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5613 Maturamappe Mathematik Mathematik 11 2 2048
Kurzbeschreibung
Maturamappe Mathematik, Beispiele, Formeln, Ableitungen, Graphen aus den Gebieten, Ellipse, Sonderfall: Kreis, Hyperbel, Parabel, Komplexe Zahlen, Die Menge C als nicht geordneter Körper, Gleichungen höheren Grades, Funktionen
Inhalt des Referats
Bsp. 1) Ellipse 1. Hauptlage: 2. Hauptlage: F1, F2 .................... Brennpunkte MF1 = MF2 = e ..... Brennweite = lineare Exzentrizität A, B ....................... Hauptscheitel AB = 2a ................. Hauptachse C, D ....................... Nebenscheitel CD = 2b ................. Nebenachse a² = b² + e² Definition: Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu 2 festen Punkten, den Brennpunkten, konstant 2a ist. ell={X | XF1 + XF2 = 2a} Spezialfälle: 1) a=b ® Kreis (e=0, F1=F2=M) 2) b=e ® gleichseitige Ellipse Gleichung einer Ellipse in 1. Hauptlage: Gleichung einer Ellipse in 2. Hauptlage: b²x² + a²y² = a²b² a²x² + b²y² = a²b² x²/a² + y²/b² = 1 x²/b² + y²/a² = 1 Ableitung der Gleichung einer Ellipse in 1. Hauptlage: XF1 + XF2 = 2a X (x/y) F1 (-e/0) F2 (e/0) X®F1 = (-e-x -y) |(-e-x -y)| + |(e-x -y)| = 2a Ö[(-e-x)²+(-y)²] + Ö[(e-x)²+(-y)²] = 2a Ö[e²+2ex+x²+y²] = 2a - Ö[e²-2ex+x²+y²] /² e²+2ex+x²+y² = 4a² - 4aÖ[e²-2ex+x²+y²] + e²-2ex+x²+y² 4ex-4a² = -4aÖ[e²-2ex+x²+y²] /:4 -a²+ex = -aÖ[e²-2ex+x²+y²] /² a4-2a²ex+e²x² = a²e²-2a²ex+a²x²+a²y² e²x²-a²x²-a²y² = -a4+a²e² e² = a²-b² a²x²-b²x²-a²x²-a²y² = -a4+a4-a²b² /*(-1) b²x²+a²y² = a²b² Berührbedingung der Ellipse in 1. Hauptlage: g: y=kx+d ell: b²x²+a²y²=a²b² b²x²+a²(kx+d)²=a²b² b²x²+a²k²x²+2a²dkx+a²d²=a²b² (b²+a²k²)x²+(2a²dk)x+(a²d²-a²b²)=0 /:(b²+a²k²)>0 x²+2[a²dk] /[b²+a²k²]x+[a²d²-a²b²] /[b²+a²k²] =0 x1,2 =-[a²dk] /[b²+a²k²] ±Ö[[a^4d²k²] /[(b²+a²k²)²] - [(a²d²-a²b²)(b²+a²k²)] /[(b²+a²k²)²] ] x1,2 =-[a²dk] /[b²+a²k²] ± [1] /[b²+a²k²] Ö[a4d²k²-[TG1] a²b²d²+a²b4-a4d²k²+a4b²k²] D = a²b² (-d²+b²+a²k²) D>0 ® 2 Lösungen ® Sekante D<0 ® {} ® Passante D=0 ® 1 Lösung ® Tangente -d²+b²+a²k²=0 b² + a²k² = d² Spezialfall: a=b=r r²+r²k²=d² r²(1+k²)=d² Tangentengleichung bzw. Polarengleichung der Ellipse in 1. Hauptlage: T (x1/y1) Î ell: b²x1x + a²y1y = a²b² [x1x]/a² + [y1y]/b² = 1 P (x1/y1) Ï ell: b²x1x + a²y1y = a²b² Sonderfall: Kreis Ursprungslage: allgemeine Lage: Definition: Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt M den gleichen Abstand haben. k(M,r) = {X | MX = r} Kreisgleichung: | M®X | = | X® | = r X® = (x y) m® = (u v) | (x-0 y-0) | = r (X® - m®)² = r² | (x y) | = r | M®X | = r Ö[x²+y²] = r /² | (x-u y-v) | = r x² + y² = r² Ö[(x-u)²+(y-v)²] = r /² X®² = r² (x-u)² + (y-v)² = r² Berührbedingung eines Kreises: r² (1 + k²) = d² r² (1 + k²) = (ku -v + d)² Bsp. 2) Hyperbel 1. Hauptlage: 2. Hauptlage: A, B ........................ Hauptscheitel C, D ........................ Nebenscheitel F1, F2 ..................... Brennpunkte AB = 2a .................. Hauptachse CD = 2b .................. Nebenachse u, v ......................... Asymptoten der Hyperbel e² = a² + b² Definition: Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, für die die Differenz der Abstände zu 2 festen Punkten, den Brennpunkten, konstant 2a ist. hyp={X | |XF1 - XF2| = 2a} Gleichung einer Hyperbel in 1. Hauptlage: Gleichung einer Hyperbel in 2. Hauptlage: b²x² - a²y² = a²b² -a²x² + b²y² = a²b² Ableitung der Gleichung einer Hyperbel in 1. Hauptlage: linker Ast: XF1 - XF2 = -2a |(-e-x -y)| - |(e-x -y)| = -2a Ö[(-e-x)²+y²] - Ö[(e-x)²+y²] = -2a Ö[(-e-x)²+y²] = -2a + Ö[(e-x)²+y²] /² e²+2ex+x²+y² = 4a²+e²-2ex+x²+y² -4aÖ[(e-x)²+y²] 2ex-2a² = -2aÖ[(e-x)²+y²] ex-a² = -aÖ[(e-x)²+y²] /² rechter Ast: XF1 - XF2 = 2a |(-e-x -y)| - |(e-x -y)| = 2a Ö[(-e-x)²+y²] = 2a + Ö[(e-x)²+y²] ex-a² = aÖ[(e-x)²+y²] /² e²x²-2a²ex+a4 = a²e²-2a²ex+a²x²+a²y² b²x²-a²y²=a²b² e²x²-a²x²-a²y²=2a²ex-a4+a²e²-2a²ex (e²-a²)x²-a²y²=a²e²-a4 b²x²-a²y²=a²(e²-a²) b²x²-a²y²=a²b² Berührbedingung der Hyperbel in 1. Hauptlage: g: y=kx+d hyp: b²x²-a²y²=a²b² b²x²-a²(kx+d)²=a²b² b²x²-a²k²x²-2a²kxd-a²d²=a²b² (b²-a²b²)x²+(-2a²kd)x+(-a²d²-a²b²)=0 /:(b²-a²k²)¹0 x²+ [-2a²dk] /[b²a²k²]x+ [-a²d²-a²b²] /[b²-a²k²] =0 x1,2 =[a²dk] /[b²-a²k²] ±Ö[[a^4d²k²] / [(b²-a²k²)²] + [(a²d²+a²b²)(b²-a²k²)] / [(b²-a²k²)²] ] D = b²+d²-a²k² D>0 ® Sekante D<0 ® Passante D=0 ® Tangente b²+d²-a²k²=0 a²k² - b² = d² Spezialfall: b²-a²k²=0 k² = b²/a² k = ± b/a d=0 Þ u,v: y = ± b/a x d¹0 Þ y = ± b/a x + d (|| ass) Jede Gerade parallel zu einer Asymptote schneidet die Hyperbel in 1 Punkt (Sekante !). Tangentengleichung bzw. Polarengleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage: T (x1/y1) Î hyp: b²x1x - a²y1y = a²b² [x1x]/a² - [y1y]/b² = 1 P (x1/y1) Ï hyp: b²x1x - a²y1y = a²b² Bsp. 3) Parabel 1. Hauptlage: 2. Hauptlage: 3. Hauptlage: 4. Hauptlage: LF = p ............. Parameter a ...................... Achse l ...................... Leitlinie der Parabel F ...................... Brennpunkt A ..................... Scheitel der Parabel Definition: Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, für die der Abstand von einem festen Punkt F gleich dem Abstand von einer festen Geraden l ist. par={X | XF = Xl} Gleichung einer Parabel in 1. Hauptlage: Gleichung einer Parabel in 2. Hauptlage: y² = 2px x² = 2py Gleichung einer Parabel in 3. Hauptlage: Gleichung einer Parabel in 4. Hauptlage: y² = -2px x² = -2py Ableitung der Gleichung einer Parabel in 1. Hauptlage: XF = Xl XF = |(p/2 -x -y)| = Ö[(p/2 -x)²+y²] Xl = x + p/2 Ö[(p/2 -x)²+y²] = x+ p/2 /² p^2 /4 -px+x²+y² = x²+px+ p^2 /4 y² = 2px Berührbedingung der Parabel in 1. Hauptlage: g: y=kx+d par: y²=2px k²x²+2dkx+d²=2px k²x²+2dkx-2px+d²=0 (k²)x²+(2dk-2p)x+d²=0 /:k²¹0 x²+ [2(dk-p)] /[k²] + [d²] /[k²] =0 x1,2= [-dk+p] /[k²] ± Ö[[d²k²-2dkp+p²] /[k^4] - [d²k²] /[k^4] ] x1,2= [-dk+p] /[k²] ± [1] /[k²] Ö[-2dkp+p²] D = -2dkp + p² = p (-2dk + p) D>0 ® Sekante D<0 ® Passante D=0 ® Tangente p (-2dk + p) = 0 -2dk + p = 0 p = 2dk Spezialfall: k=0 Þ || x-Achse -2px+d²=0 Þ 1 Lösung Jede Gerade parallel zur x-Achse schneidet die Parabel in genau 1 Punkt. Tangentengleichung bzw. Polarengleichung der Parabel in 1. Hauptlage: T (x1/y1) Î par: y1y = px1 + px y1y = p (x1 + x) P (x1/y1) Ï par: y1y = p (x1 + x) Bsp. 4) Komplexe Zahlen 1) Das Symbol „i“: x² = a G = R a) a > 0 L={Ö[a]; -Ö[a]} b) a = 0 L={0(2) } c) a < 0 L={} Þ C ........................ komplexe Zahlen x² = -a ; a>0 x² = a (-1) x1,2= ± Ö[a] Ö[-1] L={Ö[a]i ; -Ö[a]i} Definition: Ö[-1] = i Ö[-1] = i i² = (Ö[-1])² i² = -1 Vorsicht: (Ö[-1])²=-1 ¹ Ö[(-1)²]=1 ax²+bx+x=0 a,b,c Î R; a¹0 ......... allg. quadratische Gleichung x1,2= [-b±Ö[b²-4ac]] /[2a] = - [b] /[2a] ± [Ö[b²-4ac]] /[2a] G = C a) D = b²-4ac > 0 L={- [b] /[2a] + [Ö[b²-4ac]] /[2a] ; - [b] /[2a] - [Ö[b²-4ac]] /[2a]} b) D = 0 L={- [b] /[2a] (2) } c) D < 0 Þ 4ac-b² > 0 L={- [b] /[2a] + [Ö[4ac-b²]] /[2a] ; - [b] /[2a] - [Ö[4ac-b²]] /[2a]} allgemeine komplexe Zahl: Z = a + b i a,b Î R a = Re (Z) b = Im (Z) a) b=0 Þ Z=a+0i ..... reelle Zahl b) a=0 Þ Z=0+bi ..... imaginäre Zahl Gleichheit von komplexen Zahlen: Z1 = a+bi Z2 = c+di Z1 = Z2 Û (a=c) Ù (b=d) 2) Rechenregeln für komplexe Zahlen: Z1 = a + b i Z2 = c + d i Addition: Z1 + Z2 = a+bi+c+di = (a+c) + (b+d)i Subtraktion: Z1 - Z2 = (a-c) + (b-d)i Multiplikation: Z1 * Z2 = (a+bi) (c+di) = ac+adi+bci+bdi² = (ac-bd) + (bc+ad)i Division: Z1 : Z2 = [Z1]/[Z2] = [a+bi] /[c+di] = [a+bi] /[c+di] [c-di] /[c-di] = [ac+bci-adi-bdi²] /[c²+d²] = = [(ac+bd)+(bc-ad)i] /[c²+d²] = [ac+bd] /[c²+d²] + [bc-ad] /[c²+d²] i c²+d² > 0 , sonst c=0,d=0 Þ Z2=0 Konjugiert komplexe Zahlen: Z = a + b i Z- = a - b i Potenzen von i: i1 = i i² = -1 i3 = i² * i = -1 * i = -i i4 = i² * i² = (-1) * (-1) = 1 Eigenschaften von konjugiert komplexen Zahlen: Z + Z- = 2a Z - Z- = 2bi Z * Z- = a² + b² (Z-)- = Z Für komplexe Zahlen gilt auch der Satz von VIETA: z²+pz+q=0 p,q Î C mit Lösungen z1,z2 a) z1 + z2 = -p b) z1 * z2 = q c) z²+pz+q = (z-z1) (z-z2) 3) Veranschaulichung von komplexen Zahlen in der GAUSSschen Zahlenebene: R ................. reelle Achse Im ............... imaginäre Achse z = a + bi z1 = 4 - 2i z1- = 4 + 2i .......... um R-Achse spiegeln z2 = 1 + 2i z1 +z2 = 5 z1 - z2 = z1 + (-z2) = 3 - 4i Jede komplexe Zahl läßt sich eindeutig als Vektor in der GAUSSschen Zahlenebene darstellen. | z | = Ö[a²+b²] = r Î R .......... Radius | z |² = | z² | 4) Darstellungsmöglichkeiten komplexer Zahlen: a) z = a + bi b) z = (a;b) c) z = (r;j) Polarkoordinaten: r=Ö[a²+b²] 0 b C ist nicht geordnet, da " z1,z2 Î C nur gilt: 1) z1 = z2 oder 2) z1 ¹ z2 Bsp.: z1 = i z2 = 2i 1) i = 2i /-i 0 = i f. A. 0+0i = 0+1i 2) i < 2i /-i 0 < i i > 0 /*i>0 i² > 0 -1 > 0 f. A. ........ indirekter Beweis 3) i > 2i /-i 0 > i i < 0 /*i<0 i² > 0 -1 > 0 f. A. Þ bei komplexen Zahlen sinnlos: >, < Þ C ist nicht geordnet C ist ein Körper: 1) (C;+) kommutative Gruppe a) Abgeschlossenheit: " z1,z2 Î C: z1 + z2 = z3 Î C b) Assoziativgesetz (AG): " z1,z2,z3 Î C: (z1+z2)+z3 = z1+(z2+z3) c) neutrales Element n: " z Î C $ n Î C: z + n = n + z = z n = 0 = 0 + 0i Î C d) inverses Element z*: " z Î C $ z* Î C: z + z* = z* + z = n = 0 z* = -z Î C a) - d) Þ Gruppe e) Kommutativgesetz (KG): " z1,z2 Î C: z1 + z2 = z2 + z1 2) (C\{n=0};*) kommutative Gruppe: a) Abgeschlossenheit: " z1,z2 Î C\{0}: z1 * z2 = z3 Î C\{0} b) Assoziativgesetz (AG): " z1,z2,z3 Î C\{0}: (z1*z2)*z3 = z1*(z2*z3) c) neutrales Element n1: " z Î C\{0} $ n1 Î C\{0}: z * n1 = n1 * z = z n1 = 1 = 1 + 0i d) inverses Element z*: " z Î C\{0} $ z* Î C\{0}: z * z* = z* * z = n1 = 1 z * z* = 1 /:z¹0 z* = 1/z = 1/[a+bi] a) - d) Þ Gruppe e) Kommutativgesetz (KG): " z1,z2 Î C\{0}: z1 * z2 = z2 * z1 3) es müssen die beiden Distributivgesetze (DG) gelten: " z1,z2,z3 Î C: z1*(z2+z3) = z1*z2 + z1*z3 (z1+z2)*z3 = z1*z3 + z2*z3 Þ C ist ein Körper (nicht geordnet) Bsp. 6) Berechne Ö[ -1/2 - [iÖ[3]] /[2] ] auf zwei Arten (mit, ohne Polarkoordinaten) und zeige, daß eine Lösung eine dritte Einheitswurzel ist. Ö[ -1/2 - [iÖ[3]] /[2] ] = a + bi /² -1/2 - [iÖ[3]] /[2] = a² + 2abi - b² -1/2 = a² - b² [-Ö[3]] /[2] = 2ab Þ a = [-Ö[3]] /[4b] -1/2 = 3/[16b²] - b² /*16b² -8b² = 3 - 16b4 16b4 - 8b² - 3 = 0 b² = u 16u² - 8u - 3 = 0 u1,2 = [8 ± Ö[64 + 192] ]/32 = [8 ± Ö[256] ]/32 = [8 ± 16]/32 u1 = 24/32 = ¾ u2 = -8/32 = -1/4 b² = ¾ b1,2 = ± Ö[3]/2 b² = -1/4 b3,4 = ± i/2 Ï R a1,2 = ± Ö[3] /[2Ö[3] ] = ± ½ L = {-1/2 + Ö[3]/2 i ; ½ - Ö[3]/2 i} r = Ö[a² + b²] = Ö[1/4 + 3/4] = Ö[1] = 1 j = arctan [b/a] = arctan [ [-Ö[3]/2] /[-1/2] ] = arctan Ö[3] = 240° Ö[-1/2 - [iÖ[3]] /[2] ] = Ö[(1;240°)] = (Ö[1]; 240°/2) = (1;120°) = -1/2 + Ö[3]/2 i Ö[(1;240°)] = (Ö[1]; [240°+360°] /2) = (Ö[1]; 600°/2) = (1;300°) = ½ - Ö[3]/2 i L = {-1/2 + Ö[3]/2 i ; ½ - Ö[3]/2 i} z³ - 1 = 0 = (z - 1) (z² + z + 1) z1 = 1 z² + z + 1 = 0 z2,3 = -1/2 ± Ö[1/4 - 1] = -1/2 ± Ö[-3/4] = -1/2 ± Ö[3]/2 i z2 = -1/2 + Ö[3]/2 i z3 = -1/2 - Ö[3]/2 i L = {1 ; -1/2 + Ö[3]/2 i ; -1/2 - Ö[3]/2 i} Bsp. 7) 9z² - 18 (1+i) z + 2 (16+21i) = 0 G = C z1,2 = [18 (1+i) ± Ö[324 (1+2i-1) - 72 (16+21i)] ] /18 = = [18 + 18i ± Ö[648i - 1152 - 1512i] ] /18 = [(18 + 18i) ± Ö[-1152 - 864i] ] /18 = /* = [(18 + 18i) ± (12 - 36i)] /18 z1 = [18 + 18i + 12 - 36i] /18 = [30 - 18i] /18 = 5/3 - i z2 = [18 + 18i - 12 + 36i] /18 = [6 + 54i] /18 = 1/3 + 3i L = {5/3 - i ; 1/3 + 3i} *) Ö[-1152 - 864i] = Ö[(1440;216.87°)] = = (Ö[1440]; 216.87°/2) = (37.95;108.43°) = = -12 + 36i = (Ö[1440]; [216.87° + 360°] /2) = = (Ö[1440]; 576.87°/2) = (37.95;288,43°) = = 12 - 36i Bsp. 8) Polynome Definition: Eine Linearkombination der Form P n(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a 1 x + a 0 = n å i=0 a i x