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599 Newton`sche-Näherungsverfahren Mathematik 8 3 3166
Kurzbeschreibung
Approximation, um eine irrationale Zahl zu ermitteln
Inhalt des Referats
Newtonsches Näherungsverfahren
Das Newtonverfahren ist ein effektives Verfahren um eine nicht ganzzahlige
Nullstelle einer Kurve(Gerade, Parabel,...) zu ermitteln.
Um eine Nullstelle einer differenzierbaren Funktion zu ermitteln, ersetzt man die
Kurve in der Nähe der Nullstelle durch ihre Tangente. Deren Schnittpunkt mit der
x-Achse liegt in der Regel bereits sehr nahe an der gesuchten Nullstelle und indem
man dort wieder die Tangente nimmt, erzielt man immer bessere
Näherungswerte. Dieses Verfahren geht auf Isaac Newton (1643 – 1727) zurück.
Man geht bei diesem Verfahren davon aus, dass ein Intervall (a;b) bekannt ist, in
dem die gesuchte Nullstelle x liegt. Man wählt nun eine geeignete Intervallgrenze
als erste Näherung und damit als Startstelle x1 für das Verfahren. Man nimmt die
ganzzahlige Stelle, welche näher bei 0 liegt und approximiert.

xi f(x)
-5 -323
-4 -199
-3 -111
-2 -53
-1 -19
0 -3
1 1
2 -1
3 -3
4 1
5 17
x f(x) f`(x) x-f(x)/f`(x)
-1 -19 24 -0,208333333
-0,208333333 -5,144458912 11,63020833 0,234002587
0,234002587 -1,20970665 6,356240583 0,424320533
0,424320533 -0,185004664 4,448297348 0,465910528
0,465910528 -0,00810455 4,060291525 0,467906579
0,467906579 -1,83285E-05 4,041930751 0,467911114
0,467911114 -9,45102E-11 4,041889066 0,467911114
2 -1 -3 1,666666667
1,666666667 -0,037037037 -2,666666667 1,652777778
1,652777778 -0,00019558 -2,638310185 1,652703647
1,652703647 -5,72478E-09 -2,638155729 1,652703645
4 1 9 3,888888889
3,888888889 0,072702332 7,703703704 3,879451567
3,879451567 0,00050385 7,597014578 3,879385245
3,879385245 2,48007E-08 7,596266696 3,879385242


Quellenangaben des Verfassers
wikipedia