(4.46) = -2.25 d = -1.45 - (-2.25)*4.46 = 8.58

w1: y = 4x

w2: y = 0

w3: y = 4x - 8p

w4: y = -9/4 x + 5.56

w5: y = -9/4 x + 8.58

6)

x


0 < x < p/3


x = p/3


p/3 < x < p


x = p


p < x < 5p/3


x = 5p/3


5p/3 < x < 2p










> 0


0


< 0


0


< 0


0


> 0







Þ


s. m. st.


H


s. m. f.


S


s. m. f.


T


s. m. st.




































x


x = 0


0 < x < 1.82


x = 1.82


1.82 < x < p


x = p


p < x < 4.46


x = 4.46


4.46 < x < 2p


x = 2p

f´´


0


< 0


0


> 0


0


< 0


0


> 0


0

Þ


W


neg. gekr.


W


pos. gekr.


W


neg. gekr.


W


pos. gekr.


W

7)



Bsp. 23)

Kurvendiskussion:

y = sin x + cos x [-p/4;7p/4]

1) D = [-p/4;7p/4]

2) 0 = sin x + cos x

sin x = - cos x /:cos x

tan x = -1

x1 = 3p/4

x2 = 7p/4

x3 = -p/4

N1 ([-p/4]/0)

N2 ([3p/4]/0)

N3 ([7p/4]/0)

3) $ a

4) y´ = cos x - sin x

0 = cos x - sin x

sin x = cos x /:cos x

tan x = 1

x1 = p/4

x2 = 5p/4

y´´ = - sin x - cos x

y´´(p/4) = -Ö[2] < 0 Þ H ([p/4]/ Ö[2])

y´´(5p/4) = Ö[2] > 0 Þ T ([5p/4]/-Ö[2])

5) 0 = - sin x - cos x

sin x = - cos x /:cos x

tan x = -1

x1 = 3p/4

x2 = 7p/4

x3 = -p/4

W1 ([-p/4]/0)

W2 ([3p/4]/0)

W3 ([7p/4]/0)

y´(-p/4) = Ö[2] d = 0 - Ö[2] * (-p/4) = 1.11

y´(3p/4) = -Ö[2] d = 0 - (-Ö[2]) * (3p/4) = 3.33

y´(7p/4) = Ö[2] d = 0 - Ö[2] * (7p/4) = -7.78

w1: y = Ö[2] x + 1.11

w2: y = -Ö[2] x + 3.33

w3: y = Ö[2] x - 7.78

6)

x


-p/4 < x < p/4


x = p/4


p/4 < x < 5p/4


x = 5p/4


5p/4 < x < 7p/4




> 0


0


< 0


0


> 0

Þ


s. m. st.


H


s. m. f.


T


s. m. st.


















x


x = -p/4


-p/4 < x < 3p/4


x = 3p/4


3p/4 < x < 7p/4


x = 7p/4

f´´


0


< 0


0


> 0


0

Þ


W


neg. gekr.


W


pos. gekr.


W

7)



Bsp. 24)

Aus 3 gleich breiten Brettern (Breite = a) soll eine Rinne von möglichst großem trapezförmigem Querschnitt gebildet werden. In welchem Neigungswinkel müssen die Seitenwände zur Horizontalen geneigt sein ?

HB: A = [(a+c)*h]/2 1. NB: cos a = h/a

a= [(a+a+2a sin a)*a cos a]/2 = h = a cos a

= [(2a + 2a sin a) a cos a]/2 = 2. NB: sin a = [[c-a]/2]/a

= [2a (1 + sin a) a cos a]/2 = [c-a]/2 = a sin a

= a² cos a (1 + sin a) c-a = 2a sin a

Da = [0°;90°] c = a + 2a sin a

f(a) = (1 + sin a) cos a

f´(a) = cos a * cos a + (1 + sin a) (-sin a) =

= cos² a - sin a (1 + sin a) =

= cos² a - sin a - sin² a

cos² a - sin a - sin² a = 0

1 - sin² a - sin a - sin² a = 0

-2 sin² a - sin a + 1 = 0 /:(-2)

sin² a + ½ sin a - ½ = 0

(sin a)1,2 = -1/4 ± Ö[1/16 + 1/2] = -1/4 ± Ö[9/16] = -1/4 ± ¾

(sin a)1 = ½ Þ a1 = 30°

(sin a)2 = -1 Þ a2 = 270° Ï D

f´´(a) = 2 cos a (-sin a) - cos a - 2 sin a cos a = -2 sin a cos a - cos a - 2 sin a cos a =

= -4 sin a cos a - cos a

f´´(30°) = -4 sin 30° cos 30° - cos 30° = -2.60 < 0 Þ Max.

b = 90° + a = 120°

h = a cos a = [aÖ[3]]/2

c = a + 2a sin a = a + 2a/2 = 2a

A = [(a+c)*h]/2 = [(a + 2a) [aÖ[3]]/2]/2 = [3a²Ö[3]]/4

A: Die Wände müssen mit 120° geneigt sein, daß die Querschnittsfläche maximal [3a²Ö[3]]/4 ist.

Bsp. 25)

NEWTONsches Näherungsverfahren zum Lösen von algebraischen Gleichungen höheren Grades und transzendenten Gleichungen

z. B.: geg.: y = f(x) ................. Polynom n-ten Grades

ges.: Nullstelle X

P (x0/y0) ......... Startwert = x0

rechnerisch:

t0: y = kx + d k = f´(x0)

y = f´(x0) * x + d

P (x0/y0): y0 = f´(x0) * x0 + d

d = y0 - f´(x0) * x0

Þ t0: y = f´(x0) * x + (y0 - f´(x0) * x0)

t0 Ç x-Achse: y = 0

0 = f´(x0) * x1 + (y0 - f´(x0) * x0)

x1 = [-y0 + f´(x0) * x0] /[f´(x0)]

Quellenangaben des Verfassers