i , wobei a i Î C und a n ¹ 0, heißt ein Polynom n-ten Grades in 1 Variablen. n ................. Grad des Polynoms a i ............... Koeffizienten a 0 ............... konstantes Glied Nullstellen: Eine Zahl a heißt Nullstelle von P n(a) = a n x n + ... + a 0 , wenn P n(a) = 0. Fundamentalsatz der Algebra von Gauss: Jedes Polynom n-ten Grades hat mindestens 1 Nullstelle in C. Þ Jedes Polynom n-ten Grades hat genau n Nullstellen in C. Das HORNER´sche Verfahren zur Berechnung von Polynomwerten: P3 (x) = a3 x³ + a2 x² + a1 x + a0 = = x (a3 x² + a2 x + a1) + a0 = = x [x (a3 x + a2) + a1] + a0 a3 a2 a1 a0 a a3 a3 * a + a2 a (a3 a + a2) + a1 a [a (a3 a + a2) + a1] + a0 = P3 (a) P4 (x) = 5 x4 - x³ + 3x + 4 ges.: P4 (-3) = 427 P4 (2) = 82 5 -1 0 3 4 -3 5 -16 48 -141 427 2 5 9 18 39 82 P3 (z) = z³ - 2z² + z - 3 P3 (2+i) = -5 + 4i P3 (2-i) = -5 - 4i 1 -2 1 -3 2 + i 1 i 2i -5 + 4i 2 - i 1 -i -2i -5 - 4i allgemein: P (z-) = [P (z)]- , nur dann, wenn a i Î R Zerfällen von algebraischen Gleichungen, Satz von VIETA für Gleichungen höheren Grades: geg.: Pn (x) = 1 x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a1 x + a0 = 0 Voraussetzung: an = 1 .......... Polynom n-ten Grades Annahme: x1 ..... Lösung von Pn (x) Pn (x-1) = x1 n + a n-1 x1 n-1 + a n-2 x1 n-2 + ... + a1 x1 + a0 = 0 (x n - x1 n) + a n-1 (x n-1 - x1 n-1) + a n-2 (x n-2 - x1 n-2) + ... + a1 (x - x1) = 0 (x - x1) [x n-1 + b n-2 x n-2 + ... + b1 x + b0] = 0 .................... Polynom (n-1)-ten Grades Þ $ n Lösungen: x1, x2, ..., xn (x - x1) (x - x2) (x - x3) ... (x - xn) = 0 Pn (x) = x n + a n-1 x n-1 + ... + a1 x + a0 = (x - x1) (x - x2) ... (x - xn) x4 + 2x³ - 13x² - 14x + 24 = 0 x1 = 1 x2 = -2 (x - 1) ( x + 2) = x² + x - 2 (x4 + 2x³ - 13x² - 14x + 24) : (x² + x - 2) = x² + x - 12 - x4 - x³ + 2x² x³ - 11x² - 14x - x³ - x² + 2x - 12x² - 12x + 24 + 12x² + 12x - 24 0 R. x² + x - 12 = 0 x3,4 = -1/2 ± Ö[1/4 + 12] = -1/2 ± Ö[49/4] = -1/2 ± 7/2 x3 = 3 x4 = -4 L = {1; -2; 3; -4} Bsp. 9) Gleichungen höheren Grades (>2) a) Reziproke Gleichungen (Symmetrische Gleichungen): Reziproke Gleichungen sind Gleichungen, die zu jeder Lösung a auch 1/a als Lösung besitzen. Reziproke Gleichungen sind symmetrisch bzw. antisymmetrisch. a3 x³ + a2 x² + a1 x + a0 = 0 symmetrisch: a3 = a0 a2 = a1 antisymmetrisch: a3 = - a0 a2 = - a1 2x³ - 3x² - 3x + 2 = 0 G = R 2x³ + 2 - 3x² - 3x = 0 2 (x³ + 1) - 3x (x + 1) = 0 2 (x + 1) (x² - x + 1) - 3x (x + 1) = 0 (x + 1) [2 (x² - x + 1) - 3x] = 0 x1 = -1 2x² - 5x + 2 = 0 x2,3 = [5 ± Ö[25 - 16] ] /4 = [5 ± Ö[9] ] /4 = [5 ± 3] /4 x2 = [5 + 3] /4 = 8/4 = 2 x3 = [5 - 3] /4 = 2/4 = ½ L = {-1; 1/2; 2} 2x³ - 3x² + 3x - 2 = 0 G = R 2x³ - 2 - 3x² + 3x = 0 2 (x³ - 1) - 3x (x - 1) = 0 2 (x - 1) (x² + x + 1) - 3x (x - 1) = 0 (x - 1) [2 (x² + x + 1) - 3x] = 0 x1 = 1 2x² - x + 2 = 0 x2,3 = [1 ± Ö[1 - 16] ] /4 = [1 ± Ö[-15] ] /4 = [1 ± 3.87i] /4 x2 = [1 + 3.87i] /4 = ¼ + 0.97i Ï R x3 = [1 - 3.87i] /4 = ¼ - 0.97i Ï R L = {1} Jede reziproke Gleichung 3. Grades hat entweder 1 oder -1 als Lösung. b) 2x4 + 5x³ + 4x² + 5x + 2 = 0 /:x² ¹ 0 G = C 2x² + 5x + 4 + 5/x + 2/x² = 0 (2x² + 2/x²) + (5x + 5/x) + 4 = 0 2 (x² + 1/x²) + 5 (x + 1/x) + 4 = 0 x + 1/x = u /² ... Substitution x² + 2 + 1/x² = u² x² + 1/x² = u² - 2 2 (u² - 2) + 5u + 4 = 0 2u² + 5u = 0 u (2u + 5) = 0 u1 = 0 u2 = -5/2 x + 1/x = 0 /*x x² + 1 = 0 x² = -1 /Ö x = ± i x1 = i x2 = -i x + 1/x = -5/2 /*x x² + 5/2 x + 1 = 0 x3,4 = -5/4 ± Ö[25/16 - 1] = -5/4 ± Ö[9/16] = -5/4 ± ¾ x3 = -5/4 + ¾ = -2/4 = -1/2 x4 = -5/4 - ¾ = -8/4 = -2 L = {i; -i; -1/2; -2} c) a4 x4 + a2 x² + a0 = 0 G = C x² = u a4 u² + a2 u + a0 = 0 usw. d) a0 = 0 Þ x herausheben, usw. e) x4 - 6x³ + 14x² - 16x + 8 = 0 G = C T8 = {±1; ±2; ±4; ±8} 1 -6 14 -16 8 2 1 -4 6 -4 0 x1 = 2 x³ - 4x² + 6x - 4 = 0 T4 = {±1; ±2; ±4} 1 -4 6 -4 2 1 -2 2 0 x2 = 2 x² - 2x + 2 = 0 x3,4 = 1 ± Ö[1 - 2] = 1 ± Ö[-1] = 1 ± i x3 = 1 + i x4 = 1 - i L = {2 (2) ; 1+i; 1-i} 2x4 + x³ - 9x² + 16x - 6 = 0 G = C T = {±1; ±2; ±3; ±6; ± 1/2; ± 3/2} 2 1 -9 16 -6 -3 2 -5 6 -2 0 x1 = -3 2x³ - 5x² + 6x - 2 = 0 T = {±1; ±2; ± 1/2} 2 -5 6 -2 1/2 2 -4 4 0 x2 = ½ 2x² - 4x + 4 = 0 /:2 x² - 2x + 2 = 0 x3,4 = 1 ± Ö[1 - 2] = 1 ± Ö[-1] = 1 ± i x3 = 1 + i x4 = 1 - i L = {-3; 1/2; 1+i; 1-i} f) Gleichungen ab dem 5. Grad sind nicht mehr allgemein lösbar. Bsp. 10) Funktionen 1) Funktion: Definition: Eine Funktion f: x ® y ist eine Zuordnung, die jedem Element von x = Df genau ein Element von y = f(x) der Wertemenge Wf Í y zuordnet. Þ Funktion = eindeutige Zuordnung ! A = {2; 4; 5} B = {8; 5; 15} f: „x ist Teiler von y“ (1) ... Pfeildiagramm f ist zwar eine Zuordnung, aber keine Funktion (2) Menge von geordneten Paaren: f: {(2/8); (4/8); (5/5); (5/15)} (3) (4) Wertetabelle Definition: Eine Funktion f heißt injektiv, wenn jedes y Î Y höchstens einmal getroffen wird. injektiv: " x1 ¹ x2 Þ f(x1) ¹ f(x2) Eine Funktion f heißt surjektiv, wenn jedes y Î Y mindestens einmal getroffen wird. Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. 2) Monotonie: Definition: y = f(x) heißt streng monoton steigend (monoton steigend), wenn " x1 < x2 Î D Þ f(x1) < f(x2) (f(x1) £ f(x2)) y = f(x) heißt streng monoton fallend (monoton fallend), wenn " x1 < x2 Î D Þ f(x1) > f(x2) (f(x1) ³ f(x2)) 3) Umkehrfunktion: f*: Umkehrzuordnung x « y 4) Beschränktheit: Definition: Eine Funktion y = f(x) heißt nach oben beschränkt, wenn $ M Î R, daß f(x) £ M " x Î Df Eine Funktion y = f(x) heißt nach unten beschränkt, wenn $ m Î R, daß f(x) ³ m " x Î Df Eine Funktion heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach unten als auch nach oben beschränkt ist. größte untere Schranke = Infimum = inf f(x) kleinste obere Schranke = Supremum = sup f(x) 5) Intervalle, Umgebungen: Definition: geg.: a £ b a, b Î R offenes Intervall = ]a; b[ = (a; b) = {x Î R ç a < x < b} abgeschlossenes Intervall = [a; b] = {x Î R ç a £ x £ b} e - Umgebung von a: e - Umgebung von a = U(a; e) ® e > 0 U(a; e) = ]a-e; a+e[ = {x Î R ç a-e < x < a+e} = {x Î R ç çx-aç < e} 6) Stetigkeit: geg.: y = f(x) lim [x®a1-0] f(x) = lim [x®a1+0] f(x) = f(a1) Grenzwert Grenzwert Funktionswert von links von rechts Definition: Eine Funktion y = f(x) ist an der Stelle a stetig, wenn " e > 0 (e-Umgebungen um f(a)) $ d = d(e) > 0 (um a), so daß " x Î ]a-d; a+d[ : çf(x) - f(a)ç < e Eine Funktion y = f(x) heißt stetig, wenn sie an jeder Stelle von Df stetig ist. Eine stetige Kurve muß eine zusammenhängende Kurve sein. lim [x®0-0] sgn x = -1 lim [x®0+0] sgn x = 1 sgn 0 = 0 Þ an Stelle 0 nicht stetig 7) Sätze über stetige Funktionen: (1) Zwischenwertsatz: Ist f in [a; b] eine stetige Funktion und gilt f(a) ¹ f(b), so nimmt f in ]a; b[ jeden Wert zwischen f(a) und f(b) mindestens einmal an. (2) Nullstellensatz: Haben f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, so besitzt f in ]a; b[ mindestens eine Nullstelle. (3) Sind f und g in [a; b] stetig, so ist auch stetig: a) c * f c Î R b) f + c c Î R c) f ± g d) f * g e) f / g , wenn g ¹ 0 in [a; b] f) f n n Î N Bsp. 11) Differentialrechnung (Infinitesimalrechnung) Isaac Newton (1643 - 1727) mit Hilfe der Momentangeschwindigkeit Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646 - 1716) mit Hilfe des Tangentenproblems 1) Differenzenquotient, Differentialquotient: Aufgabe der Differentialrechnung: Bestimmung des Anstiegs der Tangente in beliebigem Kurvenpunkt geg.: y = f(x) ... stetig P Î f ges.: t in P Q ® P Û Dx ® 0 Sekantenfolge lim [n®¥] sn = t Unter der Tangente in P versteht man die Grenzlage der Sekanten, wenn Q sich P nähert. Unter dem Anstieg einer Kurve in P versteht man den Anstieg der Tangente in P. Steigung von s1: tan b = Dx / Dy = [f(x + Dx) - f(x)] /Dx ... Differenzenquotient = Anstieg der Sekante Q: f(x + Dx) = y + Dy Dy = f(x + Dx) - y Dy = f(x + Dx) - f(x) tan a = y´(x) = f´(x) = lim [Dx®0] Dy / Dx = lim [Dx®0] [f(x + Dx) - f(x)] /Dx = dy / dx ... Differentialquotient = Anstieg der Tangente = 1. Ableitung von y = f(x) Differenzieren bedeutet Berechnung des Differentialquotienten = Berechnung des Anstiegs einer Kurve Bsp. 12) Ableitung einfacher Funktionen a) konstante Funktion: y = c y´ = lim [Dx®0] Dy / Dx = lim [Dx®0] [f(x + Dx) - f(x)] /Dx = lim [Dx®0] [c - c] /Dx = = lim [Dx®0] 0/Dx = lim [Dx®0] 0 = 0 b) Ableitung von y = xn: n Î N y = xn y´ = n * x n-1 Beweis: y = xn n Î N a² - b² = (a - b) (a + b) a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²) ... ... an - bn = (a - b) (a n-1 + a n-2 b + a n-3 b² + ... + a b n-2 + b n-1 ) /:(a - b) [an - bn] /[a - b] = a n-1 + a n-2 b + ... + a b n-2 + b n-1 ... n Glieder a = x + Dx b = x y´ = lim [Dx®0] [f(x + Dx) - f(x)] /Dx = lim [Dx®0] [(x + Dx) n - x n] /Dx = = lim [Dx®0] [Dx [(x + Dx) n-1 + (x + Dx) n-2 x + ... + x n-1] ] /Dx = = lim [Dx®0] [(x + Dx) n-1 + (x + Dx) n-2 x + ... + x n-1] = x n-1 + x n-2 x + x n-3 x² + ... + x n-1 = = x n-1 + x n-1 + x n-1 + ... = ... n Glieder = n * x n-1 q. e. d. gilt auch für beliebige Exponenten c) Ableitung von y = a * xn: a Î R ... konstanter Faktor y´ = lim [Dx®0] Dy / Dx = lim [Dx®0] [f(x + Dx) - f(x)] /Dx = = lim [Dx®0] [a (x + Dx) n - a * x n] /Dx = lim [Dx®0] [a [(x + Dx) n - x n] ] /Dx = = a lim [Dx®0] [(x + Dx) n - x n] /Dx = a * n * x n-1 y = a * xn y´ = a * n * x n-1 y = a * f(x) y´ = a * f´(x) Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten. d) Ableitung einer Summe (Differenz): geg.: y = u(x) + v(x) = f(x) Behauptung: y´ = u´(x) + v´(x) Voraussetzung: $ u´(x) = lim [Dx®0] [u(x + Dx) - u(x)] /Dx $ v´(x) = lim [Dx®0] [v(x + Dx) - v(x)] /Dx Beweis: y´ = lim [Dx®0] [f(x + Dx) - f(x)] /Dx = lim [Dx®0] [ [u(x + Dx) + v(x + Dx)] - [u(x) + v(x)] ] /Dx = = lim [Dx®0] [ [u(x + Dx) - u(x)] /Dx + [v(x + Dx) - v(x)] /Dx ] = = lim [Dx®0] [u(x + Dx) - u(x)] /Dx + lim [Dx®0] [v(x + Dx) - v(x)] /Dx = = u´(x) + v´(x) q. e. d. u, v ... differenzierbar, d. h. zumindest stetig, Þ daher Grenzwert und Funktionswert vertauschbar Ableitung einer Summe (Differenz) = Summe (Differenz) der Ableitungen e) Produktregel: geg.: y = u(x) * v(x) = f(x) Voraussetzung: $ u´(x) = lim [Dx®0] [u(x + Dx) - u(x)] /Dx $ v´(x) = lim [Dx®0] [v(x + Dx) - v(x)] /Dx y´ = lim [Dx®0] [f(x + Dx) - f(x)] /Dx = lim [Dx®0] [u(x + Dx) * v(x + Dx) - u(x) * v(x)] /Dx = = lim [Dx®0] [u(x + Dx) * v(x + Dx) - u(x) * v(x + Dx) + u(x) * v(x + Dx) - u(x) * v(x)] /Dx = = lim [Dx®0] [v(x + Dx) [u(x + Dx) - u(x)] + u(x) [v(x + Dx) - v(x)] ] /Dx = = lim [Dx®0] [v(x + Dx) [u(x + Dx) - u(x)] /Dx] + lim [Dx®0] [u(x) [v(x + Dx) - v(x)] /Dx] = = v(x) * u´(x) + u(x) * v´(x) q. e. d. y = u(x) * v(x) y´= u´(x) * v(x) + u(x) * v´(x) f) Ableitung eines Quotienten: y = u / v y´ = [u´ * v - u * v´] /v² y = u(x) / v(x) = f(x) y´ = [u´(x) * v(x) - u(x) * v´(x)] /[v(x)²] = f´(x) Annahme: $ u´(x) = lim [Dx®0] [u(x + Dx) - u(x)] /Dx $ v´(x) = lim [Dx®0] [v(x + Dx) - v(x)] /Dx Beweis: u(x) / v(x) = f(x) /*v(x) u(x) = f(x) * v(x) /´ u´(x) = f´(x) * v(x) + f(x) * v´(x) f´(x) * v(x) = u´(x) - f(x) * v´(x) /:v(x) f´(x) = [u´(x) - f(x) * v´(x)] /[v(x)] f´(x) = [u´(x) - u(x)/v(x) * v´(x)] /[v(x)] = = [ [u´(x) * v(x) - u(x) * v´(x)] /[v(x)] ] /[v(x)] = = [u´(x) * v(x) - u(x) * v´(x)] /[v²(x)] Spezialfälle: 1) y = 1/v(x) y´ = - [v´(x)] /[v²(x)] 2) y = 1/x y´ = - 1/x² y´´ = 2x/x4 = 2/x³ y´´´ = - 6/x4 g) Kettenregel: y = f(z) ... äußere Funktion z = g(x) ... innere Funktion y = f(z) = f(g(x)) = h(x) h = f ° g y´ = f´(z) * g´(x) h) Ableitung der Kettenregel: geg.: y = h(x) = f(g(x)) = f(z) Voraussetzung: $ f´(z) = lim [Dx®0] [f(z + Dz) - f(z)] /Dz $ g´(x) = lim [Dx®0] [g(x + Dx) - g(x)] /Dx Beweis: g(x) = z g(x + Dx) = z + Dz (Dx®0 Û Dz®0) Dz = g(x + Dx) - z = g(x + Dx) - g(x) y´ = lim [Dx®0] [h(x + Dx) - h(x)] /Dx = lim [Dx®0] [f(g(x + Dx)) - f(g(x))] /Dx = = lim [Dx®0; Dz®0] [f(z + Dz) - f(z)] /Dx = lim [Dx®0; Dz®0] [ [f(z + Dz) - f(z)] /Dx * Dz/Dz ] = = lim [Dx®0; Dz®0] [ [f(z + Dz) - f(z)] /Dz * Dz/Dx ] = = lim [Dx®0; Dz®0] [ [f(z + Dz) - f(z)] /Dz * [g(x + Dx) - g(x)] /Dx ] = = lim [Dz®0] [f(z + Dz) - f(z)] /Dz * lim [Dx®0] [g(x + Dx) - g(x)] /Dx = = f´(z) * g´(x) q. e. d. Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion ist gleich dem Produkt aus der Ableitung der äußeren Funktion und der Ableitung der inneren Funktion. Bsp. 13) geg.: y = [3x² + 1] /[2x Ö[7 - 4x] ] ges.: Gleichung der Tangente in P (1/y) y´ = [6x * 2x Ö[7 - 4x] - (3x² + 1) [2 Ö[7 - 4x] + 2x * ½ (7 - 4x)^(-1/2) (-4)] ] /[(2x Ö[7 - 4x])²] = = [12x² Ö[7 - 4x] - (3x² + 1) [2 Ö[7 - 4x] + [-4x]/[ Ö[7 - 4x]] ] ] /[4x² (7 - 4x)] = = [12x² Ö[7 - 4x] - (3x² + 1) [2 (7 - 4x) - 4x]/[ Ö[7 - 4x]] ] /N = = [12x² Ö[7 - 4x] - [(3x² + 1) (-12x + 14)]/[ Ö[7 - 4x]] ] /N = = [ [12x² (7 - 4x) + 36x³ - 42x² + 12x - 14]/[ Ö[7 - 4x]] ] /N = = [-12x³ + 42x² + 12x - 14] /[4x² (7 - 4x) Ö[7 - 4x]] = = [-6x³ + 21x² + 6x - 7] /[2x² (7 - 4x) Ö[7 - 4x]] y(1) = 4 /[2Ö[3]] = 2/Ö[3] P (1 / 2/Ö[3]) t: y = kx + d y´(1) = [-6 + 21 + 6 - 7] /[2 * 3 Ö[3]] = 14/[6Ö[3]] = 7/[3Ö[3]] = k y = 7/[3Ö[3]] x + d P: 2/Ö[3] = 7/[3Ö[3]] * 1 + d d = 2/Ö[3] - 7/[3Ö[3]] = [6 - 7] /[3Ö[3]] = - 1/[3Ö[3]] t: y = 7/[3Ö[3]] x - 1/[3Ö[3]] Bsp. 14) Sätze der Differentialrechnung Satz von Rolle: Ist f in [a; b] stetig und in ]a; b[ differenzierbar und gilt f(a) = f(b), so $ mindestens 1 Stelle x in ]a; b[ mit f´(x) = 0 Mittelwertsatz der Differentialrechnung: Ist f in [a; b] stetig und in ]a; b[ differenzierbar, so besitzt f in ]a; b[ mindestens 1 Stelle x mit f´(x) = [f(b) - f(a)] /[b - a] Sehne s: tan a = [f(b) - f(a)] /[b - a] Þ mindestens 1 zur Sehne f(a)-f(b) || Tangente Bsp. 15) geg.: f: R ® R, x ® ax³ + bx² + cx + d hat im Ursprung die Steigung 3 und im Punkt T (6/0) einen Tiefpunkt g: R ® R, x ® px² + qx + r hat einen Scheitelpunkt an der Stelle 3 und schneidet f im Ursprung rechtwinkelig ges.: f, g, Diskussion f: y = ax³ + bx² + cx + d y´ = 3ax² + 2bx + c f: y(0) = 0 = d y(6) = 0 = 216a + 36b + 6c + d y´(0) = 3 = c y´(6) = 0 = 108a + 12b + c Þ a = 1/12 ; b = -1 ; c = 3 ; d = 0 f: y = (1/12)x³ - x² + 3x g: y = px² + qx + r y´ = 2px + q g: y(0) = 0 = r y´(3) = 0 = 6p + q y´(0) = -1/3 = q Þ p = 1/18 ; q = -1/3 ; r = 0 g: y = (1/18)x² - (1/3)x Diskussion: f: y = (1/12)x³ - x² + 3x y´ = (1/4)x² - 2x + 3 y´´ = (1/2)x - 2 1) D = R 2) (1/12)x³ - x² + 3x = 0 Þ x1 = 0 x2,3 = 6 N1 (0/0) N2 (6/0) (2) 3) $ a 4) (1/4)x² - 2x + 3 = 0 Þ x1 = 6 x2 = 2 y´´(6) = 1 > 0 Þ T (6/0) y´´(2) = -1 < 0 Þ H (2/[8/3]) 5) (1/2)x - 2 = 0 x = 4 W (4/[4/3]) w: y = kx + d y´(4) = -1 4/3 = -4 + d d = 16/3 w: y = -x + 16/3 g: y = (1/18)x² - (1/3)x y´ = (1/9)x - (1/3) y´´ = 1/9 D = R (1/18)x² - (1/3)x = 0 Þ x1 = 0 x2 = 6 N1 (0/0) N2 (6/0) $ a (1/9)x - (1/3) = 0 x = 3 y´´(3) = 1/9 > 0 Þ T (3/[-1/2]) 1/9 = 0 f. A. Þ $ W 6) x x < 2 x = 2 2< x <6 x = 6 x > 6 x x < 3 x = 3 x > 3 f´ > 0 0 < 0 0 > 0 g´ < 0 0 > 0 Þ s. m. st. H s. m. f. T s. m. st. Þ s. m. f. T s. m. st. x x < 4 x = 4 x > 4 x -¥ 0 g´´ > 0 Þ neg. gekr. W pos. gekr. Þ pos. gekr. 7) Bsp. 16) geg.: y = x³/[(x-1)²] ges.: Kurvendiskussion y = x³/[(x-1)²] y´ = [3x² (x-1)² - x³ 2(x-1)] /[(x-1)^4] = [(x-1) [3x² (x-1) - 2x³] /[(x-1)^4] = [3x³ - 3x² - 2x³] /[(x-1)³] = = [x³ - 3x²] /[(x-1)³] y´´ = [(3x² - 6x) (x-1)³ - (x³ - 3x²) 3(x-1)²] /[(x-1)^6] = [(x-1)² [(3x² - 6x) (x-1) - 3(x³ - 3x²)]] /[(x-1)^6] = = [3x³ - 6x² - 3x² + 6x - 3x³ + 9x²] /[(x-1)^4] = [6x] /[(x-1)^4] 1) (x-1)² = 0 /Ö x-1 = 0 x = 1 D = R \ {1} 2) x³/[(x-1)²] = 0 /*N x³ = 0 x = 0 N (0/0) (3) 3) a1: x = 1 lim [x®±¥] (x³/[(x-1)²]) = lim [x®±¥] (x + [2x² - x] /[x² - 2x + 1]) = = lim [x®±¥] (x + [2x²/x² - x/x²] /[x²/x² - 2x/x² + 1/x²]) = lim [x®±¥] (x + [2 - 1/x] /[1 - 2/x + 1/x²]) = = lim [x®±¥] (x + 2) a2: y = x + 2 4) [x³ - 3x²] /[(x-1)³] = 0 /*N x³ - 3x² = 0 Þ x1,2 = 0 x3 = 3 y´´(0) = 0 Þ S (0/0) (2) y´´(3) = 9/8 > 0 Þ T (3/[27/4]) 5) [6x] /[(x-1)^4] = 0 /*N 6x = 0 x = 0 W (0/0) w: y = kx + d y´(0) = 0 d = 0 w: y = 0 6) x x < 0 x = 0 0 < x < 1 1 < x < 3 x = 3 x > 3 f´ > 0 0 > 0 < 0 0 > 0 Þ s. m. st. S s. m. st. s. m. f. T s. m. st. x x < 0 x = 0 0 < x < 1 x > 1 f´´ < 0 0 > 0 > 0 Þ neg. gekr. W pos. gekr. pos. gekr. 7) Bsp. 17) Einem gleichschenkeligen Dreieck soll jenes Rechteck eingeschrieben werden, daß den größten Flächeninhalt besitzt ! HB: A = x * y ..... Max. DAMC » DADE ..... Strahlensatz a/2 : h = AD : DE a/2 : h = (a/2 - x/2) : y a/2 * y = h (a/2 - x/2) y = [2h (a/2 - x/2)] /[a] NB: y = [h (a - x)] /[a] A = x * [h (a - x)] /[a] f(x) = x * [h (a - x)] /[a] = h/a * x(a-x) f(x) = h/a (ax - x²) f´(x) = h/a (a - 2x) h/a (a - 2x) = 0 a - 2x = 0 x = a/2 NB: y = [h (a - a/2)] /[a] = [[a h] /2] /[[TG2] a] = [a h] /[2a] = h/2 y = h/2 Dx = [0;a] Dy = [0;h] HB: A = x * y = a/2 * h/2 = [a h] /4 f´´(x) = h/a (-2) f´´(a/2) = [-2h] /[[TG3] a] < 0 Þ Max. A: Das Rechteck mit den Seiten a/2 ; h/2 hat den maximalen Flächeninhalt [a h] /4 . Bsp. 18) Welches von allen Rechtecken mit gegebener Diagonale hat die größte Fläche ? HB: A = a * b ..... Max. NB: a² + b² = d² A = a Ö[d² - a²] b = Ö[d² - a²] g(a) = a Ö[d² - a²] /² f(a) = g²(a) = a² (d² - a²) NB: b = Ö[d² - a²] = f(a) = a²d² - a^4 = Ö[d² - d²/2] = Ö[d²/2] = f´(a) = 2ad² - 4a³ = d/2 Ö[2] 0 = d² * 2a - 4a³ = a (d² * 2 - 4a²) a1 = 0 2d² = 4a² A = a b = (d/2 Ö[2])² = d²/2 a² = d²/2 a2 = d/2 Ö[2] f´´(a) = 2d² - 12a² f´´(0) = 2d² > 0 Þ Min. f´´(d/2 Ö[2]) = 2d² - 12 d²/2 = 2d² - 6d² = -4d² < 0 Þ Max. A: Das Quadrat mit der Seitenlänge d/2 Ö[2] hat die maximale Fläche d²/2 . Bsp. 19) Von einem quadratischen Blech (Seitenlänge = a) werden an den Ecken Quadrate ausgeschnitten, aus dem Rest wird eine Schachtel gebildet. Wie groß muß die Seitenlänge der auszuschneidenden Quadrate sein, daß das Volumen der Schachtel maximal wird ? HB: V = G * h = (a - 2x)² * x = f(x) Dx = [0;a/2] f´(x) = 2(a - 2x) (-2)x + (a - 2x)² = -4x (a - 2x) + (a - 2x)² 0 = -4x (a - 2x) + (a - 2x)² 4x (a - 2x) = (a - 2x)² /:(a - 2x) a - 2x = 0 4x = a - 2x a = 2x 6x = a x = a/2 ® Randextremum x = a/6 V = (a - a/3)² * a/6 = (2a/3)² * a/6 = [4a²]/9 * a/6 = [4a³] /[54] = [2a³] /[27] f´´(x) = -4(a - 2x) + (-4x) (-2) + 2(a - 2x) (-2) = -8a + 24x f´´(a/6) = -8a + [24a]/6 = -8a + 4a = -4a < 0 Þ Max. f´´(a/2) = -8a + [24a]/2 = -8a + 12a = 4a > 0 Þ Min. A: Die Quadrate müssen die Seitenlänge a/6 haben, damit das Volumen maximal [2a³] /[27] wird. Bsp. 20) Einem Drehkegelstumpf (R, r, h) werden Drehzylinder eingeschrieben, deren Grundflächen konzentrisch in der Grundfläche des Drehzylinders liegen. Wie sind die Maße des Zylinders mit maximalem Volumen ? HB: V = x²py ..... Max. NB: (R-x) : y = (R-r) : h f(x) = x²p [h(R-x)] /[R-r] = y = [h(R-x)] /[R-r] = p [h] /[R-r] x²(R-x) g(x) = x² (R-x) = Rx² - x³ Dx = [0;R] g´(x) = 2Rx - 3x² Dy = [0;h] 2Rx - 3x² = 0 x (2R - 3x) = 0 y = [h (R - 2/3 R)] /[R-r] = [[h R]/3] /[R-r] = x1 = 0 2R = 3x = [R h] /[3 (R-r)] x2 = 2/3 R g´´(x) = 2R - 6x V = x²py = 4/9 R² p [R h] /[3(R-r)] = g´´(2/3 R) = 2R - 4R = -2R < 0 Þ Max. = [4 R³ h p] /[27 (R-r)] Þ r £ 2/3 R ® x = 2/3 R r > 2/3 R ® x = r , y = h A: Der Zylinder mit x = 2/3 R , y = [R h] /[3 (R-r)] hat maximales Volumen [4 R³ h p] /[27 (R-r)] . Sonderfall: r > [2/3]*R Þ x = r ; y = h Bsp. 21) Ableitung der Winkelfunktionen a) Sinus: y = sin x y´ = cos x BC = arc a arc a = [p*a] /[180] A Kreissektor = [r²*p*a] /[360] = [b*r] /[2] b = [p*r*a] /[180] r = 1 ® b = arc a ^ a AD0AB < A Kreissektor 0CB < AD0CD ½ sin a cos a < a/2 < ½ tan a /: ½ sin a cos a < [a] /[sin a] < [tan a] /[sin a] cos a < [a] /[sin a] < [1] /[cos a] lim [a®0] cos a £ lim [a®0] [a] /[sin a] £ lim [a®0] [1] /[cos a] lim [a®0] cos a = cos 0 = 1 lim [a®0] [1] /[cos a] = 1/1 = 1 1 £ lim [a®0] [a] /[sin a] £ 1 Þ lim [a®0] [a] /[sin a] = 1 Þ lim [a®0] [sin a] /[a] = 1 sin a - sin b = 2 sin [a-b] /[2] cos [a+b] /[2] x + Dx = a x = b Dx = a - b y = sin x = f(x) y´ = lim [Dx®0] [f(x+Dx) - f(x)] / [Dx] = lim [Dx®0] [sin (x+Dx) - sin x] / [Dx] = = lim [Dx®0] [2 sin [x+Dx-x]/[2] cos [x+Dx+x]/[2]] / [Dx] = = lim [Dx®0] [2 sin [Dx]/[2] cos [2x+Dx]/[2]] / [Dx] = = lim [Dx®0] [sin [Dx]/[2]] / [[Dx]/[2]] cos (x + [Dx]/[2]) = cos x b) Cosinus: y = cos x = sin (p/2 - x) y´ = cos (p/2 - x) * (-1) = - sin x c) Tangens: y = tan x = [sin x] /[cos x] y´ = [cos² x - sin x (-sin x)] /[cos² x] = [cos² x + sin² x] /[cos² x] = ·) = [cos² x] /[cos² x] + [sin² x] /[cos² x] = 1 + tan² x ·) = [1] /[cos² x] d) Cotangens: y = cot x = [cos x] /[sin x] y´ = ·) = -1 - cot² x ·) = - [1] /[sin² x] Bsp. 22) Kurvendiskussion: y = 2 sin x + sin 2x [0;2p] 1) D = [0;2p] 2) 2 sin x + sin 2x = 0 ..... goniometrische Gleichung 2 sin x + 2 sin x cos x = 0 sin 2x = 2 sin x cos x 2 sin x (1 + cos x) = 0 2 sin x = 0 1 + cos x = 0 sin x = 0 cos x = -1 x1 = 0 x4 = p x2 = p x3 = 2p N1 (0/0) N2 (p/0) (2) N3 (2p/0) 3) $ a 4) y´ = 2 cos x + 2 cos 2x cos 2x = cos² x - sin² x 0 = 2 cos x + 2 cos 2x 0 = 2 cos x + 2 (cos² x - sin² x) /:2 0 = cos x + cos² x - (1 - cos² x) 0 = cos x + cos² x - 1 + cos² x 2 cos² x + cos x - 1 = 0 /:2 cos² x + ½ cos x - ½ = 0 (cos x)1,2 = -1/4 ± Ö[1/16 + 1/2] = -1/4 ± Ö[9/16] = -1/4 ± ¾ (cos x)1 = -1 Þ x1 = p (cos x)2 = ½ Þ x2 = p/3 x3 = 5p/3 y´´ = -2 sin x - 4 sin 2x y´´(p) = 0 Þ S (p/0) y´´(p/3) = -5.20 < 0 Þ H ([p/3]/2.60) y´´(5p/3) = 5.20 > 0 Þ T ([5p/3]/-2.60) 5) 0 = - 2 sin x - 4 sin 2x 0 = - 2 sin x - 4 (2 sin x cos x) 0 = - 2 sin x - 8 sin x cos x /:(-2) 0 = sin x + 4 sin x cos x 0 = sin x (1 + 4 cos x) sin x = 0 1 + 4 cos x = 0 x1 = 0 4 cos x = -1 x2 = p cos x = -1/4 x3 = 2p x4 = 1.82 x5 = 4.46 W1 (0/0) W4 (1.82/1.45) W2 (p/0) W5 (4.46/-1.45) W3 (2p/0) y´(0) = 4 d = 0 - 4*0 = 0 y´(p) = 0 d = 0 - 0*p = 0 y´(2p) = 4 d = 0 - 4*2p = -8p y´(1.82) = -2.25 d = 1.45 - (-2.25)*1.82 = 5.56 y´(4.46) = -2.25 d = -1.45 - (-2.25)*4.46 = 8.58 w1: y = 4x w2: y = 0 w3: y = 4x - 8p w4: y = -9/4 x + 5.56 w5: y = -9/4 x + 8.58 6) x 0 < x < p/3 x = p/3 p/3 < x < p x = p p < x < 5p/3 x = 5p/3 5p/3 < x < 2p f´ > 0 0 < 0 0 < 0 0 > 0 Þ s. m. st. H s. m. f. S s. m. f. T s. m. st. x x = 0 0 < x < 1.82 x = 1.82 1.82 < x < p x = p p < x < 4.46 x = 4.46 4.46 < x < 2p x = 2p f´´ 0 < 0 0 > 0 0 < 0 0 > 0 0 Þ W neg. gekr. W pos. gekr. W neg. gekr. W pos. gekr. W 7) Bsp. 23) Kurvendiskussion: y = sin x + cos x [-p/4;7p/4] 1) D = [-p/4;7p/4] 2) 0 = sin x + cos x sin x = - cos x /:cos x tan x = -1 x1 = 3p/4 x2 = 7p/4 x3 = -p/4 N1 ([-p/4]/0) N2 ([3p/4]/0) N3 ([7p/4]/0) 3) $ a 4) y´ = cos x - sin x 0 = cos x - sin x sin x = cos x /:cos x tan x = 1 x1 = p/4 x2 = 5p/4 y´´ = - sin x - cos x y´´(p/4) = -Ö[2] < 0 Þ H ([p/4]/ Ö[2]) y´´(5p/4) = Ö[2] > 0 Þ T ([5p/4]/-Ö[2]) 5) 0 = - sin x - cos x sin x = - cos x /:cos x tan x = -1 x1 = 3p/4 x2 = 7p/4 x3 = -p/4 W1 ([-p/4]/0) W2 ([3p/4]/0) W3 ([7p/4]/0) y´(-p/4) = Ö[2] d = 0 - Ö[2] * (-p/4) = 1.11 y´(3p/4) = -Ö[2] d = 0 - (-Ö[2]) * (3p/4) = 3.33 y´(7p/4) = Ö[2] d = 0 - Ö[2] * (7p/4) = -7.78 w1: y = Ö[2] x + 1.11 w2: y = -Ö[2] x + 3.33 w3: y = Ö[2] x - 7.78 6) x -p/4 < x < p/4 x = p/4 p/4 < x < 5p/4 x = 5p/4 5p/4 < x < 7p/4 f´ > 0 0 < 0 0 > 0 Þ s. m. st. H s. m. f. T s. m. st. x x = -p/4 -p/4 < x < 3p/4 x = 3p/4 3p/4 < x < 7p/4 x = 7p/4 f´´ 0 < 0 0 > 0 0 Þ W neg. gekr. W pos. gekr. W 7) Bsp. 24) Aus 3 gleich breiten Brettern (Breite = a) soll eine Rinne von möglichst großem trapezförmigem Querschnitt gebildet werden. In welchem Neigungswinkel müssen die Seitenwände zur Horizontalen geneigt sein ? HB: A = [(a+c)*h]/2 1. NB: cos a = h/a a= [(a+a+2a sin a)*a cos a]/2 = h = a cos a = [(2a + 2a sin a) a cos a]/2 = 2. NB: sin a = [[c-a]/2]/a = [2a (1 + sin a) a cos a]/2 = [c-a]/2 = a sin a = a² cos a (1 + sin a) c-a = 2a sin a Da = [0°;90°] c = a + 2a sin a f(a) = (1 + sin a) cos a f´(a) = cos a * cos a + (1 + sin a) (-sin a) = = cos² a - sin a (1 + sin a) = = cos² a - sin a - sin² a cos² a - sin a - sin² a = 0 1 - sin² a - sin a - sin² a = 0 -2 sin² a - sin a + 1 = 0 /:(-2) sin² a + ½ sin a - ½ = 0 (sin a)1,2 = -1/4 ± Ö[1/16 + 1/2] = -1/4 ± Ö[9/16] = -1/4 ± ¾ (sin a)1 = ½ Þ a1 = 30° (sin a)2 = -1 Þ a2 = 270° Ï D f´´(a) = 2 cos a (-sin a) - cos a - 2 sin a cos a = -2 sin a cos a - cos a - 2 sin a cos a = = -4 sin a cos a - cos a f´´(30°) = -4 sin 30° cos 30° - cos 30° = -2.60 < 0 Þ Max. b = 90° + a = 120° h = a cos a = [aÖ[3]]/2 c = a + 2a sin a = a + 2a/2 = 2a A = [(a+c)*h]/2 = [(a + 2a) [aÖ[3]]/2]/2 = [3a²Ö[3]]/4 A: Die Wände müssen mit 120° geneigt sein, daß die Querschnittsfläche maximal [3a²Ö[3]]/4 ist. Bsp. 25) NEWTONsches Näherungsverfahren zum Lösen von algebraischen Gleichungen höheren Grades und transzendenten Gleichungen z. B.: geg.: y = f(x) ................. Polynom n-ten Grades ges.: Nullstelle X P (x0/y0) ......... Startwert = x0 rechnerisch: t0: y = kx + d k = f´(x0) y = f´(x0) * x + d P (x0/y0): y0 = f´(x0) * x0 + d d = y0 - f´(x0) * x0 Þ t0: y = f´(x0) * x + (y0 - f´(x0) * x0) t0 Ç x-Achse: y = 0 0 = f´(x0) * x1 + (y0 - f´(x0) * x0) x1 = [-y0 + f´(x0) * x0] /[f´(x0)] x1 = x0 - [y0] /[f´(x0)] = x0 - [f(x0)] /[f´(x0)] x1 = x0 - [f(x0)] /[f´(x0)] x2 = x1 - [f(x1)] /[f´(x1)] xn = x(n-1) - [f(x(n-1))] /[f´(x(n-1))] Bsp.: x³ + 3x - 1 = 0 G = R f: y = x³ + 3x - 1 f´: y = 3x² + 3 f 1 0 3 -1 0 1 0 3 -1 1 1 1 4 3 0.3 1 0.3 3.09 -0.073 0.32 1 0.32 3.1024 -0.007232 0.322 1 0.322 3.103684 -6.13752 * 10^-4 f´ 3 0 3 0.3 3 0.9 3.27 0.32 3 0.96 3.3072 0.322 3 0.966 3.311052 wähle x0 = 0.3 x1 = x0 - [f(x0)] /[f´(x0)] = 0.3 - [-0.073] /[3.27] = 0.322324159021 x1 = 0.32 x2 = x1 - [f(x1)] /[f´(x1)] = 0.32 - [-0.007232] /[3.3072] = 0.322186744074 x2 = 0.322 f: 3 Nullen hinter dem Komma ® aufhören N (0.322/0) Bsp. 26a) geg.: y = x sin x ges.: 1 W in [0;2p] y´ = sin x + x cos x y´´ = cos x + cos x + x (-sin x) = 2 cos x - x sin x y´´´ = -2 sin x - (sin x + x cos x) = -2 sin x - sin x - x cos x = -3 sin x - x cos x 2 cos x - x sin x = 0 f: y = 2 cos x - x sin x f´: y = -3 sin x - x cos x x f(x) f´(x) f(x)/f´(x) x - f(x)/f´(x) 1.0 0.23913362693 -1.984110649 -0.1205243403 1.1205243403 1.12 -0.1367476027 -2.212336987 0.06181138023 1.0581886198 1.058 0.05931582605 -2.095056451 -0.0283122806 1.0863122806 1.0863 -0.0297519301 -2.148770925 0.01384602228 1.0724539777 1.07245 0.01393491422 -2.122519684 -0.0065652697 1.0790152697 1.079015 -0.006750572 -2.134971863 0.00316190207 1.0758530979 1.0758530 0.00321762121 -2.128976317 -0.0015113466 1.0773643466 1.07736434 -0.0015456931 -2.131842468 7.2505032*10^-4 1.0766392897 1.076639289 7.3973231*10^-4 W1 (1.0768738869/0.94816599969) W2 (3.6435970418/-1.753239107) Bsp. 26b) geg.: y = tan 2x - 1/[2x] ges.: 1 N in ]0;p/4[ y´ = 2/[cos² 2x] - [-2]/[4x²] = 2/[cos² 2x] + 1/[2x²] x f(x) f´(x) f(x)/f´(x) x - f(x)/f´(x) 0.5 0.55740772465 8.8510376416 0.06297653984 0.43702346016 0.43 -0.00123484 7.4025884341 -1.668119*10^-4 0.43016681192 0.4301 -4.945349*10^-4 N (0.43016679451/0) Bsp. 27) Kurvendiskussion: y = [x³ - 2x² - 13x - 10] /[x² - a²] Asymptoten: x = 3 , x = -3 H (-4.55/-7.39) T (-1.58/-0.25) $ W x² - a² = 0 x² = a² a² = 9 y = [x³ - 2x² - 13x - 10] /[x² - 9] 1) D = R \ {± 3} 2) [x³ - 2x² - 13x - 10] /[x² - 9] = 0 /*N x³ - 2x² - 13x - 10 = 0 T = {±1; ±2; ±5; ±10} x 1 -2 -13 -10 -1 1 -3 -10 0 x1 = -1 x² - 3x - 10 = 0 x2,3 = 3/2 ± Ö[9/4 +10] = 3/2 ± Ö[49/4] = 3/2 ± 7/2 x2 = -2 x3 = 5 N1 (-2/0) N2 (-1/0) N3 (5/0) [x³ - 2x² - 13x - 10] /[x² - 9] = x /*N x³ - 2x² - 13x - 10 = x³ - 9x -2x² - 4x - 10 = 0 /:(-2) x² + 2x + 5 = 0 x1,2 = -1 ± Ö[1-5] = -1 ± Ö[-4] = -1 ± 2i Þ $ F 3) a1: x = -3 a2: x = 3 lim [x®±¥] ([x³ - 2x² - 13x - 10] /[x² - 9]) = lim [x®±¥] (x - 2 + [-4x - 28] /[x² - 9]) = = lim [x®±¥] (x - 2 + [[-4x]/[x²] - [28]/[x²]] /[[x²]/[x²] - [9]/[x²]]) = = lim [x®±¥] (x - 2 + [-4/x - 28/x²] /[1 - 9/x²]) = lim [x®±¥] (x - 2 + 0/1) = = lim [x®±¥] (x - 2) a3: y = x - 2 4) Bsp. 28) geg.: y = cos² x - cos x ges.: N, W in [-p;p] cos² x - cos x = 0 cos x (cos x - 1) = 0 cos x = 0 cos x - 1 = 0 x1 = -p/2 cos x = 1 x2 = p/2 x3 = 0 N1 ([-p/2]/0) N2 (0/0) N3 ([p/2]/0) y´ = 2 cos x (-sin x) - (-sin x) = -2 sin x cos x + sin x y´´ = -2 [cos x * cos x + sin x (-sin x)] + cos x = -2 (cos² x - sin² x) + cos x = = -2 cos² x + 2 sin² x + cos x = -2 cos² x + 2 (1 - cos² x) + cos x = -2 cos² x + 2 - 2 cos² x + cos x = = -4 cos² x + cos x + 2 -4 cos² x + cos x + 2 = 0 /:(-4) cos² x - ¼ cos x - ½ = 0 (cos x)1,2 = 1/8 ± Ö[1/64 + 1/2] = 1/8 ± Ö[1/64 + 32/64] = 1/8 ± Ö[33/64] = 1/8 ± Ö[33]/8 (cos x)1 = 1/8 + Ö[33]/8 (cos x)2 = 1/8 - Ö[33]/8 x1 = 0.5678 W1 (0.5678/-0.1323) x2 = 2.2056 W2 (2.2056/0.9448) x3 = -0.5678 W3 (-0.5678/-0.1323) x4 = -2.2056 W4 (-2.2056/0.9448) Bsp. 29) Unter welchem Winkel muß die Seitenkante einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide erscheinen, damit das Volumen maximal wird (2 Arten) ? Da = [0; 90°] 1) HB: V = [G h] /3 = [a² h] /3 ... Max. 1. NB: sin a = [ [a Ö[2]]/2 ] /s V = [2s² sin² a s cos a] /3 = a = [2s sin a] /Ö[2] = = [2s³ sin² a cos a] /3 = s Ö[2] sin a f(a) = sin² a cos a 2. NB: cos a = h/s f´(a) = 2 sin a cos a cos a + sin² a (- sin a) = h = s cos a = 2 sin a cos² a - sin³ a 0 = 2 sin a cos² a - sin³ a 0 = 2 sin a (1 - sin² a) - sin³ a 0 = 2 sin a - 2 sin³ a - sin³ a 0 = 2 sin a - 3 sin³ a 0 = sin a (2 - 3 sin² a) sin a = 0 sin² a = 2/3 a1 = 0° sin a = ± Ö[2/3] a2 = 180° Ï D a3 = 54.74° a4 = 125.26° Ï D a5 = 305.26° Ï D a6 = 234.74° Ï D V = [2s³] /3 sin² a cos a = [2s³] /3 sin² 54.74° cos 54.74° = 0.26 s³ f´´(a) = 2 [cos a cos² a + sin a 2 cos a (- sin a)] - 3 sin² a cos a = = 2 (cos³ a - 2 sin² a cos a) - 3 sin² a cos a = = 2 cos³ a - 4 sin² a cos a - 3 sin² a cos a = = 2 cos³ a - 7 sin² a cos a f´´(54.74°) = - 2.31 < 0 Þ Max. 2) HB: V = [G h] /3 = [a² h] /3 = ... Max. NB: s² = h² + ( [a Ö[2]] /2 )² = [2 (s² - h²) h] /3 = 2/3 (s² - h²) h s² = h² + a²/2 f(h) = hs² - h³ a² = 2s² - 2h² = 2 (s² - h²) f´(h) = s² - 3h² s² - 3h² = 0 a² = 2 (s² - s²/3) = 2 ( [2s²] /3 ) = [4s²] /3 s² = 3h² a = ± [2s] /Ö[3] = ± [2 Ö[3] s] /3 h = ± s/Ö[3] = ± [s Ö[3]] /3 cos a = h/s = [s/Ö[3]] /s = 1/Ö[3] a = arccos 1/Ö[3] = 54.74° A: Die Seitenkante muß unter 54.74° zur Höhe geneigt sein, damit das Volumen maximal 0.26 s³ beträgt. Bsp. 30) Permutationen a) geg.: 2 gleich mächtige Mengen D, W D = {x1; x2; x3} W = {y1; y2; y3} ges.: alle umkehrbaren elementweisen Abbildungen von D auf W x1 ® y1 x2 ® y2 x3 ® y3 D W x1 ® y1 x2 ® y3 x3 ® y2 D W x1 ® y3 x2 ® y2 x3 ® y1 D W x1 ® y2 x2 ® y1 x3 ® y3 D W x1 ® y3 x2 ® y1 x3 ® y2 D W x1 ® y2 x2 ® y3 x3 ® y1 D W Anzahl der möglichen Abbildungen = 6 für x1 ® 3 Möglichkeiten x2 ® 2 Mögl. } insgesamt 3 * 2 * 1 = 3 ! Mögl. x3 ® 1 Mögl. b) D = {x1; x2; ...; xn} W = {y1; y2; ...; yn} x1 ... n Mögl. x2 ... n-1 Mögl. x[n-1] ... 2 Mögl. xn ... 1 Mögl. Anzahl = n * (n-1) * ... * 2 * 1 = n ! c) Abbildung einer Menge auf sich selbst = Permutation einer Menge: D = {x1; x2} W = {x1; x2} F1 x1 ® x1 x2 ® x2 F2 x1 ® x2 x2 ® x1 Permutation vom Grade 2 Definition: Eine Permutation Pn vom Grade n ist eine elementweise Abbildung einer Menge von n Elementen auf sich selbst. Die Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung beträgt n! d) Permutationen mit Wiederholung: Wie viele dreiziffrige Zahlen mit den Ziffern 1 und 2, mit 2 Einsern, gibt es (1 und 2 müssen vorhanden sein) ? 112 121 Þ 3 Mögl. 211 mögliche Anzahl = [P3] /[2!] = [3!] /[2!] = 3 P32 allgemein: Pnm = [n!] /[m!] Pnr,s,t = [n!] /[r! s! t!] Ein Kind besitzt 9 Glaskugeln. Wie viele Reihungsmöglichkeiten gibt es, a) wenn alle verschieden gefärbt sind ? b) wenn 4 rot sind und die restlichen verschieden gefärbt ? c) wenn 4 grün, 3 rot und 2 blau sind ? a) P9 = 9! = 362 880 b) P94 = [9!] /[4!] = 15 120 c) P94,3,2 = [9!] /[4! 3! 2!] = 1 260 Bsp. 31) Kombinationen (n k) = [n!] /[k! * (n-k)!] ® „n über k“ ... Binomialkoeffizient (6 3) = [6!] /[3! (6-3)!] = [6!] /[3! * 3!] = [6*5*4*3!] /[3!*3!] = [6*5*4] /[3*2] = 5 * 4 = 20 M = {1; 2; 3; 4; 5; 6} T1 = {1; 2; 3} T2 = ... } Þ 20 Teilmengen zu je 3 Elementen Vereinfachen: (n n-2) = [n!] /[(n-2)! [n - (n-2)]! ] = [n!] /[(n-2)! 2!] = [n (n-1) (n-2)!] /[(n-2)! 2!] = [n (n-1)] /[2!] = = [n (n-1)] /2 geg.: 5 blaue, 7 schwarze Kugeln Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 Kugeln auszuwählen, die mindestens 1 schwarze enthalten ? å Mögl. = (1s; 2b) + (2s; 1b) + (3s; 0b) = = (7 1) * (5 2) + (7 2) * (5 1) + (7 3) * (5 0) = (n 0) = 1 = [7!] /[1! 6!] * [5!] /[2! 3!] + [7!] /[2! 5!] * [5!] /[1! 4!] + [7!] /[3! 4!] * [5!] /[0! 5!] = = [7*6!] /[1!*6!] * [5*4*3!] /[2!*3!] + [7*6*5!] /2!*5!] * [5*4!] /[1!*4!] + [7*6*5*4!] /[3!*4!] * 1 = 7 * 10 + 21 * 5 + 35 = 70 + 105 + 35 = 210 Wie viele Möglichkeiten gibt es, 12 Bilder unter 3 Personen so aufzuteilen, daß jede Person 4 Bilder erhält ? A: (12 4) B: (8 4) C: (4 4) = 1 å = (12 4) (8 4) (4 4) = [12*11*10*9] /[4!] * [8*7*6*5] /[4!] = 34 650 Beweis: (n-1 k-1) - (n-2 k-2) = (n-2 k-1) (n-1 k-1) - (n-2 k-2) = [(n-1)!] /[(k-1)! [(n-1) - (k-1)]! ] - [(n-2)!] /[(k-2)! [(n-2) - (k-2)]! ] = = [(n-1)!] /[(k-1)! (n-k)!] - [(n-2)!] /[(k-2)! (n-k)!] = = [(n-1)! - (n-2)! (k-1)] /[(n-k)! (k-1)!] = [(n-2)! [(n-1) - (k-1)] ] /[(n-k)! (k-1)!] = = [(n-2)! (n-k)] /[(n-k)! (k-1)!] = [(n-2)!] /[(k-1)! (n-k-1)!] (n-2 k-1) = [(n-2)!] /[(k-1)! [(n-2) - (k-1)]! ] = [(n-2)!] /[(k-1)! (n-k-1)!] q. e. d. Berechne die Anzahl der Kreise durch 20 Punkte, wenn nie 3 Punkte auf 1 Geraden, aber einmal 5 Punkte auf dem selben Kreis liegen. å = (20 3) - (5 3) + 1 = 1130 + 1 = 1131 Bsp. 32) Variationen Aus einer Urne mit n unterscheidbaren Kugeln (durchnummeriert) werden k Kugeln gezogen und nicht zurückgelegt. Wie viele Ziehungsmöglichkeiten gibt es ? 1. Kugel: n Mögl. 2. K.: n-1 Mögl. 3. K.: n-2 Mögl. ... ... k. K.: n-k+1 Mögl. å = n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-k+1) = [n!] /[(n-k)!] = (n k) * k! = V(n;k) ... Variation ohne Wiederholung Die Kugeln werden wieder zurückgelegt: ... Variation mit Wiederholung 1. Kugel: n Mögl. 2. K.: n Mögl. 3. K.: n Mögl. ... ... k. K.: n Mögl. } k Faktoren å = n k = wV(n;k) Möglichkeiten beim Toto: 1) A - B 1, 2, X ® 3 Mögl. 2) C - D 1, 2, X ® 3 Mögl. 3) ... ... 12) ... Þ 3 12 = 531 441 Mögl. ^ 4 251 528 S Möglichkeiten beim Lotto: 1. Zahl: 45 Mögl. 2. Z.: 44 Mögl. ... ... 6. Z.: 40 Mögl. å = [45*44*43*42*41*40] /[6!] = 8 145 060 Mögl. ^ 65 160 480 S = (45 6) Bsp. 33) a) Wie viele vierziffrige Zahlen mit verschiedenen Ziffern gibt es ? T H Z E 9 9 8 7 ... Mögl. 9 * 9 * 8 * 7 = 4536 Mögl. b) ..., bei denen die Ziffer 3 nicht vorkommt ? 8 * 8 * 7 * 6 = 2688 Mögl. c) ..., bei denen die Ziffer 3 vorkommt (2 Arten) ? (1) a) - b) = 4536 - 2688 = 1848 Mögl. (2) T H Z E 3 9 8 7 9 * 8 * 7 = 504 8 3 8 7 8 * 8 * 7 = 448 8 8 3 7 8 8 7 3 3 * (8 * 8 * 7) + 9 * 8 * 7 = 1848 å = 9 * 8 * 7 + 8 * 8 * 7 * 3 = 8 * 7 * (9 + 24) = 56 * 33 = 1848 d) Wie viele Möglichkeiten gibt es, 20 Karten auf 4 Personen zu verteilen, so daß jeder 5 erhält ? 1. Pers.: (20 5) 2. Pers.: (15 5) 3. Pers.: (10 5) 4. Pers.: (5 5) = 1 å = (20 5) * (15 5) * (10 5) = 11 732 745 024 e) Ein Kandidat muß aus 12 Fragen 4 auswählen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn von den 4 gewählten Fra
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